הצגת המקור של הדף "קונבולוציית דיריכלה"

ב[[תורת המספרים]], '''קונבולוציית דיריכלה''' היא [[פעולה בינארית]] בין שתי [[פונקציה אריתמטית|פונקציות אריתמטיות]] הדומה ל[[קונבולוציה]]. הפעולה פותחה על ידי ה[[מתמטיקאי]] ה[[גרמני]] בן [[המאה ה-19]] [[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה]].

==הגדרה==
לכל שתי פונקציות אריתמטיות <math>f,g</math> קונבולוציית דיריכלה <math>f*g</math> מוגדרת:
:<math>(f*g)(n)=\sum_{d\,\mid\,n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)</math>
כאשר <math>d</math> עובר על כל ה[[מחלק]]ים של <math>n</math>. ניתן להגדיר גם ללא פעולת חילוק:
:<math>(f*g)(n)=\sum_{ab\,=\,n}f(a)g(b)</math>
כאשר <math>a,b</math> הם כל הזוגות של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] שמכפלתם היא <math>n</math>.

==תכונות אלגבריות==
קונבולוציית דיריכלה היא [[פעולה קומוטטיבית]] ו[[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבית]]. היא גם [[חוק הפילוג|דיסטריבוטיבית]] מעל [[חיבור]] פונקציות (<math>(f+g)(n)=f(n)+g(n)</math>).

תכונות אלו הופכות את קבוצת הפונקציות האריתמטיות ל[[חוג קומוטטיבי]] ביחס לחיבור וקונבולוציית דיריכלה. [[איבר היחידה]] בחוג הוא [[פונקציית היחידה]] <math>\varepsilon</math>, המוגדרת
:<math>\varepsilon(n)=\begin{cases}1&:n=1\\0&:n>1\end{cases}</math>
[[איבר הפיך|האיברים ההפיכים]] בחוג הם אלה המקיימים <math>f(1)\ne0</math>. ה[[איבר הופכי|הופכי]] של איבר בחוג נקרא '''הופכי דיריכלה'''. קיימת נוסחה [[רקורסיה|רקורסיבית]] להופכי דיריכלה של פונקציה. אם <math>g</math> הוא הופכי דיריכלה של <math>f</math> אז ל-<math>n=1</math> מתקיים <math>g(1)=\tfrac{1}{f(1)}</math>. ל-<math>n>1</math> מתקיים:
:<math>g(n)=-\frac{1}{f(1)}\sum_\stackrel{d\,\mid \,n}{d<n}f\left(\frac{n}{d}\right) g(d)</math>
הקונבולוציה של שתי [[פונקציה כפלית|פונקציות כפליות]] גם היא כפלית. כל פונקציה כפלית היא הפיכה והופכי דיריכלה שלה גם כן כפלי. הקונבולוציה של שתי פונקציות כפילות במובן החזק אינה בהכרח כפלית במובן החזק.

==דוגמאות==
{{חלונית
|תוכן= 
סימונים מוסכמים לפונקציות אריתמטיות מרכזיות:
*<math>\varepsilon</math> – [[פונקציית היחידה]] ואיבר היחידה ביחס לקונבולוציית דיריכלה.
*<math>\mathbf{1}</math> – פונקציית האחדות ה[[פונקציה קבועה|קבועה]], שמחזירה <math>\mathbf{1}(n)=1</math> לכל <math>n</math>.
*<math>I</math> – [[פונקציית הזהות]] <math>I(n)=n</math>
*<math>\mu</math> – [[פונקציית מביוס]]
*<math>\phi</math> – [[פונקציית אוילר]]
*<math>\sigma</math> – [[פונקציית המחלקים|פונקציית סכום המחלקים]]
*<math>d</math> – [[פונקציית מחלקים|פונקציית מספר המחלקים]]
*<math>\lambda</math> – [[פונקציית ליוביל]]
|רוחב=30%
|רקע= #FFFFFF
|יישור= right
}}
מסמנים <math>\mathbf{1}</math> את הפונקציה שמחזירה <math>1</math> לכל <math>n</math>. לכל פונקציה <math>f</math>:
:<math>(f*\mathbf{1})(n)=\sum_{d\,\mid\,n}f(d)</math>
בפרט:
:<math>d=\mathbf{1}*\mathbf{1}</math>
:<math>\sigma=I*\mathbf{1}</math>
:<math>I=\phi*\mathbf{1}</math> ([[פונקציית אוילר#תכונות הפונקציה|הסבר]])
משלוש הזהויות הללו נובע (על ידי הפעלת קונבולוציה נוספת עם <math>\mathbf{1}</math> בזהות השלישית):
:<math>\sigma=\phi*d</math>
[[פונקציית מביוס]] היא הופכי דיריכלה של <math>\mathbf{1}</math>. כלומר <math>\mu*\mathbf{1}=\varepsilon</math>. מכאן נובעת מיד [[נוסחת ההיפוך של מביוס]]. אם
:<math>F(n)=\sum_{d\,\mid\,n} f(d)</math>
אזי
:<math>f=\varepsilon*f=\mu*\mathbf{1}*f=\mu*F</math>

בפרט:
:<math>\begin{align}\mathbf{1}=d*\mu\\I=\sigma*\mu\\\phi=I*\mu\\\varepsilon=\lambda*|\mu|\end{align}</math>

==טורי דיריכלה==
[[טור דיריכלה]] של פונקציה אריתמטית <math>f</math> הוא [[פונקציה מרוכבת]] במשתנה <math>s</math> המוגדרת:
:<math>D(f;s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s}</math>.
המפורסם מבין טורי דיריכלה הוא [[פונקציית זטא של רימן]]:
:<math>\zeta(s)=D(\mathbf{1};s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math>.
יש קשר הדוק בטורי דיריכלה לקונבולוציית דיריכלה, המתבטא בזהות:
:<math>D(f*g;s)=D(f;s)\cdot D(g;s)</math>.
הזהות אנלוגית ל[[משפט הקונבולוציה]] שקובע ש[[קונבולוציה]] רגילה מקיימת זהות דומה עם [[התמרת פורייה]].

על סמך הזהות ניתן לחשב טורי דיריכלה רבים. למשל <math>D(\mu ;s)=\tfrac{1}{\zeta(s)}</math>, כי:
:<math>D(\mu ;s)\cdot\zeta(s)=D(\mu*\mathbf{1};s)=D(\varepsilon;s)=1</math>
דוגמה נוספת:
:<math>D(\phi;s)=D(I*\mu;s)=D(I;s)\cdot D(\mu;s)=\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^s}\right)\cdot\frac{1}{\zeta(s)}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}</math>

[[קטגוריה:פעולות בינאריות]]
[[קטגוריה:פונקציות אריתמטיות]]