הצגת המקור של הדף "שדה ארכימדי"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[מתמטיקה]], '''שדה ארכימדי''' הוא [[שדה סדור]] המקיים את [[תכונת ארכימדס]],  שפירושה הוא שאיברי השדה אינם יכולים להיות גדולים מכל מספר טבעי. לדוגמה, [[שדה המספרים הממשיים|השדה הממשי]] הוא שדה ארכימדי, בעוד שהשדה <math>\ \mathbb{R}((x))</math> של [[טור לורן|טורי לורן]] מעל השדה הממשי, אינו ארכימדי. ידוע שכל שדה ארכימדי הוא תת-שדה של שדה המספרים הממשיים.

תכונת ארכימדס ושדה ארכימדי קרויים על שם [[ארכימדס]] מ[[סירקוזה]], שקבע שניתן להשוות כל שני קטעים ממשיים: אם מניחים עותקים של הקטע הקצר בזה אחר זה, בסופו של דבר אפשר יהיה לעבור את הקטע הארוך. בניסוח מודרני, זוהי בדיוק תכונת הארכימדיות של השדה הממשי. 

מושג הארכימדיות יוחס לראשונה באופן מפורש לשדות בסביבות [[1900]], על ידי המתמטיקאי האוסטרי [[אוטו שטולץ]] {{אנ|Otto Stolz}} (1842-1905).

== הגדרה ==

כל שדה סדור הוא בעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] 0, ולכן מכיל עותק של [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]] ו[[חוג המספרים השלמים|השלמים]]. 

התכונות הבאות שקולות זו לזו, ושדה סדור המקיים אותן הוא '''ארכימדי''': 
* לכל איבר a בשדה, קיים מספר טבעי כך ש- <math>\ a<n</math>. 
* לכל איבר חיובי a בשדה, קיים n טבעי כך ש- <math>\ 1/n<a</math>.
* [[קבוצת המספרים הטבעיים]] אינה [[קבוצה חסומה|חסומה]] בשדה.
* קבוצת המספרים הרציונליים [[צפיפות (סדר)|צפופה]] בשדה (במובן של קבוצות סדורות: בין כל שני מספרים יש מספר רציונלי).

בתכונת ארכימדס משתמשים כדי לנסח מחדש מושגי יסוד באנליזה, כמו למשל [[התכנסות (מתמטיקה)|התכנסות]] של סדרה. על-פי ההגדרה המקובלת, סדרה <math>\ \{a_n\}</math> מתכנסת לגבול a אם לכל <math>\ 0<\epsilon</math>, מרחקם של אברי הסדרה מ- a, ממקום מסוים ואילך, קטן מ- <math>\ \epsilon</math>. הארכימדיות מאפשרת להחליף את <math>\ \epsilon</math> במספר מהצורה <math>\ 1/n</math>, ובכך לבנות סדרות שבהן האיבר ה- n-י תלוי ב- n.

== קשר לתכונות אחרות ==

תכונת ארכימדס מתקיימת בכל שדה סדור שהוא שלם במובן של קיום [[חסם עליון]], אבל אינה נובעת מן התכונה החלשה יותר, של שלמות במובן ה[[מרחב טופולוגי|טופולוגי]]. מצד שני, בשדה סדור ארכימדי, שני התנאים לשלמות מתלכדים. לפרטים, ראו [[שדה סדור שלם]].

ארכימדיות עוברת בתורשה לתת-שדות (כל [[תת שדה]] של שדה ארכימדי הוא ארכימדי). 

שדה סדור שהוא גם שלם (במובן של חסמים, ולכן ארכימדי), לא ניתן [[הרחבה של שדות|להרחיב]] תוך שמירה על הארכימדיות:

'''משפט''': אם <math>\ F\subseteq K</math> שניהם שדות סדורים ארכימדיים, ו- <math>\ F</math> שלם, אז <math>\ K=F</math>. 

'''הוכחה''': נניח ש- <math>\ x\in K</math>. מן הארכימדיות של <math>\ K</math> נובע שהקבוצה <math>\ A=\{a \in F : a < x\}</math> חסומה על ידי מספר טבעי, ולכן היא חסומה גם ב- <math>\ F</math>. נסמן ב- <math>\ t\in F</math> את החסם העליון שלה. אם <math>\ x>t</math> אז קיים <math>\ n</math> טבעי כך ש- <math>\ x-t>1/n</math> ואז <math>\ t+1/n\in A</math>, סתירה להגדרת <math>\ t</math>. מצד שני אם <math>\ x<t</math> אז קיים <math>\ n</math> טבעי כך ש- <math>\ t-x>1/n</math> ואז <math>\ A \not\ni t-1/n</math>, שוב סתירה. לכן <math>\ x=t\in F</math>.

לכל שדה ארכימדי <math>F</math> אפשר לבנות את השדה <math>\ \hat{F}</math> של [[חתכי דדקינד]] ב-<math>F</math>. שדה זה הוא שלם (במובן של חסמים, ולכן ארכימדי), ו- F צפוף בו. על-פי ההגדרה, שדה המספרים הממשיים הוא ההשלמה <math>\ \mathbb{R}=\hat{\mathbb{Q}}</math> של [[שדה המספרים הרציונליים|שדה הרציונליים]]. מכיוון ש- <math>F</math> מכיל עותק של <math>\ \mathbb{Q}</math>, יש [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] <math>\ \mathbb{R}=\hat{\mathbb Q}\hookrightarrow \hat{F}</math>. אבל כאן שני השדות שלמים; מן המשפט נובע ש- <math>\ F \subseteq \hat{F}\cong \mathbb{R}</math> - כלומר, כל שדה ארכימדי הוא [[תת שדה]] של [[שדה המספרים הממשיים|השדה הממשי]], ושדה זה הוא שדה חתכי דדקינד של כל אחד מהם.

[[קטגוריה:שדות סדורים]]