הצגת המקור של הדף "שדה (מבנה אלגברי)"

[[קובץ:Venn Diagram of Numbers-he.svg|250px|ממוזער|[[מערכות מספרים]] ידועות: [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]], [[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]] ו[[שדה המספרים הרציונליים|הרציונליים]] הם שדות; [[חוג המספרים השלמים|השלמים]] וה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]] אינם שדות.]]
'''שדה''' הוא מבנה אלגברי המוגדר על ידי [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] לא ריקה של איברים (מספרים) עליהם מוגדרות פעולות  [[חיבור]], [[חיסור]], [[כפל]], ו[[חילוק]] בעלות תכונות הדומות לאלו של אותן ארבע פעולות על [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] ו[[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]] (פרוט בהמשך). 

השדות הידועים ביותר הם שדה [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]], שדה [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]] ושדה [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]]. שדות רבים אחרים, כגון [[שדה שברים|שדות של פונקציות רציונליות]], [[שדה מספרים|שדות מספרים]] ו[[מספר p-אדי|שדות p-אדיים]], נלמדים ומשמשים רבות במתמטיקה.    [[פרוטוקול קריפטוגרפי|פרוטוקולים  קריפטוגרפיים]] רבים משתמשים בפעולות על [[שדה סופי|שדות סופיים]], כלומר שדות עם מספר סופי של [[איבר (מתמטיקה)|איברים]].

שדה אחד הוא [[הרחבת שדות|הרחבה של שדה]] אחר אם קבוצת אבריו מכילה ממש את קבוצת אברי השדה האחר, ושומרת על פעולות הכפל והחיבור שלו. [[תורת גלואה]], אותה התחיל [[אווריסט גלואה]] במאה ה-19, מוקדשת להבנת הסימטריות (ה[[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]]) של הרחבות שדה. בין היתר, תורה זו מראה כי לא ניתן [[שילוש זווית|לשלש זווית]] או [[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם#תרבוע העיגול|לתרבע מעגל]] באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]. יתרה מזאת, היא מראה כי [[משוואה ממעלה חמישית|משוואות ממעלה חמישית]] אינן ניתנות לפתרון אלגברי.

שדות משמשים כרעיונות יסוד במספר תחומים מתמטיים. זה כולל ענפים שונים של [[אנליזה מתמטית]], המבוססים על שדות עם מבנה נוסף. משפטים בסיסיים באנליזה מצביעים על המאפיינים ה[[מבנה|מבניים]] של שדה המספרים הממשיים. כל שדה עשוי לשמש [[סקלר (מתמטיקה)|כסקלרים]] עבור [[מרחב וקטורי]], שהוא ההקשר הכללי הסטנדרטי עבור [[אלגברה ליניארית]]. [[שדה מספרים|שדות מספרים]], אחיהם של שדה המספרים הרציונליים, נלמדים לעומק ב[[תורת המספרים]].

{{סימון מתמטי}}

== הגדרה ==
=== מבוא אינטואיטיבי ===
באופן לא פורמלי, שדה הוא קבוצה שעליה מוגדרות שתי פעולות – פעולת חיבור הנכתבת על ידי <math>a+b</math> ופעולת כפל הנכתבת על ידי <math>a \cdot b</math>. החיבור והכפל מתנהגים באופן דומה לחיבור וכפל של [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]] ו[[שדה המספרים הממשיים|מספרים ממשיים]]. במיוחד, מובטח קיומו של [[מספר נגדי]] <math>-a</math> לכל מספר <math>a</math>, ושל [[מספר הופכי]] <math>b^{-1}</math> לכל מספר <math>b</math> השונה מאפס. זה מאפשר להגדיר את הפעולות ה"הפוכות" של [[חיסור]], <math>a-b</math> [[חילוק|וחלוקה]], <math>\frac{a}{b} </math>, באופן הבא:

