הצגת המקור של הדף "ריבוע הקסם של פרוידנטל"

'''ריבוע הקסם של פרוידנטל''' הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה [[אלגברת לי|אלגברות לי]], חלקן [[אלגברת לי ספורדית|ספורדיות]]. הריבוע נקרא על-שם [[הנס פרוידנטל]] שפיתח את הבניה במקביל ל[[ז'אק טיץ]]. ריבוע הקסם מתאים לזוג [[אלגברת הרכב|אלגברות הרכב]] מעל [[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]] אלגברת לי, שהטיפוס של [[דיאגרמת דינקין]] שלה מוצג בריבוע, כדלקמן:

{| border="1" align="center"
|+ ריבוע הקסם
! <math>\ \mathbb{O}</math>|| <math>\ \mathbb{H}</math> || <math>\ \mathbb{C}</math> || <math>\ \mathbb{R}</math> || 
|-
! <math>\ F_4</math>|| <math>\ C_3</math> || <math>\ A_2</math> ||  <math>\ A_1</math> || <math>\ \mathbb{R}</math>
|-
! <math>\ E_6</math>|| <math>\ A_5</math> || <math>\ A_2\!\oplus\!A_2</math> ||  <math>\ A_2</math> || <math>\ \mathbb{C}</math>
|-
! <math>\ E_7</math>|| <math>\ A_6</math> || <math>\ A_5\quad </math> ||  <math>\ C_3</math> || <math>\ \mathbb{H}</math>
|-
! <math>\ E_8</math>|| <math>\ E_7</math> || <math>\ E_6\quad </math> ||  <math>\ F_4</math> || <math>\ \mathbb{O}</math>
|-
|}

השורה האחרונה בריבוע כוללת את כל האלגברות הספורדיות, למעט <math>\ G_2</math>, ומדגימה עד כמה קשורות האלגברות הספורדיות ל[[אלגברת האוקטוניונים]] (<math>\ G_2</math> עצמה היא [[אלגברת הנגזרות]] של אלגברת האוקטוניונים).

== בניית טיץ ==

כידוע, יש בדיוק ארבע אלגברות הרכב עם יחידה, ללא מחלקי אפס, מעל הממשיים: שדה הממשיים עצמו, <math>\ \mathbb{R}</math>, [[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\ \mathbb{C}</math>, [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]] <math>\ \mathbb{H}</math> ו[[אלגברת האוקטוניונים]] <math>\ \mathbb{O}</math>. תיאור דומה נכון מעל כל שדה: פרט לשדה עצמו, אפשר למנות את ההרחבות הריבועיות הספרביליות, את [[אלגברת קווטרניונים|אלגברות הקווטרניונים]], ואת [[אלגברת קיילי|אלגברות קיילי]]. על אלגברות אלה מוגדרת [[אינוולוציה (תורת החוגים)|אינוולוציה]] סטנדרטית <math>\ x\mapsto \bar{x}</math>, שאפשר להמשיך אותה גם ל[[אלגברת מטריצות|אלגברות של מטריצות]] מעליהן. ההעתקה <math>\ t(a)=a+\bar{a}</math> מ-A לשדה הסקלרים נקראת העתקת ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]].

נניח שה[[מאפיין של שדה|מאפיין]] זר ל-6, ותהיינה A,B אלגברות מהנזכרות מעלה. נסמן ב- J את [[אלגברת ז'ורדן]] של כל ה[[מטריצה הרמיטית|מטריצות ההרמיטיות]] מסדר 3 מעל B (אם B מממד 8, זוהי [[אלגברת אלברט]]). נסמן ב- <math>\ A_0</math> וב-<math>\ J_0</math> את אוסף האיברים בעלי עקבה 0 ב-A וב-J, בהתאמה. '''בניית טיץ''' של A ו-B מחזירה את המרחב הווקטורי <math>\ \operatorname{Der}A \oplus A_0 \otimes J_0 \oplus \operatorname{Der}J</math>, כאשר <math>\ \operatorname{Der}A</math> היא [[נגזרת (אלגברה)|אלגברת הנגזרות]] (וכך גם ל-J), עם פעולת כפל <math>\ [\cdot,\cdot]</math> ההופכת אותו לאלגברת לי, ומוגדרת כך ששני מרכיבי הנגזרות הם תת-אלגברות המתחלפות זו עם זו, ופועלות באופן טבעי על המרכיב הנותר: <math>\ [a\otimes x,D+E] = D(a)\otimes E(x)</math> כאשר <math>\ a\in A_0, x \in J_0, D \in \operatorname{Der}A, E \in \operatorname{Der}J</math>. פעולת הכפל בין אברי המכפלה הטנזורית מסובכת יותר: <math>\ [a\otimes x,b\otimes y] = \frac{1}{12}\operatorname{tr}(xy)D_{a,b} + (ab)\otimes(xy) + \frac{1}{2}t(ab)[R_x,R_y]</math>, כאשר <math>\ D_{a,b} = R_{[x,y]}-L_{[x,y]}-3[L_x,R_y]</math>. 

אם A היא מן הטיפוס המציין שורה ו-B מן הטיפוס המציין עמודה, התוצאה היא אלגברת לי פשוטה (או, במקרה אחד, פשוטה למחצה), שהטיפוס של [[דיאגרמת דינקין]] שלה מצוין בריבוע הקסם.

== מקורות ==

* Encyclopaedia of Mathematical Sciences 57, Algebra VI, Part II, E.N.Kuzmin and I.P.Shestakov, sec 3.3.
== ראו גם ==

* [[אלגברת ז'ורדן]] 
* [[אלגברת אלברט]]
* [[אלגברת לי ספורדית]]


[[קטגוריה:אלגברה לא אסוציאטיבית]]