הצגת המקור של הדף "שונות משותפת"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[תורת ההסתברות]] וב[[סטטיסטיקה]], ה'''שונות המשותפת''' (ב[[אנגלית]]: '''Covariance''') היא מדד לקשר בין שני [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]]. השונות המשותפת חיובית כאשר המשתנים נוטים לסטות מהממוצע באותו כיוון (שניהם מעליו או ששניהם מתחתיו כאשר מתרחש [[מאורע]] כלשהו), ושלילית כאשר שני המשתנים סוטים בכיוונים מנוגדים זה לזה כשמאורע כלשהו קורה.

אם מנרמלים את השונות המשותפת באמצעות חלוקתה במכפלת [[סטיית תקן|סטיות התקן]] של המשתנים המעורבים, מתקבל מדד הנקרא "[[מקדם המתאם]]", שערכו בין 1 ל-1-. אם המקדם קרוב לערכים הקיצוניים, זהו אות לכך שהמשתנים קשורים זה בזה (קשר שעשוי להיות סיבתי, אך אינו בהכרח כזה). אפשר לראות במושג זה הכללה של ה[[שונות]], משום שהשונות המשותפת של משתנה מקרי עם עצמו, שווה לשונות שלו. השונות המשותפת של משתנים [[תלות (הסתברות)|בלתי תלויים]] שווה לאפס, אך אם השונות המשותפת שווה לאפס, המשתנים אינם בהכרח בלתי תלויים, אלא רק [[מתאם פירסון|בלתי מתואמים]].

== הגדרה ==

נסמן את ה[[תוחלת|תוחלות]] של [[משתנה מקרי|המשתנים המקריים]] <math>X</math> ו-<math>Y </math> על ידי <math>E[X] </math> ו-<math>E[Y] </math>. השונות המשותפת של השניים מוגדרת להיות:
{{יישור טקסט|מרכז|
<math>\begin{align}
\operatorname{cov}(X, Y)
&= \operatorname{E}\left[\left(X - \operatorname{E}\left[X\right]\right) \left(Y - \operatorname{E}\left[Y\right]\right)\right] \\
&= \operatorname{E}\left[X Y - X \operatorname{E}\left[Y\right] - \operatorname{E}\left[X\right] Y + \operatorname{E}\left[X\right] \operatorname{E}\left[Y\right]\right] \\
&= \operatorname{E}\left[X Y\right] - \operatorname{E}\left[X\right] \operatorname{E}\left[Y\right] - \operatorname{E}\left[X\right] \operatorname{E}\left[Y\right] + \operatorname{E}\left[X\right] \operatorname{E}\left[Y\right] \\
&= \operatorname{E}\left[X Y\right] - \operatorname{E}\left[X\right] \operatorname{E}\left[Y\right]
\end{align}</math>
}}
או בקצרה:
{{משוואה
|הזחה = auto
|משוואה = <math>\operatorname{cov}(X, Y)= \operatorname{E}\left[X Y\right] - \operatorname{E}\left[X\right]E[Y]</math>
|ריווח תא = 6
|צבע מסגרת = #0073CF
|צבע רקע = #F5FFFA}}

=== מִתאם ===
מ[[אי-שוויון קושי-שוורץ]] נובע שתמיד <math>|\operatorname{cov}(X,Y)|^2\leq V(X)V(Y) </math>, כאשר <math>V(X)</math> היא ה[[שונות]] של המשתנה המקרי <math>X</math> (וכן ל-<math>Y</math>). בפרט, השונות המשותפת קיימת (וסופית) כל אימת שלמשתנים <math>X</math> ו-<math>Y </math> יש שונות סופית. מאותה סיבה, ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של [[מתאם פירסון#אנלוגיה מתמטית הסתברותית|מקדם המתאם]] <math>\ \rho(X,Y)=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}</math> אינו עולה על 1.

== תכונות ==

השונות המשותפת היא [[תבנית ביליניארית]], כלומר, <math>\operatorname{cov}(aX+bY,Z) = a\cdot \operatorname{cov}(X,Z)+b\cdot \operatorname{cov}(Y,Z)</math>, וכן ברכיב הימני. זוהי תבנית סימטרית, שהיא [[תבנית חיובית לחלוטין|חיובית לחלוטין]] על מרחב המשתנים המקריים (כאשר מזהים משתנים שההפרש ביניהם קבוע [[כמעט תמיד|בהסתברות 1]]), מכיוון שלמשתנה שאינו קבוע בהסתברות 1, יש שונות חיובית. מכאן שהשונות המשותפת מגדירה [[מכפלה פנימית]] על מרחב המשתנים המקריים עד-כדי הזיהוי הנזכר לעיל.
* '''כיוון''' – השונות המשותפת יכולה להיות חיובית או שלילית, בהתאם לקשר בין שני המשתנים וכך להצביע אם קיים קשר חיובי או שלילי ביניהם.
* '''גודל''' – שיתוף פעולה הוא מדד לחוזק הקשר בין שני משתנים. גודל גדול יותר מצביע על קשר חזק יותר, בעוד שגודל קטן מצביע על קשר חלש יותר.
* '''יחידות''' – השונות מתבטאת בדרך כלל במונחים של היחידות של שני המשתנים הנמדדים. לדוגמה, אם משתנה אחד נמדד בדולרים והשני נמדד בפאונד, השונות תבוא לידי ביטוי בדולרים לפאונד.
* '''נורמליזציה''' – ניתן לנרמל את השונות על ידי חלוקתה [[סטיית תקן|בסטיית התקן]] של שני המשתנים, וכתוצאה מכך לקבל את [[מתאם פירסון|מקדם המתאם.]] זה מאפשר השוואה קלה יותר של עוצמת הקשר בין זוגות משתנים שונים.
* '''אי תלות''' – אם שני [[משתנים בלתי תלויים]], ה[[שונות]] המשותפת שלהם תהיה אפס, מה שמצביע על כך שאין קשר ביניהם. למשתנים ששונותם המשותפת אפס, קוראים '''משתנים בלתי מתואמים'''. כל שני משתנים בלתי תלויים הם בלתי מתואמים, אבל לא בהכרח להפך.
* '''התפלגות דו-משתנית''' – השונות המשותפת היא מדד לקשר בין שני משתנים, וככזו היא תכונה של [[התפלגות]] דו-משתנית. זה לא מוגדר עבור התפלגויות חד-משתניות.
* '''מגבלות''' – השונות המשותפת רגישה לקנה המידה של המשתנים הנמדדים, ואינה מביאה בחשבון קשרים שאינם [[יחס_ישר|קשרים ליניאריים]]. היא גם אינה מספקת מידע על כיוון הקשר (האם משתנה אחד גורם לשינוי השני, או להפך).

== מטריצת השונויות ==
אם X הוא וקטור של משתנים מקריים, מסמנים ב-<math>\operatorname{cov}(X)</math> את [[מטריצת השונויות המשותפות]], שהרכיב ה-<math>(i,j)</math> שלה הוא השונות המשותפת <math>\operatorname{cov}(X_i,X_j)</math>. [[העתקה ליניארית]] של המשתנים מביאה ל[[חפיפת מטריצות|חפיפה]] של מטריצת השונויות: אם <math>A</math> [[מטריצה]] קבועה, אז <math>\operatorname{cov}(AX) = A\operatorname{cov}(X)A^T</math>.

== ראו גם ==
* [[סטטיסטיקה תיאורית#מדדי פיזור|מדדי פיזור]]
* [[שונות]]
* [[משתנה מקרי]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:מומנטים (תורת ההתפלגויות)]]
[[קטגוריה:מדדי קשר]]