הצגת המקור של הדף "קוסינוס"

[[קובץ:Cosine.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[גרף של פונקציה|גרף]] הפונקציה קוסינוס]]
{{סימון מתמטי}}
'''קוסינוס''' (מסומן ב-<math>\cos</math>) היא [[פונקציות טריגונומטריות|פונקציה טריגונומטרית]] בסיסית, המתאימה לכל [[זווית]] [[מספר ממשי]] בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון: הגדרות שונות ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] (ובפרט ב[[אנליזה מרוכבת]]). הפונקציה שימושית מאוד ב[[פיזיקה]], ב[[הנדסת חשמל]] ובתחומי מדע והנדסה אחרים.

==הגדרות==
===הגדרה בסיסית===
[[קובץ:Rtriangle2.svg|שמאל|ממוזער|150px|במשולש זה, קוסינוס הזווית A שווה <math>\frac{b}{c}</math>]]
בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הקוסינוס מציינת את ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין הניצב שליד הזווית ליתר ב[[משולש ישר-זווית]], כפונקציה של ה[[זווית]] שליד הניצב הזה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 [[מעלה (זווית)|מעלות]] או <math>\frac{\pi}{2}</math> [[רדיאן|רדיאנים]]. משולשים עם זוויות זהות [[דמיון משולשים|דומים]] ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הקוסינוס של זווית [[מוגדר היטב]].

===הרחבה===
ב[[מעגל היחידה]] ניתן להסתכל על [[רדיוס]] הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שקוסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-x, כלומר שיעור ה-x של הנקודה (x,y).
עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס לכל [[מספר ממשי]]: הקוסינוס של מספר <math>\ \theta</math> הוא שיעור ה-x של הנקודה על מעגל היחידה שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לציר ה-x הוא <math>\ \theta</math> (ברדיאנים).

===טור טיילור===
כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הקוסינוס באמצעות [[טור טיילור]]:
:<math> \cos x = \ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}</math>

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של קוסינוס על ידי [[נגזרת|גזירה]] חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע [[קירוב זווית קטנה|קירוב קוסינוס לזוויות קטנות]]: <math>\cos x \approx 1-\frac{x^2}{2}\approx 1</math>, מכיוון שכאשר x קטן החזקה הרביעית שלו (לפעמים אפילו השנייה) וחזקות גבוהות יותר זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס גם ל[[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]]. באמצעות [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] אפשר לקבל הגדרות נוספות לקוסינוס:
:<math>\ \cos(x)= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} </math>

==תכונות==
* פונקציית הקוסינוס היא [[פונקציה זוגית|זוגית]], משום שמתקיים <math>\cos \ (-x) = \cos \ (x)</math>.
* פונקציית הקוסינוס היא [[פונקציה מחזורית|מחזורית]] בעלת מחזור של <math>\ 2\pi</math>. זאת משום שסיבוב של <math>\ 2\pi</math> מחזיר אותך לנקודת המוצא.
* פונקציית הקוסינוס [[פונקציה רציפה|רציפה]], [[פונקציה גזירה|גזירה]] ו[[פונקציה אינטגרבילית|אינטגרבילית]] לכל <math>\ x</math>. לפונקציה [[אינסוף]] [[נקודת קיצון|נקודות קיצון]] מהצורה <math>\ x = \ 2 \pi k</math> (מקסימום) ו-<math>\ x = \pi + \ 2 \pi k</math> (מינימום), כאשר <math>\ k</math> [[מספר שלם]]. הערך במקסימום הוא 1 ובמינימום {{משמאל לימין|-1}}.
* לפונקציה אינסוף [[שורש (של פונקציה)|שורש]]ים מהצורה <math>\ x =\frac{\pi}{2} + \pi k</math>, כאשר <math>\ k</math> מספר שלם.
* ה[[תמונה של פונקציה|תמונה]] של הפונקציה היא <math>\ [-1,1]</math>.

==נגזרת==
ה[[נגזרת]] של פונקציית הקוסינוס, כאשר <math>x</math> מבוטא ברדיאנים, היא מינוס פונקציית ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]]:
:<math>{d \over dx} \cos x = -\sin x</math>

זאת כיוון שהנגזרת של פונקציית הסינוס היא קוסינוס (ראו הוכחה [[סינוס (טריגונומטריה)#הוכחה|כאן]]) ובעזרת [[כלל השרשרת]] מקבלים:

<math>{d \over dx} \cos x = {d \over dx} \sin (\frac{\pi}{2} - x) = - \cos (\frac{\pi}{2} - x) = -\sin x</math>.

מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הקוסינוס בעזרת [[משוואה דיפרנציאלית]]:

פונקציית הקוסינוס היא פתרון המשוואה <math>\ f''(x) = - f(x)</math> כאשר <math>\ f(0) = 1</math> ו-<math>\ f'(0) = 0</math>.{{הערה|{{לא מדויק|2010/03/31/sine_and_cosine_via_ode/|נעים להכיר – סינוס וקוסינוס (גרסת המשוואה הדיפרנציאלית)}}}}

ה[[פונקציה קדומה|פונקציה הקדומה]] של הקוסינוס היא סינוס: <math>\int \cos x \,dx = \sin x+C</math>

==ערכים==
[[קובץ:Unit circle angles.svg|שמאל|ממוזער|450px|ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה]]
להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
|-----
! style="background:#ffdead;" colspan="3" | ''x'' (זווית)
! colspan="2" style="background:#ffdead;" | cos ''x''
|-----
| style="background:#efefef;" align="Center" | מעלות
| style="background:#efefef;" | רדיאנים
| style="background:#efefef;" align="Center" | גראדים
| style="background:#efefef;" align="Center" | במדויק
| style="background:#efefef;" | קירוב עשרוני
|-----
| align="Center" | 0° || align="Center" | 0
| align="Center" | 0<sup>g</sup>
| align="Center" | 1 || | 1
|-----
| align="Center" | 15°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{12}</math>
| align="Center" | 16<sup>2</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" | <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| | 0.965925826289068
|-----
| align="Center" | 30°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{6}</math>
| align="Center" | 33<sup>1</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| | 0.866025403784439
|-----
| align="Center" | 45°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{4}</math>
| align="Center" | 50<sup>g</sup>
| align="Center" | <math>\sqrt{\frac{1}{2}}</math>
|  | 0.707106781186548
|-----
| align="Center" | 60°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{3}</math>
| align="Center" | 66<sup>2</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" | <math>\frac{1}{2}</math>
|  | 0.5
|-----
| align="Center" | 75°
| align="Center" | <math>\frac{5 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 83<sup>1</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" | <math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
|  | 0.258819045102521
|-----
| align="Center" | 90°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{2}</math>
| align="Center" | 100<sup>g</sup> || align="Center" | 0
| 0
|}

==זהויות==
{{הפניה לערך מורחב|זהויות טריגונומטריות}}
* פונקציית הקוסינוס מקיימת: <math>\ \cos(-\theta) = \cos\theta</math> וכן <math>\ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math>
* בעזרת פונקציית הקוסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): <math>\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} </math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\tan\theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta} </math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\cot\theta = {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}</math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\csc\theta = {1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}} </math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\sec\theta = {1 \over \cos \theta} </math>
* סכום זוויות: <math>\cos(\theta \pm \varphi) = \cos \theta \cos \varphi \mp \sin \theta \sin \varphi</math>
* זווית כפולה: <math>\ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta </math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\ \cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta</math> ובאופן כללי <math>\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math>
* חצי זווית: <math>\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}</math>
* סכום קוסינוסים: <math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)</math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math>

==הפונקציה ההפוכה==
[[קובץ:Arccosine.svg|שמאל|ממוזער|200px|גרף הפונקציה ארכקוסינוס]]
ה[[פונקציה הפוכה|פונקציה ההפוכה]] לפונקציית הקוסינוס נקראת '''ארכקוסינוס''' ומסומנת <math> \ \arccos </math> או <math> \ \cos^{-1} </math>. הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע
<math>\ [-1 ,1]</math>, וכיוון שפונקציית הקוסינוס אינה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]], ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים <math>\ [0 ,\pi]</math>. הנגזרת שלה היא <math>{d \over dx} \arccos x = -{ 1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math>.
{{-}}

==משפט הקוסינוסים==
{{ערך מורחב|משפט הקוסינוסים}}
משפט הקוסינוסים הוא [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של [[משפט פיתגורס]], והוא קובע את הקשר בין [[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות ה[[משולש]] ואחת מזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הקוסינוס. המשפט הוא:
:<math>\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma</math>
כאשר a, b, c הן צלעות המשולש ו- <math>\ \gamma</math> נמצאת מול הצלע c.

כאשר זווית c ישרה, <math>\ \cos \gamma = 0</math> ומתקבל משפט פיתגורס.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה|שם=Category:Cosine function}}
* {{MathWorld|Cosine}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{טריגונומטריה}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:פונקציות טריגונומטריות]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]