<math>a - b = a+ (-b)</math>

<math>\frac{a}{b} = a \cdot (b^{-1})</math>

=== הגדרה פורמלית ===
שדה <math>F</math> זו קבוצה לא ריקה שעל אבריה מוגדרות שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]] הנקראות [[חיבור]] ו[[כפל]]. תוצאת החיבור של <math>a, b</math> מסומנת <math>a+b</math> ותוצאת הכפל מסומנת <math>a \cdot b</math>, או בקיצור <math>ab</math>. הפעולות הללו חייבות לקיים את ה[[אקסיומה|אקסיומות]] הבאות לכל <math>a, b, c</math> ב-<math>F</math>:
*[[סגירות (אלגברה)|סגירות]] לחיבור ולכפל: לכל <math>a,b \in F</math> מתקיים <math>a+b \in F</math> וגם <math>a \cdot b \in F</math>;
*[[קומוטטיביות]] של חיבור ושל כפל: <math>a+b=b+a</math> וגם <math>a \cdot b = b \cdot a</math> (בעברית, חוק החילוף);
*[[אסוציאטיביות]] של חיבור ושל כפל: <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math> וגם <math>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math> (בעברית, חוק הקיבוץ);
* [[איבר נייטרלי|איברים נייטרליים]] לחיבור ולכפל: קיימים איברים שונים <math>0,1 \in F</math> המקיימים <math>a+0=a</math> וגם <math>a \cdot 1 = a</math>;
* קיום [[מספר נגדי]]: לכל <math>a</math> קיים איבר ב-<math>F</math> שיסומן <math>-a</math> המקיים <math>a+(-a)=0</math>;
* קיום [[מספר הופכי]]: לכל <math>a \neq 0</math> קיים איבר ב-<math>F</math> שיסומן <math>a^{-1}</math> המקיים <math>a \cdot (a^{-1}) = 1
</math>;
* [[דיסטריבוטיביות]] של הכפל מעל החיבור: <math>a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math> (בעברית, חוק הפילוג).

כל זה ניתן לקיצור באמירה כי שדה זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל כאשר אברי השדה עם פעולת החיבור זו [[חבורה אבלית]], אברי השדה שאינם כוללים את 0 (האבר הנייטרלי של החיבור) עם פעולת הכפל מהווים חבורה אבלית, ומתקיימת דיסטריבוטיביות של הכפל מעל החיבור. זה ניתן לסיכום אפילו יותר בקצרה באמירה כי שדה הוא [[חוג קומוטטיבי]] שבו כל איבר שונה מ-0 הוא הפיך (או במילים אחרות, [[חוג חילוק]] קומוטטיבי).{{הערה|[[#Oger|אהוד דה-שליט, 2018]], עמ' 140}}

== דוגמאות==
=== מספרים רציונליים ===
{{הפניה לערך מורחב|מספר רציונלי}}

מספרים רציונליים <math>\mathbb{Q}</math> היו בשימוש נרחב זמן רב לפני המצאת מושג השדה. אלו מספרים שניתן לכתוב [[שבר (מתמטיקה)|כשברים]] <math>a / b</math>, כאשר <math>a</math> ו-<math>b</math> הם [[מספר שלם|מספרים שלמים]] עם <math>b \neq 0</math>. הנגדי לשבר שכזה הוא <math>- a / b</math> וההופכי אליו (בהנחה כי <math>a \neq 0</math>) הוא <math>b / a</math>, שניתן לראות כדלקמן:

<math> \frac b a \cdot \frac a b = \frac{ba}{ab} = 1</math>

כל אקסיומות השדה שצריך לקיים אלו תכונות סטנדרטיות של מספרים רציונליים. לדוגמה, ניתן להוכיח דיסטריבוטיביות באופן הבא:

<math>
\begin{align}
& \frac a b \cdot \left(\frac c d + \frac e f \right) \\[6pt]
= {} & \frac a b \cdot \left(\frac c d \cdot \frac f f + \frac e f \cdot \frac d d \right) \\[6pt]
= {} & \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{cf}{df} + \frac{ed}{fd}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{cf + ed}{df} \\[6pt]
= {} & \frac{a(cf + ed)}{bdf} = \frac{acf}{bdf} + \frac{aed}{bdf} = \frac{ac}{bd} + \frac{ae}{bf} \\[6pt]
= {} & \frac a b \cdot \frac c d + \frac a b \cdot \frac e f
\end{align}
</math>

שדה המספרים הרציונליים מקיים תכונות חשובות נוספות שלא נכנסו להגדרת השדה, אלא למקרה פרטי של [[שדה סדור]]. ההפרדה בין תכונות השדה לתכונות הסדר, מאפשרת להכניס אובייקטים רבים יותר תחת הגדרת השדה, תוך שימת דגש על מכנה משותף רחב יותר, שגם לו השלכות רבות.

=== מספרים ממשיים ===
{{הפניה לערך מורחב|מספר ממשי}}

[[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשים]] <math>\mathbb {R}</math>, עם הפעולות הרגילות של חיבור וכפל, גם יוצרים שדה. מספרים אלה נבדלים מהרציונליים רק בתכונת ה[[שדה סדור שלם|שלמות]], ולשם כך הוגדרו.

