הצגת המקור של הדף "קירוב דיופנטי"

ב[[תורת המספרים]], '''קירוב דיופנטי''' של [[מספר ממשי]] נתון הוא [[מספר רציונלי]] קרוב אל המספר המבוקש. ה[[אנליזה דיופנטית|אנליזה הדיופנטית]] עוסקת, בין השאר, בקיומם של קירובים דיופנטיים, בטיב הקירוב האפשרי, ובהכללות של הבעיה היסודית. התחום נקרא על שמו של [[דיופנטוס]] שהציג בעיות שהפתרונות שלהן דווקא במספרים שלמים.

== קירוב דיופנטי של מספר ממשי ==
המספר רציונלי <math>\ \frac{n}{m}</math> מקרב טוב יותר את המספר הממשי <math>\ \alpha</math> ככל שהמרחק <math>\ |\alpha - \frac{n}{m}|</math> קטן יותר בהשוואה לגודל ה[[מכנה]] <math>m</math>. המדד הבסיסי בעניין זה הוא סדר הקירוב: אומרים ש-<math>\ \alpha</math> '''ניתן לקירוב מסדר r''', אם קיימים קבוע חיובי <math>C</math> ואינסוף זוגות <math>\ \frac{n}{m}</math>, כך ש- <math>\ |\alpha - \frac{n}{m}| < \frac{1}{C m^r}</math>. 

קל לראות שכל מספר ממשי <math>\ \alpha</math> ניתן לקירוב מסדר ראשון: לכל <math>m</math>, המספר <math>\ m\alpha</math> נמצא במרחק שאינו עולה על <math>\ 1/2</math> מן המספר השלם הקרוב ביותר, ולכן קיים <math>n</math> כך ש- <math>\ |\alpha - \frac{n}{m}|\leq \frac{1}{2m}</math>. 
{{ניווט|רוחב=480px|יישור=שמאל|כותרת=כל מספר אי-רציונלי ניתן לקירוב מסדר שני|הסתרה=כן|מוסתר=כן|תוכן=
יהיו <math>\ \alpha</math> ממשי שאינו רציונלי, ו-n מספר שלם. לכל k=0,...,n אפשר לכתוב את המכפלה <math>\ k \alpha</math> בצורה <math>\ k \alpha = m_k + x_k</math>, כאשר <math>\ m_k</math> שלם, ו- <math>\ 0 < x_k <1</math>. את הקטע (0,1) אפשר לחלק באופן טבעי ל-n תת-קטעים באורך <math>\ 1/n</math>. לפי עקרון שובך היונים, מוכרחים שניים מבין n+1 המספרים <math>\ x_0,\dots,x_n</math> להמצא באותו תת-קטע, ואז המרחק ביניהם מקיים <math>\ |(j-i)\alpha - (m_j-m_i)| = |x_j - x_i| < \frac{1}{n}</math>, כאשר <math>\ i<j\leq n</math>. כעת <math>\ |\alpha - \frac{m_j-m_i}{j-i}| < \frac{1}{n(j-i)} < \frac{1}{(j-i)^2}</math>. 
}}
[[דיריכלה]] הוכיח בעזרת [[עקרון שובך היונים]] שכל מספר ממשי [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] ניתן לקירוב מסדר שני (ראו הוכחה במסגרת משמאל), עם הקבוע C=1. הוא הוכיח גם שכל מספר רציונלי אינו ניתן לקירוב מסדר העולה על 1.
ב-[[1891]] הוכיח [[אדולף הורוויץ]] שכל מספר ממשי שאינו רציונלי ניתן לקירוב מסדר שני עם הקבוע <math>\ C = \sqrt{5}</math>. תוצאה זו היא אופטימלית בשני המובנים: יש מספרים שאינם ניתן לקירוב מסדר <math>\ 2+\epsilon</math>, לכל <math>\ \epsilon > 0</math> (ראו משפט Roth להלן); כמו כן, [[יחס הזהב]] <math>\ \gamma = \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> ניתן לקירוב מסדר שני עבור <math>\ C = \sqrt{5}</math>, אבל לא עבור כל קבוע גדול יותר. אם מוציאים מכלל החישוב את המספרים הנמצאים ב[[מסלול (תורת החבורות)|מסלול]] של יחס הזהב תחת פעולת <math>\ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})</math>, כלומר, את המספרים <math>\ \frac{a\gamma+b}{c\gamma+d}</math> כאשר <math>\ a,b,c,d</math> שלמים ו- <math>\ ad-bc = \pm 1</math>, אז אפשר לקרב מסדר שני כל מספר אי-רציונלי נותר, עם <math>\ C = \sqrt{8}</math>. באופן כללי יותר, לכל <math>\ C < 3</math> יש רק מספר סופי של [[פעולת חבורה|מסלולי]]-<math>\ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})</math>, שמלבדם כל מספר אי-רציונלי ניתן לקרוב מסדר שני, עם הקבוע C. גם כאן, 3 הוא ערך אופטימלי: יש אינסוף מסלולים של מספרים שאינם ניתנים לקירוב מסדר שני עם <math>C = 3</math>. התנהגות זו מתוארת בספקטרום של מרקוב {{אנ|Markov spectrum}} וקווי Hall ([https://www.researchgate.net/publication/268995472_On_Hall_rays_in_the_Diophantine_approximation]). 

