הצגת המקור של הדף "קונבולוציה מעגלית"

'''קונבולציה מעגלית''' ({{שם בשפת המקור|שם=circular convolution|שפה=אנגלית}}) או '''קונבולציה ציקלית''' ({{שם בשפת המקור|שם=cyclic convolution|שפה=אנגלית}}) היא פעולה [[מתמטיקה|מתמטית]] היוצרת סדרה משילוב של שתי סדרות בעלות אורך שווה וסופי <math>N</math>.

פעולה זו משמעותית במיוחד בהקשר של [[התמרת פורייה#התמרת פורייה לאותות סופיים (או מחזוריים) בזמן בדיד (DFT)|התמרת פורייה בדידה]] (DFT), שבה הקונבולוציה המעגלית של שתי סדרות בתחום הזמן שקולה לכפל של ה-DFT שלהן בתחום התדר – משפט הקונבולוציה.

קונבולציה מעגלית היא מקרה פרטי של '''קונבולציה מחזורית''' (periodic convolution), שהיא [[קונבולוציה]] של שתי פונקציות מחזוריות בעלות אותו מחזור. קונבולציה מחזורית עולה, למשל, בהקשר של [[התמרת פורייה#התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד (DTFT)|התמרת פורייה בזמן בדיד]] (DTFT). בפרט, DTFT של מכפלה של שתי סדרות בדידות היא קונבולוציה מחזורית של DTFT של הסדרות הבדידות – [[משפט הקונבולוציה]]. DTFT הוא [[סיכום מחזורי]] של התמרת פורייה רציפה. אף על פי ש־DTFT היא בדרך כלל פונקציה רציפה של התדר, המושגים קונבולוציה מחזורית וקונבולוציה מעגלית ניתנים להחלה ישירה גם על סדרות בדידות של נתונים.

== הגדרות ==
=== קונבולוציה מחזורית ===
ניתן להגדיר את '''הקונבולוציה המחזורית''' של שתי פונקציות מחזוריות בעלות מחזור <math>T</math>, {{כ}}<math>h_{_T}(t)</math> ו־<math>x_{_T}(t)</math> כך:

: <math>\int_{t_0}^{t_0+T} h_{_T}(\tau)\cdot x_{_T}(t - \tau)\,d\tau</math>

כאשר <math>t_0</math> הוא פרמטר שרירותי.

כמו כן, ניתן להגדיר הגדרה חלופית, במונחים של סימון של קונבולציה ליניארית או א-מחזורית רגילה, על ידי ביטוי של <math>h_{_T}(t)</math> ושל <math>x_{_T}(t)</math> כ[[סיכום מחזורי|סיכומים מחזוריים]] (periodic summations) של רכיבים א-מחזוריים <math>h</math> ו־<math>x</math>, כלומר:

: <math>h_{_T}(t) \ \triangleq \ \sum_{k=-\infty}^\infty h(t - kT)</math>

אזי:

:<math>\int_{t_o}^{t_o+T} h_{_T}(\tau)\cdot x_{_T}(t - \tau)\,d\tau = \int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_{_T}(t - \tau)\,d\tau\ \triangleq\ (h *x_{_T})(t) = (x * h_{_T})(t)</math>

ניתן לקרוא לשתי צורות אלו קונבולציה מחזורית.

=== קונבולוציה מעגלית ===
'''קונבולוציה מעגלית''' היא מקרה פרטי חשוב המתקבל מהגבלת החלקים שאינם אפס של <math>h</math> ו־<math>x</math> לתחום <math>[0,T]</math>, כלומר שתי הפונקציות מתאפסות מחוץ לתחום זה. במקרה זה, [[סיכום מחזורי|הסיכום המחזורי]] הופך '''להרחבה מחזורית''', שניתן לבטא גם '''כפונקציה מעגלית''':

: <math>x_{_T}(t) = x(t_{\mathrm{mod}\ T})</math>,{{כ}} <math>t\in\mathbb{R}</math> (כלומר לכל [[מספר ממשי]])

ותחום האינטגרציה מצטמצם לַאורך של הפונקציה <math>h</math>:

: <math>(h *x_{_T})(t) = \int_{0}^{T} h(\tau)\cdot x_{_T}(t - \tau)\ d\tau</math>

== עבור סדרות בדידות ==
באופן דומה, עבור סדרות בדידות ופרמטר <math>N</math>, '''קונבולוציה מעגלית''' של פונקציות א-מחזוריות <math>h</math> ו־<math>x</math> היא:

: <math>y[n] = (h * x)[n] \ \triangleq \ \sum_{m=0}^{N-1} h[m] \cdot x[(n - m) \mod N]</math>

== ראו גם ==
* [[משפט הקונבולוציה]]
* [[התמרת הילברט]] 

[[קטגוריה:פעולות בינאריות]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]