=== מספרים מרוכבים ===
{{הפניה לערך מורחב|מספר מרוכב}}
המספרים המרוכבים <math>\mathbb{C}</math>, עם הפעולות הרגילות של חיבור וכפל יוצרים שדה. מתקיים <math>\mathbb{C}=\{a+bi|\ a,b\in \mathbb{R}\}</math> כאשר <math>i</math> היא [[I (מספר)|היחידה המדומה]] כלומר <math>i=\sqrt{-1}</math>

=== מספרים הניתנים לבנייה ===
[[קובץ:Root_construction_geometric_mean5.svg|ממוזער|255x255 פיקסלים|[[חזקה של נקודה]] מראה כי <math>h^2 = pq</math>. בחירת <math>q = 1</math> מאפשרת בנייה של השורש הריבועי של מספר נתון <math>p</math>.]]
בעת העתיקה, מספר בעיות גאומטריות נגעו להיתכנות של בניות גאומטריות מסוימות באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]. למשל, ה[[מתמטיקה ביוון העתיקה|יוונים]] שיערו כי לא ניתן [[שילוש זווית|לשלש זווית]] באופן זה, אבל ללא הוכחה. ניתן לפתור בעיות אלה באמצעות [[שדה המספרים הניתנים לבנייה]].{{הערה|[[#Oger|אהוד דה-שליט, 2018]], עמ' 207}} מספרים ניתנים לבנייה הם, בהגדרה, אורכים של קטעים שניתן לבנות במספר סופי של צעדים תוך שימוש רק [[סרגל]] ו[[מחוגה]], בהינתן קטע באורך 1. מספרים אלה, עם חיבור וכפל שמוגדרים עליהם בתור מספרים ממשיים, יוצרים שדה הכולל את שדה הרציונליים <math>\mathbb{Q}</math>. האיור מראה כיצד ניתן לבנות [[שורש ריבועי]] של אורך נתון, שורש שאינו בהכרח מספר רציונלי. בהינתן קטע <math>AB</math> באורך <math>p</math>, ניתן לשרטט את הנקודות <math>C</math> ו-<math>D</math>עם האורכים המתוארים באיור, יחד עם [[חצי מעגל]] שקוטרו <math>AD</math> ו[[אנך]] לישר הנתון דרך <math>B</math>. הנקודה <math>F</math>, שהיא החיתוך של חצי המעגל ושל האנך, תהיה במרחק של <math>h=\sqrt p</math> מ-<math>B</math>.

לא כל המספרים הממשיים ניתנים לבנייה. ניתן להראות כי <math>\sqrt[3] 2</math> אינו מספר הניתן לבנייה, מה שמראה כי אי אפשר [[הכפלת הקובייה|להכפיל את הקובייה]], בעיה נוספת שהציבו היוונים הקדמונים.{{הערה|[[#Oger|אהוד דה-שליט, 2018]], עמ' 215-217}}
{| class="wikitable floatleft"
! scope="col" style="float:text-align:center;" |חיבור
! scope="col" style="float:text-align:center'" |כפל
|-
! scope="row" |
{| class="wikitable"
! style="width:20%;" |+
! style="width:20%;" |{{נוסחה|''O''}}
! style="width:20%;" |{{נוסחה|''I''}}
! style="width:20%;" |{{נוסחה|''A''}}
! style="width:20%;" |{{נוסחה|''B''}}
|-
!{{נוסחה|''O''}}
| style="background:#fdd;" |{{נוסחה|''O''}}
| style="background:#fdd;" |{{נוסחה|''I''}}
|{{נוסחה|''A''}}
|{{נוסחה|''B''}}
|-
!{{נוסחה|''I''}}
| style="background:#fdd;" |{{נוסחה|''I''}}
| style="background:#fdd;" |{{נוסחה|''O''}}
|{{נוסחה|''B''}}
|{{נוסחה|''A''}}
|-
!{{נוסחה|''A''}}
|{{נוסחה|''A''}}
|{{נוסחה|''B''}}
|{{נוסחה|''O''}}
|{{נוסחה|''I''}}
|-
!{{נוסחה|''B''}}
|{{נוסחה|''B''}}
|{{נוסחה|''A''}}
|{{נוסחה|''I''}}
|{{נוסחה|''O''}}
|}
! scope="row" |
{| class="wikitable"
! style="width:20%;" |·
! style="width:20%;" |{{נוסחה|''O''}}
! style="width:20%;" |{{נוסחה|''I''}}
! style="width:20%;" |{{נוסחה|''A''}}
! style="width:20%;" |{{נוסחה|''B''}}
|-
!{{נוסחה|''O''}}
| style="background:#fdd;" |{{נוסחה|''O''}}
| style="background:#fdd;" |{{נוסחה|''O''}}
|{{נוסחה|''O''}}
|{{נוסחה|''O''}}
|-
!{{נוסחה|''I''}}
| style="background:#fdd;" |{{נוסחה|''O''}}
| style="background:#fdd;" |{{נוסחה|''I''}}
|{{נוסחה|''A''}}
|{{נוסחה|''B''}}
|-
!{{נוסחה|''A''}}
|{{נוסחה|''O''}}
|{{נוסחה|''A''}}
|{{נוסחה|''B''}}
|{{נוסחה|''I''}}
|-
!{{נוסחה|''B''}}
|{{נוסחה|''O''}}
|{{נוסחה|''B''}}
|{{נוסחה|''I''}}
|{{נוסחה|''A''}}
|}
|}

