הצגת המקור של הדף "שדה סופי"

ב[[אלגברה]], '''שדה סופי''' הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] שיש בו מספר סופי של [[איבר (מתמטיקה)|איברים]]. הגודל של כל שדה סופי הוא חזקה שלמה של [[מספר ראשוני]]; ולכל חזקה כזו, יש שדה אחד ויחיד (עד כדי [[איזומורפיזם]]) מן הגודל המתאים. המבנה שלהם (לרבות תת-שדות, [[בסיס (אלגברה)|בסיסים]] ו[[סדר של איבר בחבורה|סדר]] של איברים) מוכר היטב.

לשדות סופיים יש שימושים רבים, בין היתר ב[[תורת המספרים]], [[קומבינטוריקה]], [[גאומטריה]], [[תורת הקודים]] ו[[קריפטוגרפיה]]. את השדות הסופיים קל לפתח במסגרת [[תורת גלואה]], ומשום כך הם קרויים '''שדות גלואה''', על-שמו של [[אווריסט גלואה]].

== [[קיום ויחידות]] של שדות סופיים ==

לכל מספר ראשוני <math>p</math>, קבוצת המספרים המתחלקים ב-<math>p</math> היא [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] מקסימלי של [[חוג המספרים השלמים]], והמנה <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> היא שדה בגודל <math>p</math>. בשדה הזה, פעולות החיבור והכפל מחושבות [[חשבון מודולרי|מודולו]] <math>p</math>. 

יהי <math>F</math> שדה סופי. לשדה יש [[מאפיין של שדה|מאפיין]], שהוא בהכרח מספר ראשוני <math>p</math> (ולא אפס). משום כך, השדה <math>F</math> מכיל עותק של "השדה הראשוני", <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>. מכאן נובע ש-<math>F</math> הוא [[מרחב וקטורי]] מעל <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>, ומכאן שמספר האיברים שלו הוא <math>|F|=p^n</math> עבור מספר שלם <math>n</math>.

'''קיום'''. יהי <math>K</math>[[שדה פיצול| שדה הפיצול]] של ה[[פולינום]] <math>f(t)=t^{p^n}-t</math> מעל השדה <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> (לפי תורת גלואה, יש שדה יחיד כזה, עד-כדי איזומורפיזם). בשדה <math>K</math> מתקיימות הזהויות <math>(ab)^p=a^pb^p</math> ו-<math>(a+b)^p=a^p+b^p</math>; מכאן שאוסף הפתרונות <math>K_0=\{a\in K: a^{p^n}-a=0\}</math> סגור לחיבור ולכפל; ולכן הוא מהווה תת-שדה של <math>K</math>; הפולינום <math>f</math> מתפצל ב-<math>K_0</math> (המכיל את כל השורשים של <math>f</math>), ולכן <math>K=K_0</math>. אבל הפולינום <math>f</math> הוא [[פולינום ספרבילי]], ולכן יש לו בדיוק <math>\deg(f)=p^n</math> פתרונות - מכאן ש-<math>K</math> שדה בעל <math>p^n</math> איברים.

'''יחידות'''. כל איבר בשדה בן <math>p^n</math> איברים מקיים את הזהות <math>x^{p^n}=x</math>, ולכן הוא מהווה שדה פיצול של <math>f</math>; מכאן שיש רק שדה אחד כזה. את השדה הזה מסמנים ב-<math>\mathbb{F}_{p^n}</math>.

[[חבורת גלואה]] של הרחבה של שדות סופיים, <math>\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q</math> כאשר <math>q</math> חזקה של ראשוני, היא [[חבורה ציקלית]] מ[[סדר של חבורה|סדר]] <math>n</math>, הנוצרת על ידי [[אוטומורפיזם פרובניוס]] <math>x\mapsto x^q</math>. כל ההרחבות של שדות סופיים הן ספרביליות.

לפי [[המשפט הקטן של ודרברן]], השדות הסופיים הם ה[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]]ים הסופיים היחידים ללא [[מחלקי אפס]].

==דוגמה==

השדה <math>\mathbb{F}_4</math>, קיים ויחיד, כי 4 הוא חזקה של מספר ראשוני, אבל הוא לא חוג המספרים השלמים מודולו 4, <math>\mathbb{Z}_4</math>, כי חוג זה מכיל [[מחלק אפס]].

נשים לב ש- <math>4=2^2</math>, ו-2 הוא מספר ראשוני, ולכן <math>\mathbb{F}_4</math> הוא [[הרחבת שדות|הרחבה של השדה]] <math>\mathbb{F}_2= \mathbb{Z}_2</math>, ומעלת ההרחבה היא 2. באופן כללי, ניתן ליצור הרחבה ממעלה n על ידי הוספת שורש של [[פולינום]] [[פולינום אי פריק|אי פריק]] ממעלה <math>n</math> לשדה המקורי, ולכן הבעיה של יצירת שדה בן ארבעה איברים היא הבעיה של מציאת פולינום ריבועי אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>. קל לראות שהפולינום הריבועי האי פריק היחיד בחוג הפולינומים <math>\mathbb{Z}_2 [x]</math> הוא <math>x^2 + x + 1</math> - זהו פולינום אי פריק כיוון שהוא פולינום ריבועי בלי שורש בשדה, מה שאפשר לוודא על ידי בדיקת כל<!--  שתי --> האפשרויות. נוסיף שורש של הפולינום לשדה, ונסמן את השורש ב-<math>c</math>. קל לראות שמתקבל השדה <math>\mathbb{F}_4 = \left\{ 0 , 1 , c , c + 1 \right\}</math> כאשר פעולות החיבור והכפל בו נקבעות לפי השיווינות <math>x+x=0</math> לכל <math>x</math> ו-<math>c^2 + c + 1 = 0</math>. מכאן מתקבל לדוגמה השוויון <math>c ^ 2 = c ^{-1} = c +1</math>, ואת הביטוי <math>\frac{c^3+c}{c+1}</math> אפשר לפשט לביטוי 1.

== פולינומים אי-פריקים ==

אם <math>g</math> הוא פולינום אי-פריק ממעלה <math>n</math> מעל השדה <math>\mathbb{F}_q</math>, אז הוא מחלק את <math>f(x)=x^{q^n}-x</math>; מצד שני, הפירוק של <math>f</math> לגורמים אי-פריקים כולל את כל הפולינומים האי-פריקים המתוקנים, ממעלה המחלקת את <math>n</math>. אם נסמן ב-<math>a_d(q)</math> את מספר הפולינומים המתוקנים האי-פריקים ממעלה <math>d</math>, מתקבלת מכאן הנוסחה <math>\sum_{d|n}da_d(q)=q^n</math>. אפשר להפוך את הסדר בעזרת [[נוסחת ההיפוך של מביוס]] - <math>a_n(q) = \frac{1}{n}\sum_{d|n}\mu(n/d)q^d</math>. הגורם המשמעותי ביותר בסכום זה הוא הגורם המתאים ל-<math>d=n</math>, ולכן <math>a_n(q) \approx \frac{1}{n}q^n</math>. 

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
{{תרשים מערכות מספרים|הכלת הערות=כן}}
{{עץ מיון של שדות|הכלת הערות=כן}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תורת השדות]]
[[קטגוריה:סדרות של מבנים אלגבריים]]