הצגת המקור של הדף "קשר אפיני"

ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]], '''קשר אפיני''' הוא יוצר אינפיניטסימלי של [[הזזה מקבילה]].

==הזזה מקבילה, שדות מקבילים, וקשר אפיני==
ביריעה דיפרנציאלית אין דרך קנונית לזהות מרחבים משיקים בנקודות שונות. כדי לזהות את המרחבים המשיקים בכל זאת משתמשים בהזזה מקבילה, שהיא העתקה שמתאימה לכל עקום <math> \gamma:[0,1] \rightarrow M </math> איזומורפיזם <math> P_{\gamma(0) \rightarrow \gamma(1)} </math> בין המרחבים המשיקים <math> T_{\gamma(0)}M </math> ו-<math> T_{\gamma(1)}M</math>. על יריעה מממד חיובי יש אינסוף העתקות מקבילות.

בהינתן הזזה מקבילה <math> P </math>, עקום <math> \gamma </math>, ושדה וקטורי <math> X </math>, אומרים ש-<math> X </math> מקביל לאורך <math> \gamma </math> אם <math> X_{\gamma(t)} </math> הוא ההזזה המקבילה של <math> X_{\gamma(0)} </math> לאורך <math> \gamma </math>. תנאי שקול הוא שהפונקציה <math> t\mapsto P_{\gamma(t)\rightarrow \gamma(0)}(X_{\gamma(t)}) </math> קבועה.

במקרה הכללי, הנגזרת של הפונקציה <math> t\mapsto P_{\gamma(t)\rightarrow \gamma(0)}(X_{\gamma(t)}) </math> ב-0 היא מדד לכמה השדה הווקטורי איננו מקביל. נגזרת זו תלויה רק ב-<math> X </math> ובווקטור המשיק <math> \dot{\gamma}(0) </math> וערכה מסומן ב-<math> \nabla_{\dot{\gamma}(0)}X</math>. ההעתקה <math> (v,X)\mapsto \nabla_vX </math> היא הקשר האפיני שמתאים להזזה <math> P </math>. הקשר וההזזה המקבילה קובעים זה את זו.

==הגדרה פורמלית==

קשר אפיני הוא העתקה ביליניארית <math> (X,Y)\mapsto \nabla_XY </math> שלוקחת שני שדות וקטורים ומחזירה שדה וקטורי כך שלכל פונקציה חלקה <math> f </math> מתקיימות התכונות הבאות:
* <math> \nabla_{fX}Y=f\nabla_XY </math>.
* <math> \nabla_X(fY)=X(f)\cdot Y+f\nabla_XY </math>.


==סימני כריסטופל==

מקומית, כאשר עובדים עם קורדינטות מקומיות <math> x_1,\ldots,x_n </math>, השדות הווקטוריים <math> \partial_i:=\frac{\partial}{\partial x_i} </math> מוגדרים, ולכל <math> i,j </math> אפשר לכתוב

<math> \nabla_{\partial_i}\partial_j=\sum_k \Gamma_{i,j}^k\partial_k </math>

כאשר <math> \Gamma_{i,j}^k </math> הן פונקציות חלקות. הפונקציות <math> \Gamma_{i,j}^k </math> נקראות סימני כריסטופל של הקשר.


[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]