=== שדה עם ארבעה איברים ===
בנוסף למערכות מספרים מוכרות כמו הרציונליים, ישנן דוגמאות אחרות ופחות מיידיות של שדות. הדוגמה הבאה היא שדה המורכב מארבעה איברים הנקראים <math>O</math>, <math>I
</math>, <math>A</math> ו-<math>B</math>. הסימון נבחר כך ש-<math>O</math> ממלא את התפקיד של האיבר הנייטרלי לחיבור (מסומן 0 באקסיומות שלמעלה), ו-<math>I
</math> הוא האיבר הנייטרלי לכפל (מסומן 1 באקסיומות לעיל). ניתן לאמת את אקסיומות השדה באמצעות כלים נוספים מתאוריית השדות, או על ידי חישוב ישיר. לדוגמה,

<math>A \cdot (B+A) = A \cdot I = A</math> שווה ל-<math>A \cdot B + A \cdot A = I + B = A</math> כמו שמתבקש מדיסטריבוטיביות.

שדה זה הוא [[שדה סופי]] עם ארבעה איברים, והוא מסומן <math>\mathbb{F}_4</math> או <math>GF(4)</math> (השדות הסופיים נקראים על שמו של [[אווריסט גלואה]] - ומכאן Galois field). תת-הקבוצה המורכבת מ-<math>O</math> ו-<math>I
</math> (מודגשת באדום בטבלאות משמאל) היא גם שדה, המכונה השדה הבינארי <math>\mathbb{F}_2</math> או <math>GF(2)</math>. בהקשר של [[מדעי המחשב]] [[אלגברה בוליאנית|ואלגברה בוליאנית]], <math>O</math> ו-<math>I
</math> מסומנים לעיתים קרובות בהתאמה על ידי שקר ואמת, חיבור מסומן על ידי [[XOR]], והכפל מסומן [[פעולה על סיביות|AND]]. במילים אחרות, מבנה השדה הבינארי הוא המבנה הבסיסי המאפשר מחשוב עם [[סיבית|ביטים]].

== מושגים בסיסיים ==
=== מסקנות מההגדרה ===
לכל <math>a,b \neq 0</math> ב-<math>F</math> מתקיים גם ש-<math>ab \neq 0</math>, מה שאומר כי כל שדה הוא [[תחום שלמות]].

התכונות הבסיסיות הבאות מתקיימות לכל <math>a,b</math> ב-<math>F</math>:

<math>a \cdot 0 = 0</math>

<math>a \cdot (-1) = -a</math>

<math>(-(-a))=a</math>

<math>(a^{-1})^{-1}=a</math>

<math>(-a)+(-b)=-(a+b)</math>

<math>a^{-1} \cdot b^{-1} = (ab)^{-1}</math>

<math>(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = - (a \cdot b)</math>

=== מאפיין ===
{{הפניה לערך מורחב|מאפיין (אלגברה)}}
בנוסף לחיבור ולכפל שמוגדרים לכל שני איברי <math>F</math>, ניתן להגדיר את המכפלה <math>n \cdot a</math> לכל איבר <math>a</math> ב-<math>F</math> ו[[מספר שלם|שלם]] חיובי <math>n</math> על ידי החיבור החוזר

<math>n \cdot a = \underbrace{ a + a + \cdots + a }_{n}</math>

אם אין שלם חיובי המקיים <math>n \cdot 1 = 0</math> אז יאמר על השדה שיש לו [[מאפיין (אלגברה)|מאפיין]] <math>0</math>. למשל, לשדה של מספרים רציונליים <math>\mathbb{Q}</math> יש מאפיין <math>0</math> כיוון שאין בו שלם חיובי השווה ל-<math>0</math>. אחרת, אם יש שלם חיובי <math>n</math> המקיים את המשוואה הזו, ניתן להראות כי השלם החיובי הכי קטן שמקיים את המשוואה הזו הוא [[מספר ראשוני]]. במצב זה, נהוג לסמן את מספר זה ב-<math>p</math> ונאמר על השדה שיש לו מאפיין <math>p</math>.

