הצגת המקור של הדף "רזולטנט"

ב[[אלגברה]], '''רֶזוּלטַנט''' הוא שמו של מדד מספרי המחושב משני [[פולינום|פולינומים]] נתונים, ומתאר את הקשר בין ה[[שורש של פולינום|שורשים]] שלהם, בדרך המכלילה את ה[[דיסקרימיננטה]].

יהיו <math>f(x) = a_n x^n + \dots + a_0</math> ו- <math>g(x) = b_m x^m + \dots + b_0</math> שני פולינומים מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F. הרזולטנט שלהם מוגדר כ[[דטרמיננטה]] של המטריצה <math>(n+m)\times (n+m)</math> ש-m שורותיה הראשונות הן ההזזות של הווקטור <math>(a_n,a_{n-1},\dots,a_0)</math>, ו-n שורותיה האחרונות הן הזזות של הווקטור <math>(b_m,b_{m-1},\dots,b_0)</math> (עם אפסים בכל מקום אחר). 

נניח שהמקדם המוביל של f אינו אפס. לפולינומים f,g יש גורם משותף אם ורק אם הפולינומים <math>f, xf, \dots, x^{m-1}f, g, xg, \dots, x^{n-1}g</math> תלויים ליניארית. מכאן נובע שיש שורש משותף (ב[[שדה פיצול]] משותף לשני הפולינומים) אם ורק אם הרזולטנט של f,g הוא אפס. למעשה, 
: <math> \operatorname{Res}(f,g) = a_n^m b_m^n \prod_{i,j}(x_i-y_j) = a_n^m \prod_i g(x_i) = b_m^n \prod_j f(y_j)</math>,
כאשר <math>x_1,\dots,x_n</math> הם השורשים של f, ו-<math>y_1,\dots,y_m</math> הם השורשים של g.

מ[[חוק קרמר]] נובע שהרזולטנט של פולינומים מעל שדה שייך ל[[אידיאל (תורת החוגים)|אידיאל]] שהם יוצרים בחוג הפולינומים מעל השדה. אם מקדמי הפולינומים שייכים ל[[תחום שלמות]] D, גם הרזולטנט הוא איבר באותו תחום שלמות. תכונה זו מאפשרת לרזולטנט לטפל גם בפולינומים בכמה משתנים.

הדיסקרימיננטה של פולינום מתקבלת מן הנוסחה <math> \operatorname{Res}(f,f') = (-1)^{n(n-1)/2} a_n \Delta(f)</math>.

ברזולטנט אפשר להשתמש כדי לפתור את '''בעיית הפירוש''' (Implicitization) של עקום פרמטרי מישורי: נתון העקום <math>\ x_1 = f_1(t),\ x_2 = f_2(t)</math>, כאשר <math>f_1,\,f_2</math> פולינומים. מהי המשוואה הפולינומית שאותה מקיימים <math>\ (x_1,x_2)</math>? התשובה היא הרזולטנט של <math>\ x_1 - f_1(t), x_2-f_2(t)</math> ביחס למשתנה t (אותו פתרון נכון גם כאשר <math>\ f_1,f_2</math> פונקציות רציונליות, על ידי כפל במכנה המשותף). כאשר מדובר בעקום במרחב רב-ממדי, היחסים האלגבריים בין ה-<math>\ x_i</math> מתקבלים מניפוי t באידיאל <math>\ \langle x_1-f_1(t),\dots,x_n-f_n(t)\rangle</math> באמצעות [[בסיס גרובנר]].

== ראו גם ==

* [[דיסקרימיננטה]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:פולינומים]]