הצגת המקור של הדף "שוויון (מתמטיקה)"

[[קובץ:Eqaulity.PNG | ממוזער | שמאל]]ב[[מתמטיקה]] וב[[לוגיקה]], '''שוויון''' בין שני עצמים מציין זהות מוחלטת ביניהם, בכל מאפייניהם. השוויון הוא [[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]], המסומן ב"[[=]]", ומתקיים: x=y [[אם ורק אם]] x ו-y שווים זה לזה. 

שוויון הוא מושג המופיע בכל תחומי המתמטיקה, תוך התייחסות לעצמים שבכל תחום. כך מוגדר שוויון בין [[מספר]]ים, [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], [[פונקציה|פונקציות]], [[גרף פונקציה|גרפים]] וכדומה. בכל ביטוי מתמטי של שוויון ישנם שני אגפים: ימני ושמאלי.

דוגמה: שוויון בין מספרים:
:'''2 + 4 = 6'''

שוויון זה מציין שני מספרים, הראשון הוא המספר "6", והשני "2 + 4". השוויון מראה כי שני צדדיו של סימן השוויון מייצגים את אותו מספר כפי שמתקבל מהגדרת החיבור.

באופן פורמלי שוויון בין איברי קבוצה מוגדר בתור ה[[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]]: <math>\{(x, x)\;|\;x\in X\}</math>

שוויון הוא [[יחס שקילות]], כלומר הוא יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. משמעות תכונות אלה כאשר מדובר בשוויון:
* [[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]]: a=a כל עצם שווה לעצמו.
* [[יחס סימטרי|סימטריות]]: אם a=b אז b=a.
* [[טרנזיטיביות]]: אם a=b וגם b=c אז a=c – זוהי המוסכמה ה[[יסודות (ספר)|אוקלידית]] לפיה שני גדלים השווים לגודל שלישי, שווים ביניהם.

שוויון הוא עידון של כל יחס שקילות אחר, כלומר הוא מתאים ל[[חלוקה (תורת הקבוצות)|חלוקה]] ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]]ת של כל קבוצה. שוויון הוא [[יחס אנטי-סימטרי]] ולכן הוא גם [[יחס סדר]] [[מקרה מנוון|מנוון]]. זהו היחס היחיד שהוא גם יחס שקילות וגם יחס סדר, ובאופן כללי יותר היחס היחיד שהוא רפלקסיבי, סימטרי ואנטי-סימטרי.

שוויון מקיים גם את תכונת ההחלפה: לכל A ו-B ופונקציה F, אם A=B, אז גם (F(A)=F(B. לדוגמה:
* עבור A, B, C [[מספר ממשי|ממשיים]] – אם A=B אז A+C=B+C
* עבור A, B, C ממשיים – אם A=B אז A-C=B-C
* עבור A, B, C ממשיים – אם A=B אז AC=BC
* עבור A, B, C≠0 ממשיים – אם A=B אז A/C=B/C

ב[[תורת ההיסק]], תכונות השוויון נקבעות כ[[אקסיומה|אקסיומות]].

==ראו גם==
* [[זהות (מתמטיקה)]]
* [[משוואה]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:יחסי שקילות]]