הצגת המקור של הדף "שדה המספרים הניתנים לבנייה"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
'''שדה המספרים הניתנים לבנייה''' הוא ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הכולל את כל ה[[מספר]]ים שאפשר [[בנייה בסרגל ובמחוגה|לבנות בסרגל ובמחוגה]].<ref>{{צ-ספר|מחבר=Martin, George E.|שם=Geometric Constructions, Undergraduate Texts in Mathematics|מקום הוצאה=New York|מו"ל=Springer-Verlag|שנת הוצאה=1998}}</ref>

אפשר לבנות את השדה הזה כך: בתחילה נתונות רק שתי [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] ריק (אלו הנקודות שיתאימו ל[[איבר האפס]] ו[[איבר היחידה]] של השדה). ה[[סרגל]] מאפשר להעביר [[קו ישר]] בין שתי נקודות נתונות; ה[[מחוגה]] מאפשרת להקצות [[מעגל]] שמרכזו הוא נקודה נתונה, וה[[רדיוס]] שלו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות; לבסוף, אפשר לחתוך כל שני קווים (או מעגלים) ולהוסיף את הנקודות המתקבלות לאוסף הנקודות שלנו.

לדוגמה, בשלב הראשון אפשר להעביר רק את הקו הישר דרך <math>0</math> ו-<math>1</math>, ואת שני המעגלים שרדיוסם <math>1</math>, ומרכזיהם <math>0</math> ו-1. חיתוך הקווים האלו מעשיר את האוסף שלנו בנקודות <math>-1, 2, \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}, \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}</math>. כעת אפשר להעביר עוד שמונה ישרים ועוד 22 מעגלים, לחתוך את אלו זה עם זה, וכן הלאה.

לאחר שזיהינו את המישור עם [[שדה המספרים המרוכבים]], האוסף <math>S</math> של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה תת-קבוצה של [[שדה המספרים המרוכבים]]. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב-<math>S</math> סגור ל[[חיבור]] ו[[חיסור]], ל[[כפל]] ולפעולת ההיפוך <math>x \mapsto 1/x</math>. מזה נובע ש-<math>S</math> (כאוסף של [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]]) סגור ל[[חיבור]] ו[[חיסור]]. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר [[זווית|זוויות]], וכך (על-פי [[נוסחאות דה-מואבר]]) מוכח ש-<math>S</math> סגור גם ל[[כפל]] ו[[חילוק]].

תכונה חשובה של השדה <math>S</math> היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת [[שורש ריבועי|שורש]] (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב-<math>S</math> שורש מ[[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי [[חוצה זווית|חציית זוויות]]). למעשה, <math>S</math> הוא תת-השדה הקטן ביותר של <math>\mathbb{C}</math> הסגור להוצאת שורש, כלומר ה[[שדה סגור ריבועית|סגור הריבועי]] של המספרים הרציונליים. מכאן נובע שהוא מכיל כל [[הרחבת גלואה]] של [[שדה המספרים הרציונליים]] מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] חזקת-2, ולהפך: הממד של [[סגור גלואה]] של כל תת-שדה מממד סופי של <math>S</math> הוא חזקת-<math>2</math>. ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת-<math>2</math> (או שאינו [[מספר אלגברי]]), אינו שייך ל-<math>S</math>, ולכן אינו ניתן לבנייה.

== הבעיות של ימי קדם ==

כדי להראות ש[[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]] אינן ניתנות לפתרון, נשאר לבדוק מהם הפולינומים המינימליים של המספרים שהן מבקשות מאיתנו לבנות: אי אפשר ל[[הכפלת הקובייה|הכפיל את הקובייה]], משום שהצלע המבוקשת, <math>\sqrt[3]{2}</math>, יוצרת שדה מממד <math>3</math>. אי אפשר לבנות זווית של <math>20</math> מעלות, משום ש - <math>\cos(20^{\circ})</math> הוא שורש של הפולינום האי-פריק <math>8x^3-6x-1</math> (את הזווית של <math>60</math> מעלות אפשר לבנות, ומכאן שלא ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים). אי אפשר לרבע את המעגל משום ש - <math>\ \sqrt{\pi}</math> [[מספר טרנסצנדנטי]] ולכן אינו ניתן לבנייה. אי אפשר לבנות [[משובע]] [[מצולע משוכלל|משוכלל]] משום שהשורש השביעי של היחידה הוא בעל [[פולינום]] מינימלי <math>x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1</math>, ו-<math>6</math> אינו חזקה של <math>2</math>.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{מערכות מספרים}}

[[קטגוריה:מבנים אלגבריים יחידאים]]
[[קטגוריה:בנייה בסרגל ובמחוגה]]