הצגת המקור של הדף "ראשוניים תאומים"

{{בעיה פתוחה|מתמטיקה|האם קיימים אינסוף ראשוניים תאומים?}}
ב[[תורת המספרים]], '''ראשוניים תאומים''' הם זוג [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] שההפרש ביניהם הוא 2. פרט למספר הראשוני 2, כל שאר הראשוניים הם [[זוגיות (מתמטיקה)|אי-זוגיים]], ולכן המרחק בין כל שניים מהם מוכרח להיות זוגי. אם כן, 2 הוא ההפרש הקטן ביותר האפשרי (מלבד המקרה של 2 ו-3).

עשרת הזוגות הראשונים של ראשוניים תאומים הם:
:<math display=block>(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61),(71,73),(101,103),(107,109),\ldots</math>
המספר שבין זוג ראשונים תאומים מתחלק תמיד ב-6, למעט המקרה (3,5).

נכון ל[[אפריל]] [[2012]], הראשוניים התאומים הגדולים ביותר הידועים הם <math>3756801695685\cdot2^{666669}\pm1</math>, בעלי 200,700 ספרות.{{הערה|1={{cite web | url = http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=103792 | title = The Prime Database: 3756801695685*2^666669-1  | work = [[Prime Pages]] | date = 26 April 2012 | accessdate = 2012-04-26}}}}

השאלה האם קיימים [[אינסוף]] ראשוניים תאומים היא אחת מ[[בעיה פתוחה במתמטיקה|השאלות הפתוחות]] הוותיקות ב[[תורת המספרים]]. זהו התוכן של [[השערת המספרים הראשוניים התאומים]]. 

צורה חזקה של השערה זו היא [[השערת המספרים הראשוניים התאומים#השערת הארדי-ליטלווד הראשונה|השערת הארדי-ליטלווד]], העוסקת במספרם של הראשוניים התאומים הקטנים מגבול x. לפי ההשערה, מספר הזוגות שווה בקירוב ל-<math>C\frac{x}{\ln(x)^2}</math> כאשר <math>C>0</math> קבוע כלשהו; במילים אחרות, הסיכוי שמספרים <math>x,x+2</math> יהיו שניהם ראשוניים הוא <math>\frac{C_0}{\ln(x)^2}</math> כאשר <math>C_0>0</math> קבוע כלשהו. ההשערה תואמת ל[[משפט המספרים הראשוניים]], שלפיו הסיכוי של כל אחד מן המספרים האלה להיות ראשוני הוא בקירוב <math>\frac{x}{\ln(x)}</math>.

על ידי פיתוח גרסה כמותית ל{{ה|נפה של ארטוסתנס}}, הוכיח המתמטיקאי הנורווגי [[ויגו ברון|ברון]] בשנת [[1919]], שמספר הראשוניים התאומים עד <math>x</math> קטן מ-<math>\frac{x}{\ln(x)^2}</math>. מעובדה זו נובע ש[[טור (מתמטיקה)|סכום]] כל ההופכיים של הראשוניים התאומים מתכנס לגבול סופי (ראה [[קבוע ברון]]), שלא כמו סכום ההופכיים של כל המספרים הראשוניים (שהוא אינסופי). אפשר להסיק מכך שהראשוניים התאומים אינם מאוד שכיחים, אבל התוצאה של ברון אינה מראה שמספרם סופי (והדעה המקובלת היא להפך, שמספרם אינסופי).

שלישייה של מספרים תאומים, כלומר מספרים <math>p,p+2,p+4</math> ששלושתם ראשוניים, יש רק אחת, השלישייה 3, 5, 7. כדי להוכיח שאין שלישיות נוספות, נניח שיש שלישייה כזו. אם <math>p</math> הוא ראשוני גדול מ-3, הרי ה[[חילוק|שארית]] בחלוקתו ב-3 היא 1 או 2. אם השארית היא 1, הרי <math>p+2</math> מתחלק ב-3 ללא שארית, ואם השארית היא 2, הרי <math>p+4</math> מתחלק ב-3 ללא שארית. מאידך, ישנן שלשות מורכבות יותר כגון <math>p,p+2,p+6</math> או <math>p,p+4,p+6</math>, שאבריהן יכולים להיות כולם ראשוניים (לדוגמה, 11,13,17 במקרה הראשון, 37,41,43 במקרה השני). אנשי תורת המספרים משערים שאם התבנית אינה בלתי-אפשרית מסיבה טריוויאלית (כגון החלוקה ב-3 שהוסברה לעיל), אז ישנם אינסוף מקרים שבהם כל הרכיבים הם ראשוניים. זוהי הכללה של השערת המספרים הראשוניים התאומים.

ב-[[12 באפריל]] [[2013]], הצליח {{אנ|Yitang Zhang|יטאנג צ'אנג}} להוכיח כי מספר הזוגות הראשוניים שההפרש ביניהם קטן מ-70,000,000 הוא אינסופי{{הערה|1= רנה מרגלית, [http://alaxon.co.il/daily/חידת-המתמטיקאי-האלמוני חידת המתמטיקאי האלמוני], [[אלכסון (כתב עת)|אלכסון]], 22.5.13}}.

==ראו גם==
*[[ראשוני ז'רמן]]
*[[פאולו ג'ורדנו]] – [[פיזיקאי]] ו[[סופר]] [[איטלקי]], כתב את ה[[רומן]] "[[בדידותם של המספרים הראשוניים]]", שבו הדמויות הן זוג מספרים ראשוניים תאומים, שמופרדים זה מזה על ידי מספר זוגי יחיד שלא מאפשר להם להיפגש, למרות שהם כה קרובים.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
*[https://web.archive.org/web/20030403005104/http://www.utm.edu/research/primes/lists/top20/twin.html כריס קלדוול: ''מספרים ראשוניים''] (באנגלית).
*[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html שביאר גורדון, פסקל סבה: ''מבוא למספרים ראשונים תאומים וקבוע ברון''] (באנגלית).
*{{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:מספרים ראשוניים]]