ב-[[1844]] הוכיח [[ז'וזף ליוביל|ליוביל]] את [[משפט ליוביל (קירוב דיופנטי)|משפט ליוביל]] הקובע כי לא ניתן לקרב [[מספר אלגברי]] [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] מסדר שגדול מהדרגה שלו. תוצאה זו אפשרה לו להוכיח לראשונה כי קיימים [[מספר טרנסצנדנטי|מספרים טרנסצנדנטיים]] שכן הוא הראה שקיימים מספרים שניתן לקרב מכל סדר שהוא (אלו קרויים על שמו [[מספרי ליוביל]]).

ב-[[1955]] שיפר K.F. Roth תוצאות קודמות של Thue, Siegel ו-Dyson, והראה שמספר אלגברי אינו ניתן לקירוב מסדר גבוה מ-2. תוצאה מעין זו מאפשרת להוכיח בקלות את הטרנסצנדנטיות של [[e (קבוע מתמטי)|𝑒]] ושל [[קבוע מתמטי|קבועים]] מוכרים אחרים (אם כי הטרנסצנדטיות של <math>\ \pi</math> דורשת מאמץ רב יותר).

== קירוב דיופנטי סימולטני ==
לפי משפט של [[הרמן מינקובסקי|מינקובסקי]], שעסק רבות ב"[[גאומטריה]] של מספרים", אפשר לקרב זוג [[מספר אי-רציונלי|מספרים אי-רציונליים]] באופן סימולטני: לכל <math>\ \alpha,\beta</math> יש אינסוף שלשות של מספרים שלמים <math>\ n, n', m</math> כך ש- <math>\ |\alpha - \frac{n}{m}| < \frac{1}{m^{3/2}}</math> ו- <math>\ |\beta - \frac{n'}{m}| < \frac{1}{m^{3/2}}</math>. אותם שיקולים מראים שאפשר לקרב סימולטנית כל [[קבוצה סופית]] של מספרים <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_d</math>, על ידי מספרים <math>\ n_1,\dots,n_d,m</math>, כך ש- <math>\ |\alpha_i - \frac{n_i}{m}|<\frac{1}{m^{1+1/d}}</math>. [[השערת ליטלווד]] עוסקת בטיב הקירוב של זוג מספרים אי-רציונליים.

== התפלגות של הערך השברי ==
לכל מספר אי-רציונלי <math>\ \alpha</math>, הסדרה <math>\ (\alpha), (2\alpha), (3\alpha), \cdots</math> היא בעלת [[התפלגות אחידה רציפה|התפלגות אחידה]] בקטע היחידה, כאשר <math>\ (x) = x-[x]</math> מציין את [[החלק השברי]] של x (ו- <math>\ [x]</math> הוא [[החלק השלם]]), זוהי תוצאה של [[הרמן וייל]] שהוכחה באמצעות [[אנליזה הרמונית]], ההוכחה גם סיפקה כלי כללי לדעת מתי סדרה [[מתפלגת אחיד]] ביחס למידה כלשהי בחבורות טופולוגיות קומפקטיות - [[קריטריון וייל]]. [[קרונקר]] הוכיח שאם <math>\ 1,\alpha,\beta</math> [[תלות ליניארית|בלתי תלויים ליניארית]] מעל [[שדה המספרים הרציונליים]], אז סדרת הזוגות <math>\ ((n\alpha),(n\beta))</math> [[קבוצה צפופה|צפופה]] בריבוע היחידה, [[קריטריון וייל]] מאפשר להראות שגם סדרה זו מפולגת אחיד.
במסגרת [[התורה הארגודית]], התגלו הוכחות נוספות לדברים הללו, באמצעות פיתוח של "חצי-מכפלות" (skew products) בידי [[הלל פורסטנברג]], הכלים הללו מאפשרים לעיתים להוכיח התפלגות אחידה של מסלולים מסובכים יותר.

== זרימות הומוגניות ודינמיקה ==
ניתן להראות כי פיתוח של [[שבר משולב]] נותן את הקירוב הטוב ביותר, בנוסף, ניתן להראות כי פיתוח של שבר משולב מתאים ל[[זרימה גיאודזית]] על [[המשטח המודולרי]] <math>\ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) </math>.
Dani הראה בשנות ה-80 דרך כללית להוכחה כי מספר הוא badly approximable דרך הוכחת התבדרות של מסלולים תחת זרימות גאודזיות במרחבים דומים ל[[משטח המודולרי]].
בשיטות דומות לאלו ניתן להוכיח (במקרים מיוחדים) תוצאות כלליות בתורת המספרים, דוגמת [[השערת Oppenheim]] ו-[[השערת ליטלווד]].

== מקורות ==
{{ltr|
* Ivan Niven, 1963. '''Diophantine Approximations'''. {{ISBN|978-0486462677}}
* Dmitry Kleinbock, [http://people.brandeis.edu/~kleinboc/Pub/survey.pdf Some Applications Of Homogeneous Dynamics To Number Theory].
}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[קטגוריה:הוכחות]]