הצגת המקור של הדף "שברון (סטטיסטיקה)"

'''שברון''' (ב[[אנגלית]]: '''quantile''') הוא מונח ב[[סטטיסטיקה]], שמתייחס לנקודת חתך שמתחתיה נמצאה החלק ה-q (כאן <math>0 \le q \le 1</math>) מהאוכלוסייה.

== שברון של משתנה מקרי ==
יהי <math>X \sim F</math> [[משתנה מקרי]] [[מספר ממשי|ממשי]]. נסמן את [[פונקציית התפלגות מצטברת|פונקציית ההתפלגות המצטברת]] <math display="block">F(x) = P\left[X \le x\right]</math> כאשר P מסמן [[הסתברות]]. השברון ה-q של X עבור <math>0 \le q \le 1</math> הוא הערך <math>\xi_q \in \mathbb{R}</math> כך שמתקיים <math display="block">F(\xi_q)=P\left[ X \le \xi_q \right] = q</math> 
אם F [[פונקציה מונוטונית]] עולה ממש אזי <math>\xi_q = F^{-1}(q)</math>.

== שברון של התפלגות אמפירית ==
נניח שדגמנו <math>n</math> נתונים מהתפלגות כלשהי, לא ידועה. נסדרם בסדר עולה: <math display="block">\min_i X_i = X_1 \le X_2 \le ... \le X_{n-1} \le X_n = \max_i X_i</math> ונצייד את הנתונים ב[[התפלגות אמפירית]]: <math display="block">F_n(x) = \frac{\#\{ X_i \le x \} }{n}</math>
השברון ה-q הוא המספר <math>\xi_q</math> ש-<math>qn</math> מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו. הגדרה זו קצת בעייתית כי לא ברור ממנה איך להתייחס לשברון כאשר <math>qn \notin \mathbb{Z}</math> איננו שלם, וישנן מספר גישות לנושא. אחת הגיסות הנפוצות היא [[ממוצע משוקלל]] של שני הערכים הסמוכים למספר זה. נסמן <math display="block">m = \left\lfloor qn + \frac{1}{2} \right\rfloor</math> ואז <math display="block">\xi_q = X_{m} \cdot \left( m+1 - ( qn+\frac{1}{2}) \right) + X_{m+1} \left( qn+\frac{1}{2} - m \right) </math>
אנו רואים שכאשר <math>m = qn+1/2 \in \mathbb{Z}</math> אזי <math>\xi_q = X_m</math>.

=== דוגמה ===
לדוגמה, ה[[חציון]] <math>q=\frac{1}{2}</math>. עבור n אי-זוגי (<math>n=2k+1</math>),{{כ}} מתקיים <math>m = \left\lfloor \frac{n}{2}+\frac{1}{2} \right\rfloor =  \left\lfloor \frac{2k+1}{2}+\frac{1}{2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{2k+2}{2} \right\rfloor = k+1</math> 
ואז
<math display="block">,\xi_{0.5} = X_{k+1}</math>
ועבור n זוגי (<math>n=2k</math>) נקבל <math>m = \left\lfloor \frac{n}{2}+\frac{1}{2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{2k}{2} + \frac{1}{2} \right\rfloor = k</math>  ואז <math display="block">\xi_{0.5} = X_{k} \cdot \left( k+1 - (k+\frac{1}{2})\right) + X_{k+1} \left(k + \frac{1}{2} - k \right)
= \frac{X_k + X_{k+1}}{2}</math>

== שברונים שימושיים ==
מלבד ה[[חציון]], שהוא השברון <math>q=1/2</math>, נפוצים בשימוש גם ה[[טווח בין-רבעוני|רבעונים]] העליון <math>q=3/4</math> והתחתון <math>q=1/4</math>, [[עשירון|עשירונים]], [[אחוזון|אחוזונים]] ו[[אלפיון|אלפיונים]].

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:סטטיסטיקה]]
[[קטגוריה:מדדי מיקום]]