הצגת המקור של הדף "רזולוציה (אלגברה)"

ב[[מתמטיקה]], '''רזולוציה''' היא סדרה של [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]], עם העתקות ביניהם, המייצגת מודול נתון. רזולוציות הן אחד המושגים הטכניים המרכזיים ב[[אלגברה הומולוגית]].

אם לכל המודולים ברזולוציה נתונה יש תכונה מסוימת, אומרים שלרזולוציה יש את אותה התכונה. רזולוציות נפוצות הן [[רזולוציה חופשית|רזולוציות חופשיות]], [[מודול פרויקטיבי|רזולוציות פרויקטיביות]], [[מודול אינג'קטיבי|רזולוציות אינג'קטיביות]] ו[[מודול שטוח|רזולוציות שטוחות]].

==הגדרה==

'''רזולוציה''' של מודול <math>M</math> מעל חוג <math>R</math> היא [[סדרה מדויקת]] מאחת מהצורות הבאות:

:<math>0\rightarrow M\rightarrow E_0 \rightarrow E_1 \rightarrow \dots \rightarrow E_n \rightarrow \dots </math>
:<math>\dots \rightarrow E_n \rightarrow \dots \rightarrow E_1 \rightarrow E_0 \rightarrow M \rightarrow 0 </math>

הרזולוציה נקראת סופית אם לכל <math>n</math> [[כמעט כל (מתמטיקה)|גדול מספיק]] מתקיים <math>E_n = 0</math>.

==תכונות==

לכל מודול יש רזולוציה חופשית (כלומר, רזולוציה שבה לכל <math>n</math>, המודול <math>E_n</math> הוא חופשי). בפרט, לכל מודול יש רזולוציה פרויקטיבית. לכל מודול יש גם רזולוציה אינג'קטיבית. רזולוציות פרויקטיביות ואינג'קטיביות משמשות להגדרת [[פונקטור נגזר|פונקטורים נגזרים]].

מדיוק הסדרות לעיל נובע כי אפשר למחוק את המודול <math>M</math>, מבלי לאבד מידע. במקרה הראשון, <math>M</math> איזומורפי ל[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] של ההעתקה בין <math>E_0\rightarrow E_1</math>. במקרה השני, <math>M</math> איזומורפי ל[[קו-גרעין (אלגברה)|קו-גרעין]] של ההעתקה <math>E_1 \rightarrow E_0</math>.

==קוואזי-איזומורפיזם==

העתקת [[קומפלקס שרשרת|קומלפקסים]] <math>f:C\rightarrow D</math> נקראת '''קוואזי-איזומורפיזם''' אם לכל [[מספר טבעי]] <math>i</math>, ההעתקה המושרית על ה[[הומולוגיה (מתמטיקה)|הומולוגיה]] <math>H^i(f):H^i(C)\rightarrow H^i(D)</math> היא איזומורפיזם. בעזרת טרמינולוגיה זו, נוכל להגדיר באופן כללי שקומפלקס <math>P</math> הוא רזולוציה של קומפלקס <math>M</math> אם קיים קוואזי-איזומורפיזם <math>f:P\rightarrow M</math> או <math>f:M\rightarrow P</math>. לדוגמה, בהינתן מודול <math>M</math> ורזולוציה פרויקטיבית <math>\dots\rightarrow P^2 \rightarrow P^1 \rightarrow P^0 \rightarrow M \rightarrow 0 \rightarrow \dots</math> ההעתקה <math>P^0 \rightarrow M</math> משרה קוואזי-איזומורפיזם בין הקומפלקס <math>\dots \rightarrow P^2 \rightarrow P^1 \rightarrow P^0 \rightarrow 0 \rightarrow \dots</math> (שנקרא רזולוציה של <math>M</math>) לבין הקומפלקס <math>\dots\rightarrow 0 \rightarrow M \rightarrow 0 \rightarrow \dots</math> המהווה ייצוג של <math>M</math> כקומפלקס. תחת הגדרה זו ניתן להוכיח שלכל קומפלקס <math>M</math> החסום מלמעלה (כלומר <math>M^i = 0</math> לכל <math>i</math> גדול מספיק) יש רזולוציה פרויקטיבית (כלומר קוואזי-איזומורפיזם מקומפלקס חסום מלמעלה המורכב כולו ממודולים פרויקטיביים). בדומה, לכל קומפלקס חסום מלמטה יש רזולוציה אינג'קטיבית.

==לקריאה נוספת==

<div style="direction: ltr;">

* Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra, Pure and Applied Mathematics, 85, Boston, MA: Academic Press
* Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press,

</div>

[[קטגוריה:אלגברה הומולוגית]]