הצגת המקור של הדף "שורש יחידה"

ב[[מתמטיקה]], '''שורש יחידה''' הוא איבר של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] שיש לו [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] השווה ל[[איבר יחידה|איבר היחידה]]. לשורשי יחידה יש תפקיד חשוב ב[[שדה (מבנה אלגברי)|תורת השדות]]. תכונות רבות של שדות, יחד עם המבנים הנסמכים עליהם ([[הצגה ליניארית|הצגות של חבורות]], [[אלגברה פשוטה|אלגברות פשוטות]], ועוד), נכונות רק כאשר מניחים את קיומם של שורשי יחידה בשדה הבסיס.

האיבר <math>\rho</math> הוא '''שורש יחידה מסדר''' <math>n</math>, אם <math>\ \rho^n=1</math>; זהו '''שורש יחידה פרימיטיבי''' מסדר <math>n</math> אם <math>n</math> הוא המספר הקטן ביותר שיש לו תכונה זו. מספר שורשי היחידה מסדר <math>n</math>, בכל שדה, הוא לכל היותר <math>n</math>. אם יש בשדה <math>n</math> שורשי יחידה מסדר <math>n</math>, אז מספר השורשים הפרימיטיביים הוא <math>\varphi(n)</math>, כאשר <math>\varphi</math> היא [[פונקציית אוילר]].

== שורשי היחידה ב[[שדה המספרים המרוכבים]]==
[[קובץ:3rd roots of unity on the complex plane.svg|ממוזער|250x250 פיקסלים|שורשי היחידה מסדר 3]]
בין ה[[מספר מרוכב|מספרים המרוכבים]] יש בדיוק n שורשי-יחידה שונים מסדר n: המספרים <math>\ e^{2 \pi i k/n} = \cos(2\pi k/n) + i \sin(2\pi k/n)</math>. הם נמצאים על [[מעגל היחידה]], והנקודות המתאימות להם ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]] מתארות [[מצולע משוכלל]] בעל n צלעות. לדוגמה, שורשי היחידה מסדר 3 הם <math>\ 1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2}</math>, ושורשי היחידה מסדר 4 הם <math>\ 1, +i, -1, -i</math>.

=== אנליזת פורייה בדידה ===

אם <math>z</math> הוא שורש פרימיטיבי מסדר <math>n</math> אז סדרת החזקות <math>\ \dots,z^{-1},1,z,z^2,\dots</math> היא מחזורית, עם מחזור באורך n. כל סדרה <math>\ \dots,x_{-1},x_0,x_1,\dots</math> של מספרים מרוכבים אפשר להציג באופן יחיד כצירוף <math>\ x_j = a_0 + a_1 z^j + a_2 z^{2j} + \cdots + a_{n-1} z^{(n-1)j}</math>; אם j הוא משתנה הזמן, אז <math>a_k</math> היא [[משרעת]] מרוכבת של ה[[תדירות]] k. צורה זו של [[אנליזת פורייה]] מקודדת את [[התמרת פורייה#התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד|התמרת פורייה הבדידה]], ונובעת מכך ש"המטריצה הציקלוטומית" <math>\ (z^{ij})_{i,j}</math>, שהיא [[טבלת קרקטרים|טבלת הקרקטרים]] של [[חבורה ציקלית|החבורה הציקלית]] ש-<math>z</math> [[יוצרים של חבורה|יוצר]], היא [[מטריצה הפיכה|הפיכה]].

=== אורתוגונליות ===
מנוסחת הסכום עולה מערכת יחסים [[אורתוגונליות|אורתוגונליים]]: עבור <math>j,j' \in \{1,2,\dots\}</math> מתקיים:

<math>\sum_{k=1}^{n} \overline{z^{j\cdot k}} \cdot z^{j'\cdot k} = n \cdot\delta_{j,j'}</math>

כאשר <math>\delta</math> היא [[הדלתא של קרונקר]] ו-<math>z</math> הוא כל שורש פרימיטיבי מסדר <math>n</math> של היחידה.
ה[[מטריצה]] <math>U</math> מסדר <math>n \times n</math> שהמקום ה-<math>(i,j)</math> שלו הוא: <math>U_{j,k}=n^{-\frac{1}{2}}\cdot z^{j\cdot k}</math> מגדירה התמרת פורייה בדידה. חישוב ההתמרה ההופכית באמצעות שיטת [[האלימינציה של גאוס]] דורש שימוש ב-<math>\ O(n^3)</math> פעולות. ככל הנראה, נובע מהאורתוגונליות ש-U היא [[מטריצה אוניטרית]]. היא בעצם:
<math>\sum_{k=1}^{n} \overline{U_{j,k}} \cdot U_{k,j'} = \delta_{j,j'} ,</math> ולכן ההופכי של <math>U</math> הוא פשוט הצמוד המרוכב. (הראשון ששם לב לעובדה זו הוא [[קרל פרידריך גאוס]] כאשר הוא פתר את הבעיה של [[אינטרפולציה טריגונומטרית]]). היישום המתקדם יותר של <math>U</math> או ההופכי שלו ל[[וקטור (אלגברה)|ווקטור]] נתון דורש שימוש ב-<math>\ O(n^2)</math> פעולות. [[התמרת פורייה מהירה]] מקטינה את מספר הפעולות ל-<math>\ O(n\log{n})</math>.

לפי משפט של צ'בוטרב, כל תת-מטריצה של [[מטריצת ונדרמונט]] <math>\ A = (\rho^{ij})</math> היא הפיכה.

== בשדה כללי ==

כאמור לעיל, בכל שדה <math>F</math> ישנם לכל היותר n שורשי יחידה, וזאת מכיוון שהם מהווים [[שורש של פולינום|שורשים]] של ה[[פולינום]] <math>\ p(x)=x^n-1</math>.

בשדה מ[[מאפיין של שדה|מאפיין אפס]] (ובאופן כללי יותר, כאשר המאפיין זר ל-<math>n</math>) אפשר [[הרחבת שדות|לספח]] לשדה שורשי יחידה, וזוהי [[הרחבה ספרבילית]]. אם השדה ממאפיין <math>p</math> ו- <math>\ n = p^t m</math> כאשר <math>m</math> זר ל- <math>p</math>, אז יש ב[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] שלו בדיוק m שורשי יחידה מסדר <math>m</math>.

שורשי היחידה מסדר <math>n</math> מרכיבים [[חבורה ציקלית]], ש[[סדר של חבורה|סדרה]] שווה למספר השורשים בשדה.

== מעל הרציונליים ==

ב[[שדה המספרים הרציונליים|שדה הרציונליים]] עצמו יש רק שני שורשי יחידה (מכל הסדרים): 1 ו- 1-. קל להוכיח שלכל שורשי היחידה הפרימיטיביים מאותו סדר יש אותו [[פולינום מינימלי]], ופולינום זה נקרא '''[[פולינום ציקלוטומי|הפולינום הציקלוטומי]]''' מסדר זה. מתברר שלפולינום זה, המוגדר מעל המספרים הרציונליים, יש מקדמים שלמים (הסיבה העקרונית היא ששורשי היחידה הם [[שלם אלגברי|שלמים אלגבריים]]).

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:1 (מספר)]]
[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:תורת המספרים]]