הצגת המקור של הדף "שונות"

ב[[תורת ההסתברות]] ו[[סטטיסטיקה]], '''שׁוֹנוּת''' (סימון: <math>\operatorname{Var}(X) </math> מהמילה ה[[אנגלית]] '''Variance''') היא מדד לפיזור ערכים באוכלוסייה נתונה ביחס ל[[תוחלת]] שלה. מושג זה הוצג לראשונה על ידי [[רונלד פישר]] בשנת [[1918]].

באופן אינטואיטיבי, השונות היא המרחק (הריבועי) הממוצע של כל ערך, מהממוצע של כל הערכים. כלומר, אם השונות שווה אפס, כל הערכים זהים. ככל שהערך השונות עולה, כך הערכים "מפוזרים" יותר. מכיוון שהשונות מודדת מרחק, ערכה תמיד יהיה אי-שלילי.

השונות מוגדרת עבור [[משתנה מקרי רציף|משתנה רציף]] ועבור [[משתנה מקרי בדיד|משתנה בדיד]], וניתן לחשב אותה באופן תאורטי מ[[פונקציית הסתברות|פונקציית ההסתברות]] או לחשב אותה ביחס ל[[אוכלוסייה]] או ל[[מדגם]] נתונים. יש [[התפלגות|התפלגויות]] (כגון [[התפלגות קושי]]) שהתוחלת שלהן אינה מוגדרת; וכאלה שהתוחלת שלהן מוגדרת, אבל השונות אינה מוגדרת.

היות שיחידות השונות הן ריבוע יחידות האוכלוסייה, דבר המקשה על השוואת גדלים, נעשה שימוש גם במושג [[סטיית תקן]], השווה לשורש השונות, ומציג את הפיזור הממוצע ביחידות המקוריות.

== הגדרה ==

עבור המשתנה המקרי <math>X</math> – [[משתנה מקרי בדיד|בדיד]] או [[משתנה מקרי רציף|רציף]] – אם נסמן (כרגיל) את התוחלת שלו ב-<math>\mu</math>, אז השונות שלו מוגדרת כ[[תוחלת]] של ריבוע המרחק מן המשתנה לתוחלת שלו:

<math display="block">\operatorname{Var}(X)\; \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\; \mathbb{E} [ ( X - \mathbb{E}[X] ) ^ 2]=\mathbb{E} [( X - \mu ) ^ 2]
 </math>

מפיתוח אלגברי קצר מתקבל:

<div align=center><math>
\begin{align}
\text{Var}(X) &= \mathbb{E}[( X - \mathbb{E}[X] ) ^ 2] \\
&= \mathbb{E}\left( X^2 -2X\mathbb{E}[X]+ \mathbb{E}[X]^2 \right) \\
&= \mathbb{E}[X^2]-2\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[X]+ \mathbb{E}[X]^2 \\
&= \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2
\end{align}</math>
</div>

כל זאת בתנאי שהאינטגרלים או הסכומים המעורבים בחישוב מתכנסים.

== חישוב שונות==
===משתנה מקרי בדיד===
בהינתן פונקציית הסתברות בדידה ''x''<sub>1</sub> ↦ ''p''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> ↦ ''p''<sub>''n''</sub>, ערך השונות נתון בנוסחה
<div align=center><math>\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2</math>.</div>

<!-- ====מדגם סופי==== (מופיע אחר כך, במקום הראוי לו)
בהינתן אוכלוסייה בגודל ''N'', נוכל לחשב את השונות על ידי לקיחת הסתברות אחידה:

:<math>\operatorname{Var}(X) = \frac 1N \sum_{i=1}^N \left(x_i - \mu \right)^2 = \left(\frac 1N \sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \mu^2</math>

כאשר
: <math> \mu = \frac 1N \sum_{i=1}^N x_i </math> הוא הממוצע (התוחלת של ההתפלגות האחידה שלקחנו).
 -->
===משתנה מקרי רציף===
בהינתן פונקציית הסתברות רציפה, חישוב השונות נתון על ידי
<div align=center><math>\operatorname{Var}(X) =\sigma^2 =\int (x-\mu)^2 f(x) \, dx =\int x^2 f(x) \, dx - \mu^2</math></div>
כאשר <math>\mu</math> הוא ערך התוחלת
:<math>\mu = \int x f(x) \, dx</math>
והאינטגרל מחושב על פני כל מקור פונקציית ההסתברות – במקרה של תומך חסום, על פני כל ערכי התומך.

==דוגמאות==
===התפלגות נורמלית===
ה[[התפלגות נורמלית]] עם הפרמטרים μ ו-σ היא התפלגות רציפה עבורה [[פונקציית צפיפות ההסתברות]] נתונה על ידי:
:<math>
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },
</math>
כאשר μ הוא התוחלת, ערך השונות נתון על ידי:
:<math>
\operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^\infty \frac{(x - \mu)^2}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx = \sigma^2.
</math>
חישוב [[אינטגרל]] זה על הפונקציה המכונה [[גאוסיין]] ניתן לביצוע באמצעות [[אינטגרלים כפולים]] ומעבר ל[[קואורדינטות קוטביות]].
להתפלגות הנורמלית תפקיד מכריע בעולם ההסתברות עקב [[משפט הגבול המרכזי]].

