הצגת המקור של הדף "קירוב WKB"

ב[[פיזיקה מתמטית]], קירוב WKB או '''שיטת WKB''' היא שיטת קירוב ליניארי לצורך מציאת פתרונות של [[משוואות דיפרנציאליות חלקיות]] עם מקדמים המשתנים במרחב. בדרך כלל, נעשה שימוש בשיטה זו עבור חישוב [[פיזיקה סמי-קלאסית|סמי-קלאסי]] ב[[מכניקת הקוונטים|מכניקה קוונטית]], שבו [[פונקציית גל|פונקציית הגל]] מתנהגת כפונקציה [[אקספוננט|אקספוננציאלית]], המתפשטת סמי-קלאסית במרחב ואשר או ה[[משרעת]] או ה[[פאזה (גלים)|פאזה]] של פונקציה זו משתנים באופן איטי.

מקור השם WKB הוא בראשי תיבות של המדענים [[גרגור ונצל|ונצל]]-[[הנס קרמרס|קרמרס]]-[[לאון ברילואן|ברילואן]] ('''W'''entzel–'''K'''ramers–'''B'''rillouin). קירוב זה ידוע גם כקירוב LG או קירוב [[ז'וזף ליוביל|ליוביל]]-[[ג'ורג' גרין|גרין]] ('''L'''iouville–'''G'''reen). לעיתים הוא נקרא  JWKB או WKBJ כאשר ה-J מתייחסת ל[[הרולד ג'פרי|ג'פרי]] ('''J'''effreys).

== היסטוריה ==
קירוב WKB קרוי על שם ה[[פיזיקאי]]ם: [[גרגור ונצל]], [[הנס קרמרס]] ו[[לאון ברילואן]] ('''W'''entzel–'''K'''ramers–'''B'''rillouin), אשר פיתחו אותה בשנת [[1926]].

בשנת [[1923]], פיתח המתמטיקאי הבריטי [[הרולד ג'פרי]] שיטה כללית של קירוב לפתרונות [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות ליניאריות דיפרנציאליות מסדר שני]]. שנתיים מאוחר יותר פותחה [[משוואת שרדינגר]] ו[[גרגור ונצל|ונצל]], [[הנס קרמרס|קרמרס]], ו[[לאון ברילואן|ברילואן]] שלא היו מודעים לעבודה המוקדמת של [[הרולד ג'פרי|ג'פרי]], פיתחו קירוב ליניארי כללי שניתן ליישמו כפתרון ל[[משוואת שרדינגר]].{{הערה|{{צ-ספר|מחבר=R.B. Dingle|שם=Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation|מו"ל=Academic Press|שנת הוצאה=[[1973]]|קישור=https://michaelberryphysics.files.wordpress.com/2013/07/dingle.pdf}}}}

מקורות מוקדמים יותר לשיטה ניתן למצוא בעבודתם של : [[פרנצ'סקו קרליני|קרליני]] ([[1817]]), [[ז'וזף ליוביל|ליוביל]] ([[1837]]), [[ג'ורג' גרין|גרין]] [[1837]], [[ג'ון ויליאם סטראט ריילי|ריילי]] ([[1912]]) ו[[ריצ'רד גנז|גנז]] בשנת [[1915]]. יש הסבורים כי ניתן לזהות את [[ז'וזף ליוביל]] ו[[ג'ורג' גרין]] כאבות השיטה ולכן קירוב זה ידוע גם כקירוב LG או קירוב [[ז'וזף ליוביל|ליוביל]]-[[ג'ורג' גרין|גרין]] ('''L'''iouville–'''G'''reen).{{הערה|{{צ-ספר|מחבר=Adrian E. Gill|שם=Atmosphere-ocean dynamics|מו"ל=Academic Press|שנת הוצאה=[[1982]]|עמ=297|ISBN=978-0-12-283522-3|קישור=https://books.google.co.il/books?id=1WLNX_lfRp8C&pg=PA297&dq=Liouville-Green+WKBJ+WKB&redir_esc=y&hl=iw#v=onepage&q=Liouville-Green%20WKBJ%20WKB&f=false}}}}

תרומתם של [[גרגור ונצל|ונצל]], [[הנס קרמרס|קרמרס]], ו[[לאון ברילואן|ברילואן]] לשיטה הייתה הכללת הטיפול של [[נקודה יציבה|נקודות מפנה]] {{אנ|Stationary point}}, על ידי "תפירת" הפתרונות ה[[מתנד הרמוני קוונטי|תנודתיים]] וה[[שדה זמני|זמניים]] {{אנ|Evanescent field}} משני צדי נקודת המפנה. לדוגמה, פתרון [[משוואת שרדינגר]] עם [[מחסום פוטנציאל|גבעת]] [[אנרגיה פוטנציאלית]] (אזור סביב מקסימום מקומי של אנרגיה פוטנציאלית).

