הצגת המקור של הדף "שדה המספרים ה-p-אדיים"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[מתמטיקה]], '''שדה המספרים ה-p-אדיים''' הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], שאבריו הם ה[[מספר p-אדי|מספרים ה-p-אדיים]]. יש שדה <math>p</math>-אדי אחד לכל [[מספר ראשוני]] <math>p</math>, ומקובל לסמן אותו באות <math>\mathbb{Q}_p</math>. כל [[הרחבת שדות|הרחבה סופית]] של שדה המספרים ה-<math>p</math>-אדיים נקראת "שדה <math>p</math>-אדי".

על שדה המספרים ה-<math>p</math>-אדיים מוגדרת [[הערכה דיסקרטית|הערכה בדידה]], ההופכת אותו ל[[שדה מקומי]], שהוא בעל [[עוצמת הרצף]], ואינו [[שדה סדור|ניתן לסידור]]. לפי [[משפט אוסטרובסקי]], כל שדה מקומי מ[[מאפיין של שדה|מאפיין אפס]] (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא <math>p</math>-אדי לאיזשהו <math>p</math>.

את המספרים ה-<math>p</math>-אדיים פיתח [[קורט הנזל]] בתחילת המאה העשרים, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות. 

== תכונות ==

כל מספר <math>p</math>-אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה <math>\sum_{i=-N}^{\infty}a_i p^i</math> כאשר <math>N</math> שלם, ו-<math>a_i \in \{0,1,\dots,p-1\}</math>. החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד.

=== אלגברה ===
המספרים מהצורה <math>\sum_{i=0}^{\infty}a_i p^i</math> נקראים "שלמים <math>p</math>-אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את [[חוג השלמים ה-p-אדיים]] <math>\mathbb{Z}_p</math>, שהוא [[חוג מקומי|תת-חוג מקומי]] ו[[חוג ראשי (מתמטיקה)|ראשי]] ([[חוג הערכה דיסקרטית|חוג ההערכה הדיסקרטית]] המתקבל מ[[הערכה דיסקרטית|ההערכה הדיסקרטית]] שתוצג בתת-הפסקה הבאה) של <math>\mathbb{Q}_p</math>; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר <math>p</math>: <math>\mathbb{Q}_p = \mathbb{Z}_p[p^{-1}]</math>. חוג השלמים ה-<math>p</math>-אדיים הוא [[מערכת פרויקטיבית|גבול הפוך]] של [[חוג מנה|חוגי המנה]] <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>.

=== טופולוגיה ===

על שדה המספרים ה-<math>p</math>-אדיים מוגדרת [[הערכה דיסקרטית]] <math>\nu(\sum_{i=-N}^{\infty}a_ip^i) = -N</math> (בהנחה ש-<math>a_{-N} \neq 0</math>), וזו מגדירה [[ערך מוחלט]] לפי <math>|f| = p^{-\nu(f)}</math> ו[[מטריקה]] (<math>d(x,y) = |x-y|</math>), המגדירה [[טופולוגיה]]. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-<math>p</math>-אדיים, שהוא [[כדור יחידה|כדור היחידה]] הסגור בשדה, הוא [[קבוצה קומפקטית]], [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפית]] ל[[קבוצת קנטור]]. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא [[קומפקטיות מקומית|קומפקטי מקומית]].

=== אריתמטיקה ===

[[שורש יחידה|שורשי היחידה]] ב-<math>\mathbb{Q}_p</math> הם אלו שסדרם מחלק את <math>p-1</math>. כאשר <math>p</math> אי-זוגי, לשלם רציונלי <math>a</math> שאינו מתחלק ב-<math>p</math> יש שורש <math>p</math>-אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו <math>p</math> (כך למשל <math>\sqrt{-1}, \sqrt{11}, \sqrt{19} \in \mathbb{Q}_5</math>); עבור <math>p=2</math> התנאי הוא שיהיה ל-<math>a</math> שורש מודולו 8, ולדוגמה <math>\sqrt{3} \not \in \mathbb{Q}_2</math>. [[הלמה של הנזל]] מאפשרת לפתור [[משוואה פולינומית|משוואות פולינומיות]] בשדה המספרים ה-<math>p</math>-אדיים, ובאופן כללי יותר, [[פירוק לגורמים|לפרק פולינומים לגורמים]], על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>.

בניגוד ל[[שדה המספרים הממשיים]], שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה - [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]] - לשדה המספרים ה-<math>p</math>-אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל מימד, ומספרן (בכל מימד) סופי. אם <math>p</math> אי זוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה-2-אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה [[הרחבה לא מסועפת|לא מסועפת]] יחידה מכל מימד.

ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] <math>\overline{\mathbb{Q}_p}</math> אינו [[מרחב מטרי שלם|שלם]] ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב- <math>\mathbb{C}_p</math>, ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי), <math>\mathbb{C}_p</math> איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים, <math>\mathbb{C}</math>.

[[חבורת גלואה]] של כל הרחבה סופית של <math>\mathbb{Q}_p</math> היא [[חבורה פתירה|פתירה]], ולכן [[חבורת גלואה האבסולוטית]] <math>\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_{p}/\mathbb{Q}_{p})</math> היא [[חבורה פרו-סופית|פרו-פתירה]].

== ראו גם ==

* [[חוג האדלים]]
* [[משפט גרונוולד-ואנג]]

{{מערכות מספרים}}
{{תרשים מערכות מספרים}}
{{עץ מיון של שדות|הכלת הערות=כן}}
[[קטגוריה:תורת השדות]]
[[קטגוריה:תורת המספרים האלגברית]]
[[קטגוריה:סדרות של מבנים אלגבריים]]