אם ל-<math>F</math> יש מאפיין <math>p</math> זה אומר כי <math>p \cdot a = 0</math> לכל <math>a</math> ב-<math>F</math>. מזה נובע כי

<math>(a+b)^p = a^p + b^p</math>

מכיוון שכל ה[[מקדם בינומי|מקדמים הבינומיים]] האחרים המופיעים ב[[הבינום של ניוטון|בינום של ניוטון]] מתחלקים ב-<math>p</math>. כאן,

<math>a^p = \underbrace{ a \cdot a \cdot \ldots \cdot a }_{p} </math>

מוגדר על ידי כפל חוזר. מכך נובע ש[[הומומורפיזם פרובניוס]]

<math>Fr : F \to F, \quad x \mapsto x^p </math>

הוא אכן [[הומומורפיזם]] של שדות. הקיום של הומומורפיזם שכזה הופך שדות עם מאפיין <math>p</math> לדי שונים משדות עם מאפיין <math>0</math>.

=== תת-שדות ===
תת-קבוצה של שדה <math>F</math> נקראת '''תת שדה''' אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במילים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של <math>F</math>, ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההופכי.

אם <math>P</math> הוא תת-שדה של <math>F</math>, אז <math>F</math> הוא [[מרחב וקטורי]] מעל <math>P</math>, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי, <math>F</math> מוכרח להיות אלגברי מעל <math>P</math>. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה <math>F</math> המכילה את <math>P</math> וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.

{{עוגן|שדה ראשוני|לכל שדה יש '''תת-שדה ראשוני''', שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה.}} השדה הזה יכול להיות [[שדה סופי]] בעל גודל [[מספר ראשוני|ראשוני]], או להכיל את כל [[חוג המספרים השלמים|המספרים השלמים]], שאז הוא בהכרח מכיל את [[שדה המספרים הרציונליים|הרציונליים]]. במקרה הראשון ה'''[[מאפיין של שדה|מאפיין]]''' של השדה הוא גודל השדה הראשוני, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.

==מיון==
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
=== שדות סופיים ===
{{הפניה לערך מורחב|שדה סופי}}
שדות סופיים (או שדות גלואה) אלו שדות עם כמות סופית של איברים, שמספרם מכונה גם הסדר של השדה. למעלה נמצאת הדוגמה לשדה עם ארבעה איברים, או <math>\mathbb{F}_4</math>. התת-שדה שלו <math>\mathbb{F}_2</math> הוא השדה הקטן ביותר, שכן לפי ההגדרה לכל שדה יש שני איברים שונים <math>0 \neq 1</math>.

השדות הסופיים הפשוטים ביותר, אלו עם סדר [[מספר ראשוני|ראשוני]] מתקבלים ישירות מ[[חשבון מודולרי]]. עבור שלם חיובי <math>n</math>, על הקבוצה

<math>\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} = \{ 0,1, \dots, n-1\}</math>

מוגדרים פעולות כפל וחיבור על ידי ביצוע כפל וחיבור ב-<math>\mathbb{Z}</math>, ולקיחת השארית אחרי חלוקה ב-<math>n</math>. הקבוצה הזו תצא שדה [[אם ורק אם]] <math>n</math> הוא מספר ראשוני, כיוון שאחרת ניתן לקחת זוג מספרים שלמים חיוביים <math>r,s < n</math> כך ש-<math>r \cdot s = n</math> שזה <math>0</math> ב-<math>\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}</math>, וזה מונע מ-<math>\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}</math> להיות שדה כמוסבר [[שדה (מבנה אלגברי)#מושגים בסיסיים#מסקנות מההגדרה|למעלה]].

לכל שדה סופי <math>F</math> יש <math>p^n
</math> איברים, כאשר <math>p</math> ראשוני כלשהו ו-<math>n \geq 1</math>. טענה זו נכונה כיוון שניתן לראות את <math>F</math> בתור מרחב וקטורי מעל התת-שדה הראשוני שלו. ה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של מרחב וקטורי זה הוא בהכרח סופי, נסמנו <math>n</math>, ונקבל את הדרוש.

ניתן לבנות שדה עם <math>p^n</math> איברים בתור [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] של הפולינום <math>f(x) = x^{p^n} - x</math>.{{הערה|[[#Oger|אהוד דה-שליט, 2018]], עמ' 254-257}}

שדה פיצול זה הוא הרחבה של <math>\mathbb{F}_p</math> שבה לפולינום <math>f</math> יש <math>p^n</math> שורשים. קבוצת השורשים האלו יוצרים שדה בפני עצמם כיוון שאם <math>\alpha, \beta</math> הם שורשים של פולינום זה, אז מתקיים <math>(\alpha \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} \beta^{p^n} = \alpha \beta</math> בבירור, וגם <math>(\alpha + \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = \alpha + \beta</math> הנובע משימוש חוזר בשוויון <math>(\alpha + \beta)^p = \alpha^p + \beta^p</math>, מה שאומר שקבוצת השורשים סגורה לחיבור ולכפל (ובבירור מתקיים שההופכי והנגדי של שורש הם עדיין שורש). שדה זה הוא בגודל <math>p^n</math>, והוא מסומן על ידי <math>\mathbb{F}_{p^n}</math>. זהו השדה היחיד עם <math>p^n</math> איברים, מכיוון שאם נתבונן ב[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] הכפלית של שדה שכזה, נקבל מ[[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']] כי כל איברי השדה הם שורשים של הפולינום <math>x^{p^n} - x</math>.
{{עץ מיון של שדות}}

