הצגת המקור של הדף "שוויון פרסבל"

'''שוויון פרסבל''' הוא [[זהות (מתמטיקה)|זהות מתמטית]] אשר מקשרת בין מקדמי [[טור פורייה]] לבין הפונקציה היוצרת אותם. שוויון זה, אשר נכתב על ידי [[מארק אנטואן פרסבל]], משמש ככלי חשוב ב[[אנליזה הרמונית]]. ב[[הנדסה]], בתחומי ה[[תקשורת]] ו[[עיבוד אותות|עיבוד האותות]] מייחסים לשוויון את הקשר בין שימור האנרגיה של האות במרחב ה[[תדר]] למרחב ה[[זמן]].

== הגדרה מתמטית ==
כל [[פונקציה מחזורית]] בקטע <math>[ -\pi , \pi ]</math> אשר מקיימת תנאים מסוימים ([[תנאי דיריכלה]]), ניתנת לייצוג כ[[טור פונקציות]] אינסופי של "הפונקציות ההרמוניות" היסודיות באופן הבא:
: <math>f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{i n x} = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} c_n e^{i n x} </math>

הזהות מציגה את הקשר בין ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] של הפונקציה למקדמי [[טור פורייה]] שלה באופן הבא: סכום ריבועי הערכים המוחלטים של מקדמי טור פורייה של הפונקציה (בצד שמאל) שווה לאינטגרל (המנורמל) על הפונקציה היוצרת בערך מוחלט בריבוע (בצד ימין). בנוסחה:
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx</math>
כאשר <math>c_n</math> הוא מקדם טור פורייה (המרוכב) של הפונקציה <math>f</math> ונתון על ידי
: <math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-inx} \, dx</math>

זהות זו היא מקרה פרטי של [[משפט פלנשרל|זהות פלנשרל]] {{אנג|Plancherel theorem|Plancherel identity}} וניתן להוכיחה באמצעות [[אורתוגונליות]].

תנאים מספיקים לקיום השוויון, כלומר סוג של תנאי דיריכלה:
# הנגזרת החד צדדית של הפונקציה, הימנית והשמאלית, קיימת בכל נקודה. בנוסף, קיימת נגזרת שמאלית בנקודת סוף המחזור ונגזרת ימנית בתחילת המחזור.
# הפונקציה רציפה בכל נקודה.
# ובנוסף ערך הפונקציה בתחילת המחזור שווה לערכה בסוף המחזור (כלומר רציפות על פני המחזורים).

== הגדרה הנדסית==
האנרגיה של האות במרחב הזמן נשמרת וזהה גם בהצגה של האות העובר התמרת פורייה למרחב התדר <math>f</math>:
:<math display="block">E=\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2~\mathrm dt =\int_{-\infty}^{+\infty} |X(f)|^2~\mathrm df</math>
כאשר בצד שמאל האות במרחב הזמן ובצד ימין האות עובר התמרת פורייה ובמרחב התדר. בהצגה של האות במרחב התדר כתלות בתדירות הזוויתית <math>\omega</math> להוסיף נרמול בגורם של <math>2\pi</math>.

:<math display="block">E=\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2~\mathrm dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |X(\omega)|^2~\mathrm d\omega</math>

== צורות כתיבה נוספות ==
# '''שוויון פרסבל המוכלל''': <math>\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx</math> כאשר ''a''<sub>''0,''</sub> ''a''<sub>''n''</sub> ו־''b''<sub>''n''</sub> הם מקדמי טור פורייה של הפונקציה <math>f</math>.
# עבור [[מערכת אורתונורמלית שלמה]] <math>\left\{u_i\right\}_{i\in n}</math> במרחב הילברט <math>H</math>, אם <math>x\isin H</math> איבר כלשהו, אז ניתן להציג את <math>x, y</math> כך: <math>x=\sum_{i\in n}\langle x,u_i\rangle u_i</math>. ומתקיימות שתי הזהויות הבאות:
# '''שוויון פרסבל עם [[מכפלה פנימית]]''': <math>\sum_{i\in n}\left|\langle x,u_i\rangle\right|^2=\|x\|^2</math>.
# '''שוויון פרסבל המוכלל עם מכפלה פנימית''': <math>\sum_{i\in n}\langle x,u_i\rangle\overline{\langle y,u_i\rangle}=\langle x,y\rangle</math>.

== ראו גם ==
* [[טור פורייה]]
* [[התמרת פורייה הרציפה]]
* [[מכפלה פנימית]]
* [[מערכת אורתונורמלית שלמה]]

==לקריאה נוספת==
* סמי זעפרני, אלן פנקוס, '''טורי פוריה והתמרות אינטגרליות''', 1997, הוצאת הטכניון.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אנליזה הרמונית]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]
[[קטגוריה:זהויות במתמטיקה]]