הצגת המקור של הדף "קיומן של פונקציות מרומורפיות על משטח רימן קומפקטי"

ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד בתורה של [[משטח רימן|משטחי רימן]] [[קומפקטיות|קומפקטים]], קיומן של [[פונקציה מרומורפית|פונקציות מרומורפיות]] לא [[פונקציה קבועה|קבועות]] על משטחים אלו היא שאלה בסיסית, משום שהיא מאפשרת לבנות [[פונקציה|פונקציות]] המקיימות דרישות בסיסיות כמו מיקומם של [[שורש של פונקציה|אפסים]] או [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קטבים]].

ניתן להוכיח כי על משטח רימן קומפקטי אין [[פונקציה הולומורפית|פונקציות הולומורפיות]] לא קבועות (ראו [[משטח רימן#פונקציות על משטחי רימן|פונקציות על משטחי רימן]]), ולכן שאלת קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות עולה באופן טבעי.

==הוכחה לכאורה בעזרת משפט רימן רוך==
לכאורה, ניתן להוכיח קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות על ידי [[משפט רימן רוך]] (או אפילו מהגרסה החלשה יותר - אי שוויון רימן): נניח כי <math>X</math> הוא משטח רימן קומפקטי עם [[משטח רימן#הגנוס של משטח|גנוס]] <math>g</math>. נבחר נקודה כלשהי <math>p \in X</math> ונגדיר [[משטח רימן#מחלקים על משטח רימן|מחלק]] <math>D</math> על ידי <math>D = (g+1)\cdot p</math>. כעת, על פי אי שוויון רימן, <math>\dim L(D) \ge \deg D -g +1 = 2</math>. בפרט, <math>L(D)</math> מכיל פונקציות מרומורפיות לא קבועות, ולכן קיימות פונקציות כאלו על ''<math>X</math>''.
הוכחה זו, על אף נכונותה היא למעשה חסרת ערך מעשי, משום שבשביל לתת הוכחה מלאה למשפט רימן רוך יש צורך להוכיח '''קודם לכן''' את קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות, כך שזוהי למעשה [[הצדקה מעגלית|הוכחה מעגלית]].

==משפט הסופיות של ז'אן-פייר סר==
על מנת להוכיח את המשפט נסתמך על משפט של המתמטיקאי [[צרפת|הצרפתי]] [[ז'אן-פייר סר]].
נניח כי ''<math>X</math>'' הוא משטח רימן קומפקטי וכי <math>\mathcal{O}_X</math> היא [[אלומה (מתמטיקה)|אלומת]] ה[[פונקציה הולומורפית|פונקציות ההולומורפיות]] על ''<math>X</math>''. נניח כי <math>\mathcal{U}</math> הוא [[כיסוי (טופולוגיה)|כיסוי פתוח]] של ''<math>X</math>''. משפטו של סר קובע כי במקרה זה <math>\dim H^1(\mathcal{U},\mathcal{O}_X) < \infty</math>, כלומר ה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של [[קוהומולוגיית צ'ך]] הראשונה ביחס לכיסוי זה ואלומה זו הוא סופי.

==הוכחת משפט הקיום תוך שימוש במשפט הסופיות==
תוך שימוש במשפט הסופיות, נוכיח כעת את המשפט הבא: נניח כי ''<math>X</math>'' הוא משטח רימן קומפקטי וכי <math>p \in X</math>, אז קיימת פונקציה מרומורפית <math>f \in \mathcal{M}(X)</math> (כזכור, <math>\mathcal{M}(X)</math> הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הפונקציות המרומורפיות על ''<math>X</math>'') כך של-<math>f</math> יש [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קוטב]] ב-<math>p</math>, וכך ש-<math>f</math> הולומורפית על <math>X-\{p\}</math>.

'''הוכחת המשפט:'''

נבחר [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]]  <math>U_1</math> של <math>p</math> כך שקיימת מפה <math>z:U_1 \rightarrow \mathbb{C}</math>, כך ש-<math>z(p)=0</math>. כמו כן, נגדיר <math>U_2 = X - \{p\}</math>. מכיוון ש-<math>p \in U_1</math>, הרי ש-<math>\mathcal{U} = \{U_1,U_2\}</math> הוא כיסוי פתוח של ''<math>X</math>''.
תהי <math>\mathcal{O}_X</math> אלומת הפונקציות ההולומורפיות של ''<math>X</math>'', ונסמן <math>n = \dim H^1(\mathcal{U},\mathcal{O}_X)</math>. על פי משפט הסופיות של סר, <math>n < \infty</math>.
לפיכך, התמונות של <math>n+1</math> הפונקציות <math>z^{-1}, z^{-2}, \dots, z^{-n},z^{-(n+1)}</math> (ההולומורפיות על <math>U_1 \cap U_2 = U_1 - \{p\}</math>) בקוהומולוגיית צ'ך הראשונה הן [[תלות ליניארית|תלויות ליניארית]]. לכן קיים [[צירוף ליניארי]] לא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] <math>\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i z^{-i} = 0</math>. כזכור, התאפסות בקוהומולוגיית צ'ך משמעה שקיים איבר <math>f \in C^0(\mathcal{U},\mathcal{O}_X)</math> כך ש <math>\delta_0(f) = \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i z^{-i}</math>. האיבר <math>f</math> מורכב מזוג פונקציות הולומורפיות, פונקציה <math>f_1</math> ההולומורפית על <math>U_1</math>, ופונקציה <math>f_2</math> ההולומורפית על <math>U_2</math>. את השוויון לעיל ניתן לכתוב בצורה מפורשת כך: <math>\sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i z^{-i} = (f_2-f_1)|_{U_1 \cap U_2}</math>.
על מנת לסיים את ההוכחה, נגדיר את הפונקציה המבוקשת <math>g</math> באופן הבא: <math>g|_{U_2} = f_2</math>, <math>g|_{U_1} = f_1 + \sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i z^{-i}</math>. נשים לב כי מהשוויון לעיל שתי ההגדרות מסכימות על <math>U_1 \cap U_2</math>, ולכן <math>g</math> [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]]. כמו כן, ברור כי ''<math>g</math>'' הולומורפית על <math>X-\{p\}</math>, וכן מכיוון שלסכום <math>\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i z^{-i}</math> יש קוטב בנקודה <math>p</math>, הרי שכך גם ל''-<math>g</math>'' וההוכחה הושלמה.

==משטחים לא קומפקטיים וממדים גבוהים יותר==
בצורה דומה להוכחה הנ"ל, ניתן להוכיח כי על כל משטח רימן לא קומפקטי קיימות פונקציות הולומורפיות (ובפרט מרומורפיות) שאינן קבועות. מסתבר כי בממדים גבוהים יותר המשפט אינו נכון. כלומר, קיימות [[יריעה מרוכבת|יריעות מרוכבות]] שאין עליהן פונקציות הולומורפיות לא קבועות, ואף אין עליהן פונקציות מרומורפיות לא קבועות. יריעה נקראת יריעה מרוכבת אם היא [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפית]] באופן מקומי לתת [[קבוצה פתוחה]] של <math>\mathbb{C}^n</math>, ופונקציות החלפת הקואורדינטות הן פונקציות הולומורפיות בכמה משתנים (בדומה למקרה של משתנה אחד, פונקציה של כמה משתנים היא הולומורפית אם ורק אם היא [[פונקציה אנליטית|אנליטית]]).

==לקריאה נוספת==
* Otto Forster, Lectures on Riemann Surfaces (1981), Springer. {{ISBN|0-3879-0617-7}}

[[קטגוריה:משטחי רימן]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:משפטים בגאומטריה]]