== היסטוריה ==
היסטורית, שלוש דיסציפלינות אלגבריות הביאו לרעיון של שדה: השאלה של פתרון [[פולינום|משוואות פולינומיות]], [[תורת המספרים האלגברית]], ו[[גאומטריה אלגברית]].{{הערה|[[#Kleiner|ישראל קליינר, 2007]], עמ' 63}} צעד ראשון בכיוון של שדות נוצר לראשונה ב-1770 על ידי [[ז'וזף-לואי לגראנז']], שגילה שאם מסדרים מחדש שורשים של [[משוואה ממעלה שלישית]] <math>x_1, x_2, x_3</math> מקבלים בביטוי

<math>(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3)^3</math>

רק שני ערכים (כאשר <math>\omega</math> הוא [[שורש יחידה]] מסדר שלישי).

באופן הזה, לגראנז' מסביר את הקונספט של הפתרון הקלאסי למשוואות ממעלה שלישית של [[שיפיונה דל פרו]] ו[[פרנסואה וייט]], המתחילה בצמצום של משוואה ממעלה שלישית ב-<math>x</math> למשוואה במעלה שנייה ב-<math>x^3</math>. יחד עם הבחנה דומה על [[משוואה ממעלה רביעית|משוואות ממעלה רביעית]], לגראנז' חיבר בין מה שמאוחר נהיה הקונספט של שדה והקונספט של חבורה.{{הערה|[[#Bourbaki|ניקולא בורבאקי, 1994]], עמ' 75-76}} [[אלכסנדר ונדרמונד|ונדרמונד]], גם ב-1770, וגם [[קרל פרידריך גאוס]] במידה מסוימת בספרו ''[[מחקרים אריתמטיים]]'' (1801), חקר את המשוואה

<math>x^p = 1</math>

עבור ראשוני <math>p</math>, ובכך קיבל את מה שידוע כיום בתור [[חבורת גלואה]] ציקלית. גאוס הסיק מכך שיש [[בנייה בסרגל ובמחוגה]] עבור [[מצולע משוכלל]] עם <math>p</math> צלעות, כאשר <math>p = 2^{2^k} + 1</math>. בהסתמך על עבודתו של לגראנז', [[פאולו רופיני]] טען ב-1799 כי לא ניתן לפתור באופן אלגברי [[משוואה ממעלה חמישית]], אבל היו חורים בהוכחה שלו. חורים אלו מולאו על ידי [[נילס הנריק אבל]] ב-1824.{{הערה|[[#Corry|ליאו קורי, 2004]], עמ' 24}} [[אווריסט גלואה]] מצא ב-1832 תנאים הכרחיים ומספיקים לכך שמשוואה ממעלה חמישית תהיה פתירה על ידי רדיקלים, ובכך התחיל את מה שידוע כיום בתור [[תורת גלואה]]. גם אבל וגם גלואה עבדו עם מה שמכונה היום [[שדה מספרים]], אבל לא הגו באופן מפורש את המושג של שדה, או את המושג של חבורה.

ב-1871 [[ריכרד דדקינד]] הציג את המילה הגרמנית ''Körper'' עבור קבוצה של מספרים ממשיים או מרוכבים שסגורה תחת [[ארבע פעולות החשבון]], שמשמעותה בגרמנית היא "גוף" או "קורפוס" (כדי לציין ישות שסגורה באופן אורגני). המונח האנגלי field, שתורגם ישירות לעברית כ"שדה", הוצג לראשונה על ידי מור.{{מקור|נושא=מדעי הטבע}}

{{ציטוט|תוכן=במילה שדה, נתכוון למערכת אינסופית של מספרים ממשיים או מרוכבים שסגורה באופן מושלם, כך שחיבור, חיסור, כפל וחילוק של שני מספרים במערכת מביא למספר חדש במערכת.|מקור=ריכרד דדקינד, 1871{{הערה|[[#Kleiner|ישראל קליינר, 2007]], עמ' 66}} }}

