הצגת המקור של הדף "קומפלקס שרשרת"

ב[[מתמטיקה]], ובפרט ב[[אלגברה הומולוגית]], '''קומפלקס שרשרת''' (או קומפלקס) הוא אמצעי [[אלגברה|אלגברי]], אשר מקורו ב[[טופולוגיה אלגברית]]. במקור הוא איפשר לבטא את הקשר האלגברי בין [[ציקלוס]]ים ו[[שפה (טופולוגיה)|שפות]] של [[מרחב טופולוגי|מרחב]] כלשהו. באופן כללי יותר, אלגברה הומולוגית עוסקת בעיקר בחקר של קומפלקסים בצורה אבסטרקטית, ללא קשר [[גאומטריה|גאומטרי]] או [[טופולוגיה|טופולוגי]] מפורש. השימוש העיקרי של קומפלקסים הוא על מנת להגדיר [[הומולוגיה (מתמטיקה)|חבורות הומולוגיה]] (או [[קוהומולוגיה]] עבור קומפלקסי קו־שרשראות).

==הגדרה פורמלית==
'''קומפלקס שרשרת''' <math>(A_\bullet, \partial_\bullet)</math> הוא סדרה של [[חבורה אבלית|חבורות אבליות]] או [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]] ... ''A''<sub>-2</sub>, ''A''<sub>-1</sub>, ''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ... המקושרים על ידי [[הומומורפיזם|הומומורפיזמים]] (הנקראים '''אופרטורי שפה''') <math>\partial_n: A_n \rightarrow A_{n-1}</math> כך שההרכבה של כל שני הומומורפיזמים עוקבים שווה ל־0: <math>\partial_n \circ \partial_{n+1}=0</math> לכל ''n''.

בדרך כלל נרשם קומפלקס בדרך הבאה:

::<math>\cdots \to
A_{n+1} \begin{matrix} \partial_{n+1} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_n \begin{matrix} \partial_n \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{n-1} \begin{matrix} \partial_{n-1} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{n-2} \to \cdots \to
A_2 \begin{matrix} \partial_2 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix} \partial_1 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_0 \begin{matrix} \partial_0 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{-1} \begin{matrix} \partial_{-1} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{-2} \begin{matrix} \partial_{-2} \\ \to \\ \, \end{matrix}
\cdots
</math>

הגדרה קרובה להגדרה זו היא של קומפלקס קו־שרשרת. '''קומפלקס קו־שרשרת''' <math>(A^\bullet, \partial^\bullet)</math> הוא סדרה של חבורות אבליות או מודולים ... ''A''<sub>-2</sub>, ''A''<sub>-1</sub>, ''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ... המקושרים על ידי הומומורפיזמים <math>\partial_n^\bullet : A_n \rightarrow A_{n+1}</math>, כך שההרכבה של כל שני הומומורפיזמים עוקבים היא 0: <math>\partial_{n+1}^\bullet \circ \partial_n^\bullet = 0</math> לכל ''n''. בדרך כלל נרשם קומפלקס קו־שרשרת בדרך הבאה:
::<math>
\cdots \to
A_{-2} \begin{matrix} \partial^\bullet_{-2} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{-1} \begin{matrix} \partial^\bullet_1 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_0 \begin{matrix} \partial^\bullet_0 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix} \partial^\bullet_1 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_2 \to \cdots \to
A_{n-1} \begin{matrix} \partial^\bullet_{n-1} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_n \begin{matrix} \partial^\bullet_n \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{n+1} \to \cdots.</math>

הרעיון בשני המקרים זהה, וההבדל הוא פשוט כיוון ההתקדמות של החצים. בשני המקרים האינדקס ''i'' ב־''A''<sub>''i''</sub> נקרא דרגה.

'''קומפלקס שרשרת חסום''' הוא קומפלקס שרשרת בו כמעט לכל ''i'' (כלומר, פרט למספר סופי) מתקיים ש־''A''<sub>''i''</sub> שווה ל־0. קומפלקס סופי ניתן להמשכה שמאלה וימינה על ידי אפסים. בדומה, '''קומפלקס שרשרת חסום מלמעלה''' הוא קומפלקס שרשרת כך שקיים ''n'' כך שלכל ''i>n'' מתקיים ש־''A''<sub>''i''</sub> שווה ל־0. '''קומפלקס שרשרת חסום מלמטה''' מוגדר באופן דומה.

==סימונים והגדרות נוספות==
אם נשמיט את האינדקסים, הקשר הטבעי על ''<math>\partial</math>'' ניתן לניסוח על ידי:

:<math>\partial^2 = 0</math>.

ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של <math>\partial</math> היא חבורת ה'''שפות''', או בקומפלקס קו־שרשרת – חבורת ה'''קו־שפות'''. ה[[גרעין (מתמטיקה)|גרעין]] של <math>\partial</math> נקרא חבורת {{עוגן|ציקלוס|ה'''ציקלוסים'''}}, או במקרה של קומפלקס קו־שרשרת – חבורת ה'''קו־ציקלוסים'''. מכיוון ש־<math>\partial^2 = 0</math> הרי שחבורת השפות היא [[תת חבורה]] של חבורת הציקלוסים.

==דוגמאות==
* כל [[סדרה מדויקת]] היא קומפלקס שרשרת, משום שבסדרה מדויקת התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם הבא אחריו, ובפרט ההרכבה של שני הומומורפיזמים עוקבים שווה ל־0.

==ראו גם==
* [[אלגברה הומולוגית]]
* [[סדרה מדויקת]]
* [[הומולוגיה (טופולוגיה אלגברית)]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אלגברה הומולוגית]]