הצגת המקור של הדף "רדיוס התכנסות"


ב[[מתמטיקה]], '''רדיוס ההתכנסות''' של [[טור חזקות]] הוא רדיוס [[עיגול|הדיסק]] הגדול ביותר [[טור חזקות|במרכז הסדרה]] בה מתכנסת הסדרה. זה [[מספר ממשי]] לא שלילי או <math>\infty</math> . כשהיא חיובית, סדרת החזקה מתכנסת באופן מוחלט ואחיד על [[קבוצה קומפקטית]] בתוך הדיסק הפתוחה ברדיוס השווה לרדיוס ההתכנסות, וזוהי [[טור טיילור|סדרת טיילור]] של [[פונקציה אנליטית|הפונקציה האנליטית]] שאליה היא מתכנסת. במקרה של ריבוי סינגולריות של פונקציה (סינגולריות הם ערכים של הארגומנט שעבורם הפונקציה לא מוגדרת), רדיוס ההתכנסות הוא המינימלי מכל המרחקים המתאימים (שכולם מספרים לא שליליים) המחושבים מתוך מרכז דיסק ההתכנסות לסינגולריות המתאימות של הפונקציה.

== הגדרה ==
עבור סדרת חזקות  ''f'' המוגדרת כ:

: <math>r=\sup \left\{ |z-a|\ \left|\ \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n\ \text{ converges } \right.\right\} </math>

על הגבול, כלומר עבור <math>r=|z-a|</math>, ההתנהגות של סדרת החזקה עשויה להיות מסובכת, והסדרה עשויה להתכנס עבור כמה ערכים של ''z'' ולהתבדר עבור אחרים. רדיוס ההתכנסות הוא אינסופי אם הסדרה מתכנסת עבור כל [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] ''z'' . <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=nw9eFnCSDNoC&q=radius+of+convergence|title=Mathematical Analysis-II|date=16 November 2010|publisher=Krishna Prakashan Media|language=en}}</ref>

* ''a'' הוא קבוע [[מספר מרוכב|מרוכב]], מרכז [[עיגול|דיסק]] ההתכנסות
* ''c'' <sub>''n''</sub> מקדם מרוכב באינדקס ''n''
* ''z'' הוא משתנה מרוכב

רדיוס ההתכנסות ''r'' הוא מספר ממשי לא שלילי או <math>\infty</math> כך שהסדרה מתכנסת אם

: <math>|z-a| > r.</math>

ומתבדרת אם

: <math>|z-a| < r</math>

אחרים עשויים להעדיף הגדרה חלופית, שכן הקיום ברור:

: <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n, </math>

כאשר

== מציאת רדיוס ההתכנסות ==
קיימים שני מקרים. המקרה הראשון הוא תאורטי: כאשר יודעים את כל המקדמים <math>c_n</math>, עבור הגבולות הידועים מוצאים את רדיוס ההתכנסות המדויק. המקרה השני הוא מעשי: כאשר בונים פתרון עבור סדרת חזקה של בעיה קשה, בדרך כלל נדע רק מספר סופי של מונחים בסדרת חזקה, בכל מקום מכמה איברים עד מאה איברים. במקרה השני הזה, אקסטרפולציה של גרף מעריכה את רדיוס ההתכנסות.

=== רדיוס תאורטי ===
ניתן למצוא את רדיוס ההתכנסות על ידי החלת מבחן השורש על תנאי הסדרה. מבחן השורש משתמש במספר

: <math>C = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n(z-a)^n|} = \limsup_{n\to\infty} \left(\sqrt[n]{|c_n|}\right) |z-a|</math>

"lim sup" מציין את הגבול העליון . מבחן השורש קובע שהסדרה מתכנסת אם ''C'' < 1ומתבדר אם ''C'' > 1. מכאן נובע שסדרת החזקה מתכנסת אם המרחק מ- ''z'' למרכז ''a'' קטן מ

: <math>r = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}</math>

ומתבדר אם המרחק עולה על מספר זה; הצהרה זו היא משפט קאוצ'י-האמרד . שימו לב ש- ''r'' = 1/0 מתפרש כרדיוס אינסופי, כלומר ''f'' היא [[פונקציה שלמה]] .

הגבול הכרוך במבחן היחס הוא בדרך כלל קל יותר לחישוב, וכאשר הגבול הזה קיים, זה מראה שרדיוס ההתכנסות הוא סופי.

