הצגת המקור של הדף "שונות משותפת עצמית"

ב[[תורת ההסתברות]] וב[[סטטיסטיקה]], בהינתן [[תהליך סטוכסטי]], '''שונות משותפת עצמית''' ({{שם בשפת המקור|שפה=אנגלית|שם=Autocovariance}}) היא פונקציה שנותנת את [[שונות משותפת|השונות המשותפת]] של התהליך עם עצמו בשתי נקודות זמן. שונות משותפת עצמית קשורה קשר הדוק ל[[מתאם עצמי|מתאם העצמי]] {{אנג|autocorrelation}} של התהליך המדובר.

== שונות משותפת עצמית של תהליכים סטוכסטיים ==
=== הגדרה ===
אם ל[[תהליך סטוכסטי|תהליך הסטוכסטי]] <math>\left\{X_t\right\}</math> קיימת פונקציית תוחלת <math>\mu_t = \operatorname{E}[X_t]</math> (כאשר <math>\operatorname{E}</math> הוא הסימון הרגיל עבור אופרטור ה[[תוחלת]]), אז השונות המשותפת העצמית ניתנת על ידי{{הערה|שם=HweiHsu|{{Cite book|last=Hsu|first=Hwei|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00hsuh|title=Probability, random variables, and random processes|publisher=McGraw-Hill|year=1997|isbn=978-0-07-030644-8|url-access=registration}}}}:

{{משוואה
|הזחה = :
|כותרת =
|משוואה = <math>\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2) = \operatorname{cov}\left[X_{t_1}, X_{t_2}\right] = \operatorname{E}[(X_{t_1} - \mu_{t_1})(X_{t_2} - \mu_{t_2})] = \operatorname{E}[X_{t_1} X_{t_2}] - \mu_{t_1} \mu_{t_2}</math>
|ריווח תא = 6
|מסגרת
|צבע מסגרת = #0073CF
|צבע רקע = #F5FFFA}}
כאשר <math>t_1</math> ו־<math>t_2</math> הן שתי נקודות זמן. לעיתים שונות משותפת עצמית מסומנת ב־<math>C_{XX}(t_1,t_2)</math>.

=== הגדרה עבור תהליך סטציונרי במובן הרחב ===
אִם <math>\left\{X_t\right\}</math> הוא [[תהליך סטציונרי#סטציונריות במובן הרחב|תהליך סטציונרי במובן הרחב]] (WSS), אז מתקיים:{{הערה|שם=HweiHsu}}

: <math>\mu_{t_1} = \mu_{t_2} \triangleq \mu</math> עבור כל <math>t_1,t_2</math> כלשהם.

וכן:

: <math>\operatorname{E}[|X_t|^2] < \infty</math> עבור כל <math>t</math> כלשהו.

וכן:

: <math>\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2) = \operatorname{K}_{XX}(t_2 - t_1,0) \triangleq \operatorname{K}_{XX}(t_2 - t_1) = \operatorname{K}_{XX}(\tau)</math>

כאשר <math>\tau = t_2 - t_1</math> הוא זמן ההשהיה, או משך הזמן שבו הוסט האות.

פונקציית השונות המשותפת העצמית של תהליך WSS ניתנת אפוא על ידי:{{הערה|{{Cite book|last=Lapidoth|first=Amos|title=A Foundation in Digital Communication|publisher=Cambridge University Press|year=2009|isbn=978-0-521-19395-5}}}}

{{משוואה
|הזחה = :
|כותרת =
|משוואה = <math>\operatorname{K}_{XX}(\tau) = \operatorname{E}[(X_t - \mu)(X_{t- \tau} - \mu)] = \operatorname{E}[X_{t+\tau} X_t] - \mu^2</math>
|ריווח תא = 6
|מסגרת
|צבע מסגרת = #0073CF
|צבע רקע = #F5FFFA}}

=== נִרמול ===
בכמה תחומים (למשל בסטטיסטיקה ובניתוח [[סדרה עתית|סדרות עיתיות]]) מקובל לנרמל את פונקציית השונות המשותפת העצמית כדי לקבל [[מתאם פירסון|מקדם מתאם פירסון]] תלוי בזמן. עם זאת בתחומים אחרים (בהנדסה למשל) הנרמול מושמט לעיתים קרובות, והמונחים "שונות משותפת עצמית" ו"מתאם עצמי" משמשים לסירוגין.

מתאם עצמי מנורמל של תהליך סטוכסטי מוגדר כך:

: <math>\rho_{XX}(t_1,t_2) = \frac{\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2)}{\sigma_{t_1}\sigma_{t_2}} = \frac{\operatorname{E}[(X_{t_1} - \mu_{t_1})(X_{t_2} - \mu_{t_2})]}{\sigma_{t_1}\sigma_{t_2}}</math>.

אם הפונקציה <math>\rho_{XX}</math> מוגדרת היטב, הערך שלה חייב להיות בטווח <math>[-1,1]</math>, כאשר 1 מציין מתאם מושלם ו-1 מציין אנטי-מתאם מושלם.

עבור תהליך WSS, ההגדרה היא:

: <math>\rho_{XX}(\tau) = \frac{\operatorname{K}_{XX}(\tau)}{\sigma^2} = \frac{\operatorname{E}[(X_t - \mu)(X_{t+\tau} - \mu)]}{\sigma^2}</math>.

כאשר:

: <math>\operatorname{K}_{XX}(0) = \sigma^2</math>.

=== תכונות ===
; סימטריה
: <math>\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2) = \overline{\operatorname{K}_{XX}(t_2,t_1)}</math>

ובהתאמה עבור תהליך WSS:

: <math>\operatorname{K}_{XX}(\tau) = \overline{\operatorname{K}_{XX}(-\tau)}</math>

; סינון ליניארי
השונות המשותפת העצמית של תהליך מסונן ליניארי <math>\left\{Y_t\right\}</math>

: <math>Y_t = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k X_{t+k}</math>

היא:

: <math>K_{YY}(\tau) = \sum_{k,l=-\infty}^\infty a_k a_l K_{XX}(\tau+k-l)</math>

== ראו גם==
* [[מודל אוטו-רגרסיבי|תהליך אוטו־רגרסיבי]]
* [[מתאם]]
* [[שונות משותפת צולבת]] {{אנג|Cross-covariance}}
* [[מתאם צולב]] {{אנג|Cross-correlation}}
* [[מסנן קלמן|שיערוך שונות משותפת לרעש]] (כדוגמה ליישום)

== לקריאה נוספת ==
* {{Cite book|last=Hoel|first=P. G.|title=Mathematical Statistics|publisher=Wiley|year=1984|isbn=978-0-471-89045-4|edition=Fifth|location=New York}}
* [https://web.archive.org/web/20060428122150/http://w3eos.whoi.edu/12.747/notes/lect06/l06s02.html Lecture notes on autocovariance from WHOI]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:מומנטים (תורת ההתפלגויות)]]
[[קטגוריה:מדדי קשר]]