ב-1881, [[לאופולד קרונקר]] הגדיר את מה שהוא כינה "תחום הרציונליים", שהוא שדה שברים במונחים של היום. ההגדרה של קרונקר לא כיסתה את [[שדה המספרים האלגבריים]] (שהוא שדה במובן של דדקינד), אבל מצד שני הייתה יותר אבסטרקטית מזו של דדקינד בכך שהיא לא עשתה אף הנחה ספציפית בנוגע לסוג האיברים שיכולים להופיע בשדה. קרונקר פירש שדה כמו <math>\mathbb{Q}(\pi)</math> באופן אבסטרקטי כמו השדה של פונקציות רציונליות <math>\mathbb{Q}(x)</math>. לפני כן, דוגמאות למספרים [[טרנסצנדנטיות|טרנסצנדנטליים]] היו ידועות מאז עבודתו של [[ז'וזף ליוביל]] ב-1884, עד ש[[שארל הרמיט]] (1873) ו[[פרדיננד לינדמן]] (1882) הוכיחו כי <math>e</math> ו-<math>\pi</math> טרנסצנדנטליים, בהתאמה.{{הערה|[[#Bourbaki|ניקולא בורבאקי, 1994]], עמ' 81}}

ההגדרה הברורה הראשונה לשדה אבסטרקטי הייתה של היינריך וובר (1893).{{הערה|[[#Corry|ליאו קורי, 2004]], עמ' 33}} ספציפית, ההגדרה שלו כללה את השדה <math>\mathbb{F}_p</math>. [[ג'וזפה ורונזה]] (1891) חקר את השדה של טורי חזקות פורמליים, מה שהוביל את קרט הנזל (1904) להציג את [[שדה המספרים ה-p-אדיים]]. שטייניץ (1910) אסף וסידר את הידע על שדות אבסטרקטיים שנצבר עד כה. הוא חקר אקסיומתית את התכונות של שדות והגדיר הרבה מהרעיונות החשובם בתורת השדות. רוב המשפטים המוזכרים בפרקים של תורת גלואה, בניית שדות, ומושגים בסיסיים, נמצאים בעבודתו של שטייניץ. ארטין ושטייניץ (1927) חיברו את הרעיון של [[שדה סדור|סידור איברי שדה]], ובכך את התחום הרחב של אנליזה, לתכונות אלגבריות טהורות. [[אמיל ארטין]] פיתח מחדש את תורת גלואה בין 1928 ל-1942, ומחק את התלות של התורה ב[[משפט האיבר הפרימיטיבי]].

== בניית שדות ==
=== בניית שדות מחוגים ===
[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג קומוטטיבי]] זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל המקיימת את כל האקסיומות של השדה פרט לקיום ההופכי <math>a^{-1}</math>. למשל, [[מספר שלם|המספרים השלמים]] <math>\mathbb{Z}</math> הם חוג קומוטטיבי אבל לא שדה, מכיוון שההופכי של מספר שלם <math>n</math> אינו שלם אלא אם <math>n = \pm 1</math>.

בהיררכיית המבנים האלגבריים, שדות ניתנים לאפיון בתור חוגים קומוטטיביים <math>R</math> שבהם כל איבר שונה מ-<math>0
</math> הוא [[איבר הפיך]] (מה שאומר כי לכל איבר יש הופכי). באופן דומה, שדות הם חוגים קומוטטיביים עם בדיוק שני [[אידיאל (אלגברה)|אידיאלים]], <math>(0)</math> ו-<math>R</math>. שדות גם מאופיינים בתור החוגים הקומוטטיביים בהם <math>(0)</math> הוא ה[[אידיאל ראשוני|אידיאל הראשוני]] היחיד.

בהינתן חוג קומוטטיבי <math>R</math>, יש שתי דרכים להגדיר שדה הקשור ל-<math>R</math>, כלומר שתי דרכים לשנות את <math>R</math> כך שכל איבריו השונים מ-<math>0
</math> יהיו הפיכים: יצירת שדה שברים, ויצירת שדה מנה. עבור חוג השלמים <math>\mathbb{Z}</math>, שדה השברים הוא שדה הרציונליים <math>\mathbb{Q}</math> בעוד ששדות המנה של <math>\mathbb{Z}</math> הם השדות הסופיים <math>\mathbb{F}_p</math>.

==== שדה שברים ====
בהינתן תחום שלמות <math>R</math>, [[שדה שברים|שדה השברים]] שלו <math>Q</math> בנוי על ידי השברים של שני איברים של <math>R</math> בדיוק כפי ש-<math>\mathbb{Q}</math> נבנה מתוך <math>\mathbb{Z}</math>. ביתר דיוק, האיברים של <math>Q</math> הם שברים מהצורה <math>\frac{a}{b}</math> כאשר <math>a</math> ו-<math>b</math> הם איברים ב-<math>R</math> וגם <math>b \neq 0</math>. שני שברים <math>\frac{a}{b}</math> ו-<math>\frac{c}{d}</math> הם שווים אם ורק אם <math>ad=bc</math>. הפעולות על השברים פועלות בדיוק כפי שהן פועלות על מספרים רציונליים. למשל:

<math>.\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}</math>

ניתן להראות ישירות כי אם <math>R</math> הוא תחום שלמות, מה שתיארנו כאן יוצר שדה.