: <math>r = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right|.</math>

מבחן היחס אומר שהסדרה מתכנסת אם

: <math> \lim_{n\to\infty} \frac{|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_n(z-a)^n|} < 1. </math>

זה שווה ערך ל

: <math> |z - a| < \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}} = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|. </math>

=== הערכה מעשית של רדיוס במקרה של מקדמים ממשיים ===
[[קובץ:Domb_Sykes_plot_Hinch.svg|שמאל|ממוזער|400x400 פיקסלים| עלילות הפונקציה <math>f(\varepsilon)=\frac{\varepsilon(1+\varepsilon^3)}{\sqrt{1+2\varepsilon}}.</math><br /><br /><br /><br /><nowiki></br></nowiki> הקו הירוק הרציף הוא [[אסימפטוטה|אסימפטוטת]] [[ישר|הקו הישר]] בחלקת דומב-סייקס, <ref>See Figure 8.1 in: {{Citation|first=E.J.|last=Hinch|year=1991|title=Perturbation Methods|series=Cambridge Texts in Applied Mathematics|volume=6|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-37897-4|page=146}}</ref> חלקה (b), המיירטת את הציר האנכי ב-2 ובעלת שיפוע +1. לפיכך יש ייחוד ב <math>\varepsilon=-1/2</math> וכך הוא רדיוס ההתכנסות <math>r=1/2.</math>]]
בדרך כלל, ביישומים מדעיים, רק מספר סופי של מקדמי <math>c_n</math> ידועים. בדרך כלל, ככל ש-<math>n</math> גדל, מקדמים אלה מתקרבים להתנהגות קבועה שנקבעת על ידי הסינגולריות הקרובה ביותר. במקרה זה פותחו שתי טכניקות עיקריות, המבוססות על העובדה שהמקדמים של טור טיילור הם בערך מעריכיים עם יחס <math>1/r</math> כאשר ''r'' הוא רדיוס ההתכנסות.

* המקרה הבסיסי הוא כאשר המקדמים בעלי סימן זהה או מתחלף. כפי שצויין קודם, במקרים רבים הגבול <math display="inline">\lim_{n\to \infty} {c_n / c_{n-1}}</math> קיים, ובמקרה זה הוא שווה <math display="inline">1/r</math>. אם <math>r</math> שלילי, פירוש הדבר שהסינגולריות המגבילה את ההתכנסות נמצאת על הציר השלילי. כדי להעריך את הגבול הזה, נשרטט את <math>c_n/c_{n-1}</math> כתלות ב-<math>1/n</math>, ונמשיך גרפית אל <math>1/n=0</math> (כלומר אל <math>n=\infty</math> ) באמצעות קירוב ליניארי. נקודת החיתוך  עם <math>1/n=0</math> נותנת קירוב עבור <math>1/r</math>. שיטה זו נקראת '''דומב-סייקס'''. <ref>{{Citation|first=C.|last=Domb|first2=M.F.|last2=Sykes|title=On the susceptibility of a ferromagnetic above the Curie point|journal=Proc. R. Soc. Lond. A|volume=240|pages=214–228|year=1957|number=1221|doi=10.1098/rspa.1957.0078|bibcode=1957RSPSA.240..214D}}</ref>
* במקרה המסובך יותר, כאשר לסימני המקדמים יש תבנית מורכבת, מרסר ורוברטס הציעו את ההליך הבא. <ref>{{Citation|first=G.N.|last=Mercer|first2=A.J.|last2=Roberts|title=A centre manifold description of contaminant dispersion in channels with varying flow properties|journal=SIAM J. Appl. Math.|volume=50|pages=1547–1565|year=1990|doi=10.1137/0150091|number=6}}</ref> נגדיר את הסדרהː  <math>b_n^2=\frac{c_{n+1}c_{n-1} - c_n^2}{c_n c_{n-2} - c_{n-1}^2} \quad n=3,4,5,\ldots.</math>, נשרטט את כל <math>b_n</math> הידועים (מספר סופי) ביחס ל-<math>1/n</math>, ונמשיך כמו קודם.

==ראו גם==
* [[מבחני התכנסות לטורים|מבחני התכנסות]]

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* {{Citation|last=Brown|first=James|last2=Churchill|first2=Ruel|title=Complex variables and applications|publisher=[[McGraw-Hill]]|place=New York|isbn=978-0-07-010905-6|year=1989}}
* {{Citation|last=Stein|first=Elias|author-link=Elias M. Stein|last2=Shakarchi|first2=Rami|title=Complex Analysis|publisher=[[הוצאת אוניברסיטת פרינסטון|Princeton University Press]]|place=Princeton, New Jersey|isbn=0-691-11385-8|year=2003}}
</div>

== קישורים חיצוניים ==
* {{MathWorld}}
* [http://www.lassp.cornell.edu/sethna/Cracks/What_Is_Radius_of_Convergence.html מהו רדיוס התכנסות?]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:פיזיקה תאורטית]]
[[קטגוריה:התכנסות (מתמטיקה)]]