הצגת המקור של הדף "שורש (של פונקציה)"

{{סימון מתמטי}}
'''שורש של פונקציה''' הוא איבר ב[[תחום של פונקציה|תחום ההגדרה של הפונקציה]] שעבורו ערך ה[[פונקציה]] הוא 0. שורשים של פונקציה נקראים גם '''אפסים של הפונקציה''' או '''פתרונות של הפונקציה'''.

למשל עבור הפונקציה <math>f\left(x\right)=\sin(x)</math> הצבת <math>x = \pi</math> תחזיר <math>f(x)=0</math>, ולכן <math>x = \pi</math> הוא שורש של הפונקציה. דוגמה נוספת: תהא ''A'' [[מטריצה]] ממשית בעלת ''m'' שורות ו ''n'' עמודות (כאשר ''m'', ''n הם שני מספרים טבעיים)'', ויהא ''b'' וקטור ב<math>\mathbb{R}^m</math>. הווקטור <math>z\in \mathbb{R}^n</math> הוא פתרון ל[[מערכת משוואות ליניאריות|מערכת המשוואות הליניאריות]] <math>Ax=b</math> אם ורק אם <math>z</math> הוא שורש של הפונקציה <math>f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math>המוגדרת באופן הבא: <math>f(x):=Ax-b</math> לכל <math>x</math> ב <math> \mathbb{R}^n</math> (כי אם <math>z</math> פותר את מערכת המשוואות אז <math>Az=b</math> ולכן <math>f(z)=Az-b=0</math>, ולהפך, אם <math>f(z)=0</math>, אז <math>Az-b=0</math>כלומר <math>Az=b</math> ולכן <math>z</math> הוא פתרון של [[מערכת משוואות ליניאריות|מערכת המשוואות]] <math>Ax=b</math>).   

כפועל יוצא מההגדרה, שורש של פונקציה מהישר הממשי לעצמו הוא ה-<math>x</math> שעבורו נחתך [[גרף של פונקציה|גרף]] הפונקציה עם ציר ה-x. כך למשל נקודות החיתוך של הפונקציה <math display="inline">f\left(x\right)=x^2-4</math> עם ציר ה-x הן כששיעורי ה-<math>x</math> הם 2 ו-2-.

בעיית מציאת השורשים של פונקציות באופן [[אנליזה נומרית|נומרי]] היא כר פורה למחקר מתמטי. שיטות בסיסיות בענף כוללות את [[שיטת החצייה]] ו[[שיטת ניוטון-רפסון]], שהיא שיטה [[איטרציה|איטרטיבית]] למציאת שורשים בעזרת [[נגזרת|נגזרות]].

לא לכל פונקציה יש שורש. לדוגמה, לפונקציה <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע״י <math>f(x):=\sin(x)-2</math> אין שורש, כי אם בשלילה <math>z</math> הוא שורש של הפונקציה, אז <math>\sin(z)=2</math> וזה בלתי אפשרי (כי פונקציית הסינוס חסומה בין 1- ל 1).

== שורש של פולינום ==

עבור [[משוואה ליניארית|משוואה ממעלה ראשונה]], <math>ax+b = 0</math>, <math>a\neq 0</math>, הפתרון הוא  הנקודה <math>x=-b/a</math>.

עבור [[משוואה ממעלה שנייה]], <math>ax^2+bx+c = 0</math>,  <math>a\neq 0</math>, יש שני פתרונות (שלפעמים מתלכדים):  <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.

קיימות נוסחאות גם למשוואות מ[[משוואה ממעלה שלישית|מעלה שלישית]] ו[[משוואה ממעלה רביעית|רביעית]]. אולם, [[אווריסט גלואה]] הוכיח כי אין [[פתרון באמצעות רדיקלים]] ל[[משוואה ממעלה חמישית]] ומעלה.

[[המשפט הקטן של בזו]] קובע כי <math>a</math> הוא שורש של [[פולינום]] <math>P(x)</math>, [[אם ורק אם]] הפולינום &lrm;<math>(x-a)</math> מחלק את <math>P(x)</math>. החזקה המקסימלית שבה מחלק <math>x-a</math> את הפולינום נקראת ה'''ריבוי''' (האלגברי) של השורש.

[[המשפט היסודי של האלגברה]] קובע ש[[שדה המספרים המרוכבים]] הוא [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]], כלומר שלכל [[פולינום]] ממעלה <math>n</math> במקדמים מרוכבים, יש בדיוק <math>n</math> שורשים כולל ריבוי.

כל שורש [[מספר שלם|שלם]] של [[פולינום]] שהמקדמים שלו [[מספר שלם|שלמים]] מחלק את המקדם החופשי של הפולינום.

כל שורש [[מספר רציונלי|רציונלי]] של [[פולינום]] שהמקדמים שלו [[מספר שלם|שלמים]], <math>  \frac{a}{c}</math>, שבר מצומצם, מקיים:

1.a מחלק את המקדם החופשי.

2.c מחלק את המקדם המוביל.

מ[[נגזרת]] של כפל של איברים נובע שאם  <math>(x-a)^t\times q(x)</math>= p(x),  אז a הוא שורש גם של t-1 ה[[נגזרת|נגזרות]] הראשונות של p.

==ראו גם==
* [[שיטת אברת']]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{קצרמר|מתמטיקה}}

[[קטגוריה:שיטות למציאת שורשים של פונקציות|*]]
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]
[[קטגוריה:אפס]]