== שיטת WKB ==
באופן כללי, תאוריית WKB היא שיטה למציאת קירוב לפתרון משוואות דיפרנציאליות אשר נגזרתה הגבוהה ביותר מוכפלת בפרמטר קטן, <math>\epsilon</math>:

<math display="block">\epsilon \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n} + a(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + k(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + m(x)y= 0 ~\quad(1)</math>

מניחים פתרון בצורת הרחבה ל[[טור (מתמטיקה)|טור]] [[אסימפטוטה|אסימפטוטי]]:

<math display="block"> y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right] \quad(2)</math>

ב[[גבול של פונקציה|גבול]] שבו <math>\delta\rightarrow0</math>.

== דוגמה ==

מניחים משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שני כגון:

<math display="block">\epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y\quad(3)</math>

כאשר <math>Q(x) \neq 0</math>.

מציבים:

<math display="block">y(x) = \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^\infty \delta^nS_n(x)\right] \quad(4)</math>

ומקבלים:

<center><math>\epsilon^2\left[\frac{1}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^\infty \delta^nS_n'\right)^2 + \frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n''\right] = Q(x)\quad(5)</math>
</center>
עבור הסדר המוביל, אפשר לקרב את משוואה <math>\quad(5)</math> :

<center><math>\frac{\epsilon^2}{\delta^2}S_0'^2 + \frac{2\epsilon^2}{\delta}S_0'S_1' + \frac{\epsilon^2}{\delta}S_0'' = Q(x)\quad(6)</math>
</center>
ב[[גבול של פונקציה|גבול]] שבו <math>\delta\rightarrow0</math>, האיבר הדומיננטי ניתן על ידי:

<math display="block">\frac{\epsilon^2}{\delta^2}S_0'^2 \sim Q(x) \quad(7)</math>

כך ש-<math>\delta</math> פרופורציונלי ל-<math>\epsilon</math>.

הצבת 2 גדלים אלו כשווים והשוואת ה[[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] של <math>\epsilon</math> ב"סדר 0" מניבה:

<math display="block">\epsilon^0: \quad S_0'^2 = Q(x) \quad(8)</math>

המוכרת כ[[משוואה איקונלית]] {{אנ|Eikonal equation}} עם הפתרון:

<center><math>S_0(x) = \pm \int_{x_0}^x \sqrt{Q(t)}\,dt \quad(9)</math></center>השוואת החזקות של <math>\epsilon</math> בסדר הראשון קובעת:

<math display="block">\epsilon^1: \quad 2S_0'S_1' + S_0'' = 0 \quad(10)</math>

המוכרת כ[[משוואת מעבר]] {{אנ|Transport equation}} עם הפתרון:

<math display="block">S_1(x) = -\frac{1}{4}\ln Q(x) + k_1 \quad(11)</math>

כאשר <math>k_1 </math> הוא קבוע שרירותי.

מאחר ש-<math>S_0</math> יכול להיות הן חיובי והן שלילי, קירוב WKB של <math>\quad(3)</math> בסדר ראשון יהיה [[צירוף ליניארי]] של זוג פתרונות כדלהלן:

<center><math>y(x) \approx c_1Q^{-\frac{1}{4}}(x)\exp\left[\frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right] + c_2Q^{-\frac{1}{4}}(x)\exp\left[-\frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right]\quad(12)</math>
</center>

ניתן לקבל פתרונות לסדרים גבוהים יותר <math>(n \ge 2)</math> על ידי חישוב דומה של:

<center><math> 2S_0'S_n' + S''_{n-1} + \sum_{j=1}^{n-1}S'_jS'_{n-j} = 0\quad(13)</math>
</center>

== יישום עבור משוואת שרדינגר ==
[[משוואת שרדינגר|משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן]] במימד אחד היא:

<center><math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x) \quad(14)</math>
</center>
ניתן לכתוב משוואה זו בצורה אחרת:

<center><math> \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x) \quad(15)</math>
</center>

[[פונקציית גל|פונקציית הגל]] ניתנת להגדרה על ידי [[אקספוננט]] של [[פונקציה]] אחרת, ''<math>\Phi </math>'' (המשויכת ל[[פעולה (פיזיקה)|פעולה]]), אשר יכולה להיות גם [[פונקציה מרוכבת]]:

<math display="block">\Psi(x) = e^{\Phi(x)} ~\quad(16)</math>

כך ש:

<center><math>\Phi''(x) + \left[\Phi'(x)\right]^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)\quad(17)</math> 
</center>

כאשר ''<math>\Phi' </math>'' היא הנגזרת של ''<math>\Phi </math>'' לפי ''<math>x </math>''.

