הצגת המקור של הדף "קומוטטור"

{{פירוש נוסף|נוכחי=פעולה דו-מקומית|אחר=חבורת הקומוטטורים|ראו=[[תת-חבורת הקומוטטורים]]; אם התכוונתם לרכיב אלקטרוני, ראו [[קומוטטור (אלקטרוניקה)]]}}
ב[[מתמטיקה]], '''קוֹמוּטָטוֹר''' הוא [[פונקציה]] דו-מקומית המוגדרת בדרך כלל ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] או [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], הבודקת את ההתחלפות של זוג איברים ביחס לפעולת כפל נתונה. במילים אחרות, הקומוטטור בודק האם תכונת ה[[קומוטטיביות]] של הכפל נכשלת עבור זוג איברים מסוימים. בהתאם, בחוג קומוטטיבי או בחבורה קומוטטיבית, הקומוטטור הוא תמיד [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]].

==קומוטטור חיבורי וכפלי==
בהינתן זוג איברים <math>a,b</math> במבנה אלגברי נתון עם פעולת כפל, השאלה בה מתעניינים היא האם <math>ab=ba</math>. אם במבנה אלגברי זה קיימת פעולת חיבור, שוויון זה מתקיים אם ורק אם <math>ab-ba=0</math>, ועל כן טבעי להגדיר את הקומוטטור שלהם על ידי <math>[a,b] = ab-ba</math>. במקרה זה הקומוטטור מכונה "חיבורי". אם במבנה אלגברי זה קיימת פעולה הופכית לפעולת הכפל, שוויון זה מתקיים אם ורק אם <math>aba^{-1}b^{-1}=1</math>, ועל כן טבעי להגדיר את הקומוטטור שלהם על ידי <math>[a,b] = aba^{-1}b^{-1}</math>. במקרה זה הקומוטטור מכונה "כפלי".

===הקומוטטור החיבורי===
הקומוטטור החיבורי מתאים ל[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]]. במקרה זה פונקציית הקומוטטור היא אדיטיבית בשני המשתנים, ואם R הוא [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]], אז זוהי פונקציה ביליניארית. אם קובעים איבר <math>r</math> בחוג נתון, אז ההומומורפיזם <math>s \mapsto [r,s]</math> הוא [[נגזרת (אלגברה)|נגזרת]].

כל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]] הופכת להיות [[אלגברת לי]] ביחס לפעולת הקומוטטור.

באלגברת ה[[מטריצה|מטריצות]], ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]] של כל קומוטטור היא אפס, וגם ההפך נכון: מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], כל מטריצה בעלת עקבה אפס היא קומוטטור.{{הערה|Albert and Muckenhoupt 1957, [https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.mmj/1028990168]}} כל איבר בעל עקבה אפס ב[[אלגברה פשוטה מרכזית]] הוא סכום של לכל היותר שני קומוטטורים.{{הערה|עמיצור ורואן, 1994}} כל איבר בעל עקבה אפס בחוג מטריצות מעל חוג קומוטטיבי הוא סכום של לכל היותר שני קומוטטורים (אבל לפעמים אינו קומוטטור בעצמו).{{הערה|רוסט ורוסט, 2000}}

לקומוטטורים (וגם לעקבה) תפקיד מרכזי בתאוריה של [[אלגברות עם זהויות]]. הדוגמה הבסיסית בתחום זה היא הזהות <math>\ [[a,b]^2,c]=0</math>, שאותה מקיימת אלגברת המטריצות <math>\ M_2(F)</math>. במילים אחרות, כל שלוש מטריצות a,b,c בגודל <math>\ 2\times 2</math> מעל שדה מקיימות את הזהות <math>\ [a,b]^2c=c[a,b]^2</math>.

===הקומוטטור הכפלי===
הקומוטטור הכפלי מתאים ל[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. אם G היא חבורה, אז תת-החבורה שלה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים נקראת [[תת חבורת הקומוטטורים]] ומסמנים אותה <math>\ G'</math>; זוהי בנייה יסודית ב[[תורת החבורות]], מכיוון שתת-חבורת הקומוטטורים היא תמיד [[תת-חבורה נורמלית]], והמנה <math>\ G/G'</math> היא המנה האבלית המקסימלית של G. באופן כללי יותר, אם N,K הן תת-חבורות נורמליות של G, אז מסמנים ב-<math>\ [N,K]</math> את תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים <math>\ [n,k]</math> של האיברים <math>\ n\in N, k\in K</math>. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת גם ב-N וגם ב-K.

איברים המתקבלים מלקיחת קומוטטור k פעמים נקראים 'קומוטטורים ממשקל k' (למשל, <math>\ [[a,b],[c,d]]</math> הוא קומוטטור ממשקל 3), והם קשורים לתכונות של החבורה כמו [[חבורה פתירה|פתירות]] או [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטיות]]. לשם הקיצור, מקובל לסמן <math>\ [a,b,c]=[[a,b],c]</math> (קומוטטור ממשקל 2), ובאופן כללי <math>\ [a_1,a_2,\dots,a_k]=[[a_1,a_2,\dots,a_{k-1}],a_k]</math>. תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים <math>\ [a_1,a_2,\dots,a_k]</math> מסומנת ב-<math>\ G_k</math>, וכך <math>\ G'=G_2</math> ובאופן כללי <math>\ G_{k+1}=[G_k,G]</math>. [[חבורה נילפוטנטית]] ממחלקה k היא כזו שבה <math>\ G_{k+1}=1</math>.

