הצגת המקור של הדף "קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)"

ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|תורת הקטגוריות]], '''קו-מכפלה''' של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון [[איחוד זר]] של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], [[מכפלה חופשית]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], [[סכום ישר]] של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט ה[[דואליות (תורת הקטגוריות)|דואלי]] ל[[מכפלה (תורת הקטגוריות)]].

==הגדרה==
נניח כי ''C'' היא [[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] וכי <math>\,\{X_j|j \in I\}</math> היא משפחה של אובייקטים ב-''C''. הקו-מכפלה של הקבוצה <math>\,\{X_i\}</math> היא אובייקט ''X'' ביחד עם אוסף מורפיזמים <math>\,i_j: X_j \to X</math> (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד [[מונומורפיזם|מונומורפיזמים]]) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט ''Y'' ואוסף מורפיזמים <math>\,f_j :X_j \to Y</math> קיים מורפיזם יחיד <math>\,f: X \to Y</math> כך שלכל <math>\,j \in I</math> מתקיים <math>f_j = f \circ i_j</math>. במילים אחרות, לכל ''j'' הדיאגרמה הבאה היא [[דיאגרמה קומוטטיבית]]:
[[File:Coproduct-01.png|מרכז|התכונה האוניברסלית של קו-מכפלה]]
במילים אחרות, ''X'' הוא [[אובייקט התחלתי]] בקטגוריה <math>{}_{\{X_j\}}C = \left\{ (Z, \{ g_j : X_j \to Z \}) \ | \ \forall i : X , X_j \in \mathrm{Ob}(C) \ , \ g_j \in \mathrm{Mor}(Z,X_j) \right\}</math> עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית). 

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב<math>\,X_1 \coprod X_2</math>, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:
[[File:Coproduct-03.png|מרכז|התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים]]
המורפיזם היחיד ''f'' ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב-''f''<sub>1</sub> ∐ ''f''<sub>2</sub> או ''f''<sub>1</sub> ⊕ ''f''<sub>2</sub> או ''f''<sub>1</sub> + ''f''<sub>2</sub> או [''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>].

באופן כללי, הקו-מכפלה של <math>\,\{X_j|j \in I\}</math>  מסומנת
<center><math>X = \coprod_{j \in I} X_j</math></center> 
ולעיתים 
<center><math>X = \bigoplus_{j \in I} X_j</math>.</center>

==דוגמאות==

* בקטגוריית הקבוצות, [[איחוד זר]] של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים <math>i_A</math> ו-<math>i_B</math> הם פשוט ההכלות (כגון <math>A \subset A \uplus B</math>). בפרט, <math>A \coprod B = A \uplus B</math>, וזו הסיבה מדוע משתמשים לעיתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
* אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם <math>A \cap B \ne \emptyset</math> לוקחים קבוצה <math>B'</math> שוות [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד <math>A \uplus B'</math> עם שיכון <math>i_{B'} \circ f</math> כאשר <math>f : B \to B'</math> היא פונקציית שקילות של קבוצות.
* קו-מכפלה בקטגוריה של [[חבורה אבלית|חבורות אבליות]] היא [[סכום ישר]] של החבורות, ומסומנת <math>G \oplus H</math>.
* קו-מכפלה בקטגוריה של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] היא [[סכום ישר]] של המרחבים, ומסומנת <math> V = \bigoplus_{j \in I} V_j</math> כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל <math>j \in I</math> האיבר שבא מ-<math>V_j</math> שווה לאפס. למשל: <math>v_1 + v_2 \in \bigoplus_{n=1}^{\infty} V_n</math> אך <math>0 + 0 + v_3 + v_4 + v_5 + ... = \sum_{n=3}^{\infty} v_j \notin \bigoplus_{n=1}^{\infty} V_n </math>.
* בקטגוריה של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] קומוטטיביים עם יחידה, [[מכפלה טנזורית|המכפלה הטנזורית]] של A ו-B המסומנת ב <math>A \otimes B</math> היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים <math>a \mapsto a \otimes 1 \in A \otimes B</math> ו-<math>b \mapsto 1 \otimes b \in A \otimes B</math>.

==קיום ויחידות==
לא בכל קטגוריה ''C'' קיימת לכל משפחה <math>\,\{X_j\}</math> קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם <math>\, i_j: X_j \to X</math> ו-<math>\,i'_j: X_j \to X'</math> הן זוג מכפלות של המשפחה <math>\,\{X_j\}</math> אז קיים [[איזומורפיזם]] יחיד <math>\,f:X \to X'</math> כך ש <math>i_j' = f \circ i_j</math>.

== ראו גם ==

* [[מכפלה (תורת הקטגוריות)]]
* [[מכפלת סיב (תורת הקטגוריות)]]
* [[גבול ישר (תורת הקטגוריות)]]
* [[פונקטור מיוצג]]
* [[אובייקט התחלתי ואובייקט סופי]]
==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:תורת הקטגוריות]]