הנגזרת ''<math>\Phi' </math>'', יכולה להתפצל לחלק ממשי ולחלק מדומה הכוללים את הפונקציות הממשיות ''<math>A </math>'' ו-''<math>B </math>'':

<center><math>\Phi'(x) = A(x) + i B(x)~\quad(18)</math> 
</center>

ואז [[משרעת]] [[פונקציית גל|פונקציית הגל]] היא <math>\exp\left[\int^x A(x')dx'\right]\,\!~</math> ואילו ה[[פאזה (גלים)|פאזה]] היא: <math>\int^x B(x')dx'\,\!~</math>.

[[משוואת שרדינגר]] מתחלקת ל-2 משוואות: אחת עבור החלק ה[[מספר ממשי|ממשי]] <math>\quad(19)</math> ואחת עבור החלק ה[[מספר מדומה|דמיוני]] <math>\quad(20)</math> כדלהלן:

<center><math>A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) ~\quad(19)</math> 
</center>

<math display="block">B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0 ~\quad(20)</math>

לאחר מכן, משתמשים בקירוב ה[[פיזיקה סמי-קלאסית|סמי-קלאסי]], קירוב WKB. משמעות הדבר היא כי כל פונקציה מפותחת כ[[טור חזקות]] של [[קבוע פלאנק המצומצם]], <math>\hbar</math>. מתוך המשוואות לעיל, ניתן לראות כי טור החזקות חייב להתחיל עם סדר של <math>\frac{1}{ \hbar}</math> כדי להתאים לחלק הממשי של המשוואה.

על מנת להשיג גבול קלאסי טוב, יש צורך להתחיל עם חזקה גבוהה של [[קבוע פלאנק המצומצם]], <math>\hbar</math> ככל האפשר:

<center><math>A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{n=0}^\infty \hbar^n A_n(x)~\quad(21)</math>

</center><math display="block">B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{n=0}^\infty \hbar^n B_n(x)~\quad(22)</math>

עבור "סדר 0" ניתן להביע את ''<math>A </math>'' ו-''<math>B </math>'' כך:

<center><math>A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)\quad(23)</math>
</center>

<math display="block">A_0(x) B_0(x) = 0 \;\quad(24)</math>

הנגזרות הראשונות ''<math>A'(x) </math>'' ו-''<math>B'(x) </math>'' נמחקו מאחר שהן כוללות פקטורים מסדר גודל של <math>\frac{1}{ \hbar}</math> הגבוה יחסית לסדר הדומיננטי <math>\frac{1}{\hbar^2}</math>.

מצד אחד, אם ה[[משרעת]] משתנה לאט יחסית בהשוואה ל[[פאזה (גלים)|פאזה]] <math>(A_0(x) = 0)</math>, אזי מקבלים:

<math display="block">B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\quad(24)</math>

המשוואה שלעיל, <math>\quad(24)</math>, תקפה רק כאשר ה[[אנרגיה|אנרגיה הכללית]] גדולה יותר מה[[אנרגיה פוטנציאלית|אנרגיה הפוטנציאלית]] <math>(E>V(x))</math>, כפי שקורה תמיד ב[[מכניקה קלאסית|תנועה קלאסית]].

אחרי ביצוע תהליך דומה לסדר הבא בפיתוח לטור חזקות, מקבלים כפתרון ל[[משוואת שרדינגר]] את [[פונקציית גל|פונקציית הגל]]:

<math display="block">\Psi(x) \approx C_0 \frac{ e^{i \int \mathrm{d}x \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}~\quad(25)</math>

מצד שני, אם ה[[פאזה (גלים)|פאזה]] משתנה לאט יחסית בהשוואה ל[[משרעת]] <math>(B_0(x) = 0)</math>, אזי מקבלים:

<math display="block">A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }\quad(26)</math>

המשוואה שלעיל, <math>\quad(26)</math>, תקפה רק כאשר ה[[אנרגיה פוטנציאלית|אנרגיה הפוטנציאלית]] גדולה יותר מה[[אנרגיה|אנרגיה הכללית]] <math>(E<V(x))</math>, כפי שקורה תמיד ב[[מנהור קוונטי]].

