הצגת המקור של הדף "קרקטר דיריכלה"

ב[[מתמטיקה]] '''קרקטר דיריכלה''' הוא [[פונקציה אריתמטית#כפליות|פונקציה כפלית]] ו[[פונקציה מחזורית|מחזורית]] מ[[חוג השלמים]] ל[[שדה המרוכבים]].{{הערה|ההגדרה המדויקת מעט שונה. [[#הגדרה|ראו להלן]]}} דריכלה עבד עם מושג זה בצורתו העוברית. דדקינד נתן את ההגדרה הפורמלית המודרנית של המושג ונתן לו את שמו. דיריכלה השתמש במושג זה כדי להגדיר את [[פונקציית L של דיריכלה]] שעומדת בבסיס הוכחתו ל[[משפט דיריכלה]] על [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] ב[[סדרה חשבונית|סדרות חשבוניות]].{{הערה|שם=ספרהיסטוריה|[https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-13157-2 The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood]}}

קרקטרי דיריכלה עמדים גם בבסיסה של [[התמרת פורייה דיסקרטית|התמרת פורייה הדיסקרטית]] ה[[חבורה כפלית|כפלית]].

==הגדרה==
קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor) <math>m</math> הוא פונקציה <math>\chi:\Z\to \C</math> המקיימת:
#לכל <math>n\in \N</math> מתקיים: <math>\chi(n+m)=\chi(n)</math>
#לכל <math>n</math> שאינו זר ל-<math>m</math> מתקיים: <math> \chi(n)=0</math>
#לכל <math>n,k\in \N</math> מתקיים: <math>\chi(nk)=\chi(n)\chi(k)</math>
#<math>\chi(1)=1</math>

===קרקטר דיריכלה כקרקטר של חבות אוילר===
כיוון שקרקטר דיריכלה הוא [[פונקציה מחזורית]] (תנאי 1) ניתן לראות בו [[פונקציה על]] ה[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] הסופי <math>\Z|_m:=\Z/m\Z</math>. כיוון שהוא מתאפס על האיברים הלא [[איבר הפיך|הפיכים]] בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראות בו פונקציה על [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] האיברים ההפיכים בחוג זה. חבורה זו נקראת [[חבורת אוילר]] ומסומנת ב-<math>\Z|_m^\times</math>. מנקדת מבט זו קרקטר דיריכלה הוא [[קרקטר (מתמטיקה)|קרקטר כיפלי]] של החבורה <math>\Z|_m^\times</math>. קרי [[הומומורפיזם]] מחבורה זו לחבורה <math>\C^ \times:=\C\smallsetminus \{0\} </math>. אוסף כל הקרקטרים של חבורה <math>G</math> נקרא [[דואליות פונטריאגין|החבורה הדואלית]] של <math>G</math> ומסומן ב-<math>\widehat G</math>. בהתאם, אוסף כל קרקטרי דיריכלה עם מנחה <math>m</math> מסומן ב-<math>\widehat{\Z|_m^\times}</math>.

== ראו גם ==
{{תקציר פורטל|מתמטיקה}}
* [[פונקציית L של דיריכלה]]
* [[קרקטר (מתמטיקה)]] 
* [[חבורת אוילר]]
* [[משפט דיריכלה]]
* [[קרקטר הקה]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:תורת המספרים האנליטית]]
[[קטגוריה:פונקציות זטא]]