דוגמה מפורסמת לשדה שברים הוא השדה <math>F(x)</math> של [[פונקציה רציונלית|פונקציות רציונליות]] מעל שדה <math>F</math>, שהוא שדה השברים של [[חוג פולינומים|חוג הפולינומים]] <math>F[x]</math>. השדה <math>F((x))</math> של [[טור לורן|טורי לורן]]

<math>\sum_{i=k}^{\infty} a_ix^i (k \in \mathbb{Z}, a_i \in F)</math>

מעל שדה <math>F</math> הוא שדה השברים של החוג <math>F[[x]]</math> של [[טור חזקות#טורי חזקות פורמליים|טורי החזקות הפורמליים]] מעל שדה <math>F</math> (שבו <math>k > 0</math>). אבל כיוון שכל טור לורן ניתן להצגה בתור טור חזקות מחולק בחזקת <math>x</math>, אין הרבה חשיבות להצגה של איברי השדה כשברים.

==== שדה מנה ====
בנוסף לשדה השברים, שמעביר את <math>R</math> לשדה בהעתקה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]], ניתן לבנות שדה מתוך חוג קומוטטיבי <math>R</math> בהעתקה [[פונקציה על|על]] <math>F</math>. בהינתן [[אידיאל מקסימלי]] <math>m</math>, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>R/m</math> הוא שדה, הנקרא שדה המנה.

למשל, בהינתן חוג פולינומים <math>R = E[X]</math>, האידיאל הנוצר על ידי פולינום <math>f</math> הוא מקסימלי אם ורק אם הפולינום <math>f</math> הוא [[פולינום אי פריק|אי פריק]] מעל <math>E</math>, כלומר לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים אחרים ב-<math>E[X]</math>. אם האידיאל אכן מקסימלי, זה יוצר את השדה

<math>.F = E[X]/(f(X))</math>

השדה הזה כולל איבר <math>x</math> (מחלקת השקילות של <math>X</math>) שמקיים <math>f(x) = 0</math>. ניתן לשכן את <math>E</math> ב-<math>F</math>, שכן כל איברי <math>E</math> הם פולינומים ממעלה <math>0</math> ב-<math>E[X]</math> ומחלקות השקילות שלהם שונות. כלומר, השדה <math>F</math> זו מעין הרחבה של השדה <math>E</math>, שכוללת שורש לפולינום <math>f</math>.

כך למשל, ניתן לבנות את השדה <math>\mathbb {C}</math>מהשדה <math>\mathbb {R}</math>, באמצעות הוספת שורש לפולינום <math>f(X) = X^2 + 1</math>. קל לבדוק שזהו אכן פולינום אי-פריק ב-<math>\mathbb {R}[X]</math>, ולכן נוכל לבנות את השדה

<math>.\mathbb {C} \cong \mathbb {R}[X]/(X^2 + 1)</math>

== ראו גם ==
* [[הרחבת שדות]]
* [[תורת גלואה]]

== לקריאה נוספת ==
* {{עוגן|Oger|{{צ-ספר|מחבר=[[אהוד דה-שליט]], [[אלכס לובוצקי]], דורון פודר|שם=מבנים אלגבריים: חבורות, חוגים ושדות|מו"ל=ירושלים: הוצאת ספרים ע"ש י"ל מאגנס|שנת הוצאה=2018}}}}
* {{עוגן|Bourbaki|{{צ-ספר|מחבר=[[ניקולא בורבאקי]]|שם=Elements of the history of mathematics|מו"ל=[[הוצאת שפרינגר]]|שנת הוצאה=1994}}}}
* {{עוגן|Kleiner|{{צ-ספר|מחבר=[[ישראל קליינר (מתמטיקאי)|ישראל קליינר]]|שם=A history of abstract algebra{{כ}}|מו"ל=Birkhäuser{{כ}}|שנת הוצאה=2007}}}}
* {{עוגן|Corry|{{צ-ספר|מחבר=[[ליאו קורי]]|שם=Modern algebra and the rise of mathematical structures (2nd ed.){{כ}}|מו"ל=Birkhäuser{{כ}}|שנת הוצאה=2004}}}}

== קישורים חיצוניים ==
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Field}}
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{אלגברה מופשטת}}
{{אלגברה ליניארית}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]
[[קטגוריה:מבנים אלגבריים]]
[[קטגוריה:תורת השדות]]
[[קטגוריה:טיפוסי חוגים]]