הצגת המקור של הדף "קריטריון קרטן"

ב[[אלגברה מופשטת]], '''קריטריון קרטן''' הוא קריטריון להיותה של [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פתירה|פתירה]]. ממנו נובע [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיות של [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]], בעזרת [[תבנית קילינג]].

==ניסוח==
תהי <math>L</math> תת-[[אלגברת לי]] של אלגברת ה[[אנדומורפיזם|אנדומורפיזמים]] <math>gl(V)</math> של [[מרחב וקטורי]] <math>V</math> מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי, מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]] מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז <math>L</math> [[אלגברת לי פתירה|פתירה]] [[אם ורק אם]]
<math>\forall x \in L, y \in [L,L] : \operatorname{Tr}(xy)=0</math>.

==הוכחה==
קודם נניח כי <math>L</math> [[אלגברת לי פתירה|פתירה]]. [[משפט לי]] קובע כי אם <math>L \subseteq gl(V)</math> [[אלגברת לי פתירה|פתירה]] אז ניתן להציג כל איבר בה כ[[מטריצה משולשית]] עליונה. מסקנה נוספת ממשפט לי קובעת כי אם <math>L</math> פתירה אז <math>[L,L]</math> [[ אלגברת לי נילפוטנטית|נילפוטנטית]], ו[[משפט אנגל]] קובע כי כל איבר של אלגברת לי נילפוטנטית ניתן להציג כמטריצה משולשית עליונה ממש (עם אפסים באלכסון). לכן, מכפלה של איבר מ-<math>[L,L]</math> באיבר מ-<math>L</math> ייתן מטריצה משולשית עליונה ממש, וה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]] שלה היא אפס, כדרוש.

כדי להוכיח את הכיוון השני, יש להיעזר בלמה:

''למה'': יהיו <math>A \subseteq B \subseteq gl(V)</math>, ונביט ב-<math>M=\{x \in gl(V) : [x,B] \subseteq A \}</math>. לכל <math>x \in M</math>, אם מתקיים <math>\forall y \in M,\operatorname{Tr}(xy)=0</math>, אז <math>x</math> נילפטונט.

(הוכחה ללמה ראו בקריאה נוספת).

כדי להוכיח את הקריטריון, כלומר כדי להוכיח ש-<math>L</math> פתירה, מספיק להוכיח כי <math>[L,L]</math> נילפטונתית (כי אז היא גם פתירה ואז גם <math>L</math> פתירה). לפי [[משפט אנגל]] מספיק להוכיח כי כל איבר ב-<math>[L,L]</math> נילפוטנט. כדי לעשות זאת, נשתמש בלמה עם <math>A=[L,L] \subseteq B=L</math>. כאן <math>M=\{x \in gl(V) : [x,L] \subseteq [L,L] \}</math>, ומתקיים <math>[L,L] \subseteq L \subseteq M</math>. כדי להסיק מהלמה שכל איברי <math>[L,L]</math> נילפוטנט, מספיק להוכיח כי
<math>\forall [x,y] \in [L,L] ,z \in M : \operatorname{Tr}([x,y]z)=0</math>. אכן מתקיים <math>\operatorname{Tr}([x,y]z)=\operatorname{Tr}(x[y,z])=0</math> - המעבר האחרון נכון כי לפי ההנחה ש-z ב-<math>M</math> ולכן  <math>[y,z] \in [L,L]</math>, ולכן אפשר להשתמש בנתון.

==מסקנה לכל אלגברת לי==
קריטריון קרטן כפי שנוסח לעיל נכון רק לתת אלגברות של אלגברת ה[[אנדומורפיזם|אנדומורפיזמים]] (אחרת אין משמעות ל[[עקבה (אלגברה)|עקבה]] של האיברים). ההכללה הטבעית היא:

'''מסקנה''': תהי <math>L</math> כל אלגברת לי, כך ש-<math>\forall x\in L , y \in [L,L]: \operatorname{Tr}(ad(x)ad(y))=0</math>, כאשר <math>\operatorname{ad}</math> הוא [[ההצגה הצמודה]]. אז <math>L</math> פתירה.

''הוכחה'': נפעיל את קריטריון קרטן עבור<math>\operatorname{ad}(L)=\{\operatorname{ad}x:x \in L\}</math>, ונקבל כי <math>\operatorname{ad}(L)</math> פתירה. לפי [[משפטי האיזומורפיזם|משפט האיזומורפיזם]] הראשון עבור ההעתקה <math>\operatorname{ad}:L \rightarrow \operatorname{gl}(V)</math> נקבל כי <math>L/Z(L)\cong ad(L)</math> פתירה (כאשר <math>\operatorname{Z}(L)</math> הוא ה[[מרכז (אלגברה)|מרכז]] של <math>L</math>); אבל <math>\operatorname{Z}(L)</math> אבלית ולכן פתירה, ולכן גם <math>L</math> פתירה כדרוש.

==ראו גם==
* [[אלגברת לי פתירה]]
* [[משפט אנגל]]
* [[משפט לי]]
==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 19-20
</div>


[[קטגוריה:אלגבראות לי|קרטן]]
[[קטגוריה:חבורות לי|קרטן]]