אחרי ביצוע תהליך דומה לסדר הבא בפיתוח לטור חזקות, כמקודם, מקבלים כפתרון ל[[משוואת שרדינגר]] את [[פונקציית גל|פונקציית הגל]]:

 <center><math>\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int \mathrm{d}x \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} 
+ C_{-} e^{- \int \mathrm{d}x \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}~\quad(27)</math></center>

2 הפתרונות המקורבים ל[[משוואת שרדינגר]], הן <math>\quad(25)</math> והן <math>\quad(27)</math>, נעשים [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולריים]] בנקודת המפנה או נקודת ה"תפר", כאשר <math>E=V(x)</math> ולכן אינם תקפים בנקודה זו.

תקפות הקירובים היא מעל ומתחת [[מחסום פוטנציאל|גבעת הפוטנציאל]]. מעל [[מחסום פוטנציאל|גבעת הפוטנציאל]] החלקיק מתנהג כגל חופשי - [[פונקציית גל|פונקציית הגל]] [[מתנד הרמוני|אוסצילטורית]]. מתחת [[מחסום פוטנציאל|גבעת הפוטנציאל]] החלקיק עובר שינויים [[אקספוננט]]ציאלים ב[[משרעת]].

על מנת להבטיח את הגלובליות של קירוב WKB עבור משוואת שרדינגר הכוללת [[מחסום פוטנציאל|גבעת פוטנציאל]] נדרש למצוא פתרון מקורב בנקודות המפנה שבהן <math>E=V(x)</math>. הדבר נעשה בדרך הבאה:

עבור נקודת המפנה הקלאסית, <math>x_1</math> וקרוב ל- <math>E=V(x_1)</math>, הביטוי <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)</math> ניתן לפיתוח כטור חזקות:

<center><math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1 \cdot (x - x_1) + U_2 \cdot (x - x_1)^2 + \cdots\;\quad(28)</math>
</center>

עבור הסדר הראשון מתקבל:

<center><math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) = U_1 \cdot (x - x_1) \cdot \Psi(x)\quad(29)</math>
</center>

[[משוואה דיפרנציאלית]] זו ידועה כ[[משוואת איירי]] וניתן להביע את פתרונה במונחים של [[פונקציית איירי]]:

<math display="block">\Psi(x) = C_A \textrm{Ai}\left( \sqrt[3]{U_1} \cdot (x - x_1) \right) + C_B \textrm{Bi}\left( \sqrt[3]{U_1} \cdot (x - x_1) \right)\quad(30)</math>

"תפירת" פתרון זה עם 2 הפתרונות המקורבים מעל ומתחת [[מחסום פוטנציאל|גבעת הפוטנציאל]] נעשית על ידי מציאת היחס בין המקדמים השונים, <math>C_0,\theta</math> ו-<math>C_{+},C_{-}</math>. מאחר ש[[פונקציית איירי|פונקציות איירי]] בגבול האסימפטוטי, הופכות לפונקציות [[אקספוננט]]ציאליות כגון: [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] ו[[קוסינוס]], ניתן להביע את היחס בין המקדמים השונים דרך "פונקציות הקשר":

<center><math> C_{+} = + \frac{1}{2} C_0 \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}\quad(31)</math>
</center>

<math display="block"> C_{-} = - \frac{1}{2} C_0 \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}\quad(32)</math>

לסיכום, מתקבל פתרון מקורב גלובלי עבור [[משוואת שרדינגר]] הכוללת [[מחסום פוטנציאל|גבעת פוטנציאל]].

== ראו גם ==
* [[תורת ההפרעות]]
* [[מקדם העברה]]
* [[מנהור קוונטי]]

== לקריאה נוספת ==

<div class="mw-content-ltr">
* Bender, Carl; Orszag, Steven (1978). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. {{ISBN|0-07-004452-X}}
* Child, M. S. (1991). Semiclassical mechanics with molecular applications. Oxford: Clarendon Press. {{ISBN|0-19-855654-3}}.
* Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. {{ISBN|0-13-111892-7}}.
* Hall, B.C. (2013). Quantum Theory for Mathematicians. Springer.
* Liboff, Richard L. (2003). Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. {{ISBN|0-8053-8714-5}}.
* Olver, Frank William John (1974). Asymptotics and Special Functions. Academic Press. {{ISBN|0-12-525850-X}}.
* Razavy, Mohsen (2003). Quantum Theory of Tunneling. World Scientific. {{ISBN|981-238-019-1}}.
* Sakurai, J. J. (1993). Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. {{ISBN|0-201-53929-2}}.
</div>

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:פיזיקה תאורטית]]
[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]