קומוטטורים מקיימים מספר זהויות חשובות, למשל <math>\ [a,b]=[b,a]^{-1}</math> ו-<math>\ [a,bc]=[a,b][a,c]^b</math> כאשר <math>\ x^y</math> הוא סימון מקוצר לצמוד <math>\ yxy^{-1}</math>. זהות ידועה אחרת היא '''זהות יעקובי''': <math>\ [x,y^{-1},z]^y [y,z^{-1},x]^z [z,x^{-1},y]^x=1</math>. מזהות זו נובעת [[למת שלוש תת-החבורות]]: אם H,K,L תת-חבורות נורמליות של G, אז <math>\ [H,K,L]\subseteq [K,L,H][L,H,K]</math>. בפרט (אם נבחר K=L) מתקיים <math>\ [H,[L,L]]\subseteq [L,[L,H]]</math>. אם כעת נבחר <math>\ H=[L,L]</math> נקבל <math>\ [[L,L],[L,L]]\subseteq [L,[L,[L,L]]]</math>, כלומר <math>\ G''\subseteq G_4</math>. זהו [[מקרה פרטי]] של משפט כללי יותר: כל הקומוטטורים ממשקל k שייכים ל-<math>\ G_{k+1}</math>. אם כך, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל הקומוטטורים ממשקל k הם טריוויאליים.

==הקומוטטור בפיזיקה==
ב[[פיזיקה]], וליתר דיוק, ב[[מכניקת הקוונטים]], הקומוטטור של אופרטורים ב[[מרחב הילברט]] הוא מושג שימושי מאוד. במכניקת הקוונטים יחסי החילוף של אופרטורים מלמדים דברים חשובים על תכונותיהם. אם [[אופרטור]] מתחלף עם ה[[המילטוניאן]] אזי הוא מייצג גודל שנשמר במערכת ([[חוק שימור]]), וסימטריה בקואורדינטה הצמודה. כמו כן, אם אופרטור '''מתחלף''' עם אופרטור אחר אז אפשר [[מטריצה לכסינה|ללכסן]] אותם סימולטנית (ביחד) ולקבל בו זמנית את ערכי התצפית של שניהם בצורה מדויקת. על כן זוהי תכונה שימושית ביותר. בניגוד לכך, כל שני אופרטורים A ו־B '''שאינם מתחלפים''' מקיימים את [[עקרון אי הוודאות]] בניסוחו הכללי:
: <math>\ \frac{1}{2} | \lang i[A,B] \rang | \le \Delta A \cdot \Delta B</math>
כלומר, אי אפשר למדוד את A ואת B בו זמנית בדיוק מוחלט.

=== יחסי חילוף של אופרטורים קוונטיים חשובים ===
* מיקום ו[[תנע|תנע קווי]] – <math>\ [ x_i , p_j ] = i \hbar \delta_{ij} </math> כאשר <math> x_i</math> הוא [[אופרטור המיקום|אופרטור מיקום]] ו־<math> p_j</math> הוא אופרטור תנע.
* [[תנע זוויתי]] – <math>\ [ L_i , L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k</math> כאשר <math>\varepsilon_{ijk} </math> הוא [[טנזור לוי-צ'יויטה]]. עם זאת, האופרטור <math> \ L^2 </math> מתחלף עם כל אחד מרכיביו: <math> \ [L^2,L_j]=0</math>
* אופרטורי יצירה וחיסול של [[בוזון|בוזונים]] מקיימים יחסי חילוף, כלומר <math>[a(\vec k_1),a^\dagger(\vec k_2)]=\delta(\vec k_1-\vec k_2)</math>, ואילו אופרטורי יצירה וחיסול של [[פרמיון|פרמיונים]] מקיימים יחסי אנטי חילוף כלומר <math>\{a(\vec k_1),a^\dagger(\vec k_2)\}=\delta(\vec k_1-\vec k_2)</math>. הדבר מבטא את הסטטיסטיקה השונה של חלקיקים אלו.

==מושגים דומים==
===אנטי-קומוטטור===
כמו הקומוטטור, אפשר להגדיר גם '''אנטי קומוטטור''' עבור [[חוג (אלגברה)|חוג]] או [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]], בתור האיבר <math>\ \{a,b\} = ab+ba</math>. אם A היא אלגברה אסוציאטיבית, אז היא [[אלגברת ז'ורדן]] ביחס לפעולת האנטי-קומוטטור.

===אסוציאטור===
{{ערך מורחב|אסוציאטור}}
בדומה לקומוטטור שמודד את כישלון הקומוטטיביות, מגדירים ב[[אלגברה לא אסוציאטיבית]] פונקציה בשם ה'''אסוציאטור''' (associator), לפי הנוסחה <math>\ (a,b,c)=(ab)c-a(bc)</math>. האסוציאטור מקיים את הזהות <math>\ a(x,y,z)+(a,x,y)z=(ax,y,z)-(a,xy,z)+(a,x,yz)</math>.

==קישורים חיצוניים==
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Commutator}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]
[[קטגוריה:פעולות בינאריות]]