===התפלגות מעריכית===
[[התפלגות מעריכית]] עם הפרמטר λ ו-σ היא התפלגות רציפה עבורה תומך חצי אינסופי (הישר האי שלילי) [[פונקציית צפיפות ההסתברות]] נתונה על ידי:

:<math>f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\,</math>

ערך התוחלת שלה נתון על ידי μ = λ<sup>−1</sup>. ערך השונות נתון על ידי:

:<math> \operatorname{Var}(X) = \int_0^\infty (x - \lambda^{-1})^2 \, \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda^{-2}.\,</math>

לכן עבור משתנה מקרי המתפלג באופן מעריכי σ<sup>2</sup> = μ<sup>2</sup>.

===התפלגות פואסון===
[[התפלגות פואסון]] עם הפרמטר λ היא [[התפלגות בדידה]] עבור אינדקס k מספר טבעי א-שלילי, [[פונקציית הסתברות]] עבור k נתונה על ידי:
:<math>p(k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}</math>

ערך התוחלת הוא μ = λ. ערך השונות נתון על ידי:

:<math> \operatorname{Var}(X) = \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} (k-\lambda)^2 = \lambda</math>

לכן עבור משתנה מקרי המתפלג פואסון σ<sup>2</sup> = μ.

===ההתפלגות הבינומית===
ה[[התפלגות בינומית|התפלגות הבינומית]] עם הפרמטרים n ו-p היא התפלגות בדידה, המוגדרת לפי <math>P(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}</math>. ערך התוחלת הוא μ = ''np''. ערך השונות הוא <math> \operatorname{Var}(X) = np(1-p)</math>.

====הטלת מטבע====
התפלגות בינומית עם מקדם <math>p=0.5</math> מתארת את ההסתברות לקבלת <math>k</math> עץ מתוך <math>n</math> הטלות. לכן ערך התוחלת של כמות העצים שהתקבלו נתונה על ידי: <math alt="n/2">\frac{n}{2}</math>, וערך השונות על ידי: <math alt="n/4">\frac{n}{4}</math>.

===התפלגות אחידה===
====קובייה הוגנת====
ניתן למדל הטלת קובייה הוגנת בעלת 6 צדדים על ידי משתנה מקרי בדיד המקבל ערכים בין 1 ל-6, בהסתברות שווה והיא <math>\textstyle\frac{1}{6}</math>. ערך התוחלת הוא:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5. ולכן נחשב את השונות להיות
:<math>
\begin{align}
\sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6}(i - 3.5)^2 = \tfrac{1}{6}\sum_{i=1}^6 (i - 3.5)^2 & = \tfrac{1}{6}\left((-2.5)^2{+}(-1.5)^2{+}(-0.5)^2{+}0.5^2{+}1.5^2{+}2.5^2\right) \\
& = \tfrac{1}{6} \cdot 17.50 = \tfrac{35}{12} \approx 2.92
\end{align}
</math>

====המקרה הכללי====
משתנה מקרי ''X'' בעל התפלגות אחידה <math>\textstyle\frac{1}{n}</math> אשר מקבל את הערכים הטבעיים בין 1 ל-n. נחשב את השונות על ידי:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{Var}(X) &=\mathbb E(X^2)-(\mathbb E(X))^2 \\
&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^2 \\
&=\tfrac 16 (n+1)(2n+1) - \tfrac 14 (n+1)^2\\
&=\frac{ n^2-1 }{12}
\end{align}
</math>

== תכונות ==
* השונות תמיד אי שלילית <math>\operatorname{Var}(X) \ge 0</math>
* השונות של [[משתנה מקרי]] שווה לאפס [[אם ורק אם]] המשתנה המקרי מקבל ערך קבוע בהסתברות 1
* השונות של [[טרנספורמציה ליניארית]] על המשתנה המקרי <math>X</math> היא: <math>\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)</math> כאשר <math>\ a,\,b</math>הם [[קבוע מתמטי|קבועים]] [[מספר ממשי|ממשיים]].
* השונות (Variance) שווה ל[[שונות משותפת|שונות המשותפת]] (Covariance) של המשתנה עם עצמו: <math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Cov}(X, X)</math>, כאשר <math>\operatorname{Cov}(Y, Z))</math> מסמן את ה[[שונות משותפת|שונות המשותפת]] של המשתנים <math>Y,Z</math>.
* השונות של סכום משתנים מקריים <math>X,Y</math> היא: <math>\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+2\operatorname{cov}(X,Y)+\operatorname{Var}(Y)</math>.
**ניתן להרחיב את התכונה לחישוב שונות סכום משתנים מקריים כך:
*:<math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{1\le i}\sum_{<j\le n}\operatorname{Cov}(X_i,X_j)</math>
*: בנוסף, השונות המשותפת של כל זוג משתנים מתאפסת אם הם [[אי-תלות (הסתברות)|בלתי תלויים]] – כך שאם כל המשתנים המקריים בלתי תלויים זה בזה, אז השונות של סכום המשתנים המקריים תהיה שווה לסכום השונויות של כל אחד מהם.
* [[משפט השונות השלמה]]: אם <math>X,Y</math> משתנים מקריים, והשונות של <math>Y</math> סופית, אפשר לפרק את השונות של <math>X</math> באופן הבא:
*: <math>\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}(\operatorname{Var}(X|Y))+\operatorname{Var}(\mathbb{E}(X|Y))</math>.

== שונות האוכלוסייה ושונות המדגם ==
=== שונות האוכלוסייה ===
עבור [[אוכלוסייה]] סופית (שהתפלגותה אינה ידועה) ניתן לחשב את השונות בעזרת הנוסחה:
:<math>\sigma^2 = \frac {\sum_{i=1}^N \left(x_i - \overline{x} \right)^2} {N}</math>

<math>\overline{x}</math> - ממוצע האוכלוסייה.{{ש}}
<math>\ N</math> - מספר האיברים באוכלוסייה.

נוסחה שימושית לחישוב שונות האוכלוסייה:
:<math>\sigma^2 = \frac {\sum_{i=1}^{N} x_i^2}{N} - \left(\frac {\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}\right)^2 = \frac {\sum_{i=1}^{N} x_i^2 - N*\overline{x}^2}{N}\!</math>

=== שונות המדגם ===
בהינתן [[מדגם מקרי פשוט]] <math>(y_1,\dots,y_N)</math> אם נסתכל על המדגם עצמו כעל אוכלוסייה בפני עצמה, אז שונות המדגם נתונה על ידי הנוסחה: <math>s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left(y_i - \overline{y_N} \right)^ 2</math> .

שונות המדגם היא [[אומד מומנטים]] עבור שונות האוכלוסייה. בהתפלגות הנורמלית שונות המדגם היא גם [[אומד נראות מרבית]] עבור שונות האוכלוסייה.

=== אומד חסר הטיה לשונות האוכלוסייה ===
כאשר נתון [[מדגם מקרי פשוט]] <math>(y_1,\dots,y_N)</math> ניתן [[אמידה|לאמוד]] את שונות האוכלוסייה על ידי הנוסחה: <math>s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2</math> ; בתנאים רגילים, זהו [[אומד חסר הטיה|אומד בלתי מוטה]]. אם הנתונים מעוגלים בזמן המדידה, יש להפעיל את [[תיקון שפרד]]. עקב היותו אומד חסר הטיה, אומד זה הוא המקובל בשימוש בתחום הסטטיסטיקה.

{{ניווט|רוחב=820px|יישור=|הסתרה=כן|מוסתר=כן|כותרת=הוכחה לכך שהאומד <math>\ s^2</math> חסר הטיה|תוכן=
לפי ההגדרה, אמד <math>\hat{\theta}</math> לפרמטר <math>\ \theta</math> הוא בלתי מוטה אם מתקיים: <math>\operatorname{E}\{ \hat{\theta}\} = \theta</math>.
לפיכך צריך להראות ש- <math>\operatorname{E}\{ s^2\} = \sigma^2</math>.{{ש}}
בהנחה שהמדגם לקוח מאוכלוסייה בעלת הפרמטרים, ממוצע - <math>\ \mu</math> ושונות - <math>\ \sigma^2</math>; אזי:

<div style="text-align: left;">

:<math> \operatorname{E} \{ s^2 \}
= \operatorname{E} \left\{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\}
</math>
{{ש}}

::<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \operatorname{E} \left\{ \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\}
</math>
{{ש}}

::<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \operatorname{E} \left\{ \left( (x_i - \mu) - (\overline{x} - \mu) \right) ^ 2 \right\}
</math>
{{ש}}

::<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu)^2 \right\}
- 2 \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (\overline{x} - \mu) \right\}
+ \operatorname{E} \left\{ (\overline{x} - \mu) ^ 2 \right\} \right\}
</math>
{{ש}}

::<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \sigma^2
- 2 \left( \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (x_j - \mu) \right\} \right)
+ \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_j - \mu) (x_k - \mu) \right\} \right\}
</math>
{{ש}}

::<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \sigma^2
- \frac{2 \sigma^2}{n}
+ \frac{\sigma^2}{n} \right\}
</math>
{{ש}}

::<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \frac{(n-1)\sigma^2}{n}
</math>
{{ש}}

::<math>
= \frac{(n-1)\sigma^2}{n-1} = \sigma^2
</math>

</div>
'''מ.ש.ל.'''
}}

נוסחה שימושית אחרת לחישוב האומד לשונות: <math>s^2 = \frac {\sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2/N}{N-1} \!</math>.

== ראו גם ==
* [[שונות משותפת]]
* [[סטיית תקן]]
* [[משתנה מקרי]]
* [[תוחלת]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
*{{יוטיוב|BtqJs8-Xnvs|שם=חישוב תוחלת ושונות במחשבון}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מדדי פיזור]]
[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]
[[קטגוריה:מומנטים (תורת ההתפלגויות)]]