הצגת המקור של הדף "שטח פנים"

[[קובץ:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|left|ממוזער|שטח הפנים של כדור ברדיוס {{mvar|r}} הוא {{math|4''&pi;r''<sup>2</sup>}}.]]
ב[[גאומטריה אוקלידית]], '''שטח הפּנים''' של גוף כלשהו ב[[מרחב אוקלידי]] [[מרחב תלת־ממדי|תלת־ממדי]] הוא [[שטח]] ה[[שפה (טופולוגיה)|שפה]] של אותו גוף.

שטח הפנים של [[פאון]] הוא סכום שטחי כל [[פאה (גאומטריה)|פאות]] הפאון. אבל ההגדרה המתמטית של שטח פנים בנוכחות משטחים עקמומיים הרבה יותר מורכבת, וכרוכה לעיתים בשיטות של ייצוגים פרמטריים, [[חשבון אינפיניטסימלי]] ו[[אינטגרציה (מתמטיקה)|אינטגרציה]].

שטח פנים נמדד ביחידות מידה של שטח. לדוגמה, סמ"ר ([[סנטימטר רבוע]]) או מ"ר ([[מטר רבוע]]).

== הגדרה ==
חישוב שטח הפנים של צורות גאומטריות בסיסיות מוכר מימי קדם. אך הגדרה מתמטית מדויקת של שטח פנים דורשת בניית פונקציה מתמטית
:<math> S \mapsto A(S) </math>
אשר מייחסת מספר ממשי חיובי למשטחים ומקיימת מספר דרישות. הדרישה הבסיסית ביותר של שטח הפנים היא אדיטיביות: השטח הכולל הוא סכום השטחים של חלקיו. כלומר, אם משטח S הוא איחוד של מספר סופי של חלקים  S1, …, Sr שאינם חופפים אלא בשפות שלהם, אז 
: <math> A(S) = A(S_1) + \cdots + A(S_r) </math> .
שטח הפנים של מצולע שטוח צריך להתאים לשטח המוגדר מבחינה גאומטרית, ומשטחים [[חפיפה|חופפים]] חייבים להיות בעלי שטח פנים זהים. תכונה זו מאפיינת באופן ייחודי שטח פנים עבור משטחים חלקים למקוטעין, המורכבים מאיחוד סופי של משטחים פרמטרים. משטחים כאלה ניתנים לייצוג על ידי מספר סופי של חלקים  שניתן לייצג בהצגה פרמטרית
: <math> S_D: \vec{r}=\vec{r}(u,v), \quad (u,v)\in D </math>

עם פונקציה רציפה וגזירה <math>\vec{r}</math>. שטחו של כל אחד מהחלקים מוגדר כאינטגרל כפול
: <math> A(S_D) = \iint_D\left |\vec{r}_u\times\vec{r}_v\right | \, du \, dv </math> .

השטח <math> S_D </math> מתקבל על ידי אינטגרציה של אורך הווקטור הנורמלי למשטח, <math>\vec{r}_u\times\vec{r}_v</math>, על פני התחום המתאים <math> D </math> במישור הפרמטרי ''uv''. קיימות מחלקות של משטחים שעבורם הנוסחה הכללית לעיל הופכת פשוטה יותר, כמו למשל גופים בעלי סימטריה סיבובית סביב ציר כלשהו במרחב האוקלידי. למשל סביב ציר z, כלומר שניתן להביע אותם בצורה <math>z = f(x^2 + y^2)</math>. פני השטח של [[כדור (גאומטריה)|כדור]], [[גליל (גאומטריה)|גליל]] ו[[ספרואיד]] הם שלוש דוגמאות למשטחים מסוג זה.
==נוסחאות למציאת שטחי פנים של גופים פשוטים==
{| class="wikitable"
|+
!צורה
!נוסחת שטח הפנים
!משתנים
|-
|[[קובייה]]
|<math>\ 6a^2</math>
| <math>\ a</math> = [[מקצוע (גאומטריה)|מקצוע]] הקוביה
|-
| [[כדור (גאומטריה)|כדור]]
|<math>\ 4\pi r^2</math>
| <math>\ r</math> = [[רדיוס]] הכדור
|-
|[[כיפה (גאומטריה)|כיפה]]
|<math>2 \pi r h</math>
|<math>\ r</math> = רדיוס הכדור, <math>\ h</math> = גובה הכיפה
|-
| [[גליל (גאומטריה)|גליל]] סגור
|<math>\ 2\pi r(h+r)</math>
|<math>\ r</math> = רדיוס הבסיס, <math>\ h</math> גובה הגליל
|-
|[[חרוט]] שטח כולל 
|<math> \pi(r^2+  \sqrt{r^2 + h^2}) </math>
|<math> r</math> = רדיוס הבסיס, <math>\ h</math> = גובה החרוט
|-
|[[טורוס]]
|<math>4\pi^2Rr</math>
|<math> R</math> = רדיוס ראשי, <math> r</math> = רדיוס משני (רדיוס ה"צינור")
|-
|[[תיבה (גאומטריה)|תיבה]]
| <math>\ 2(ab+ac+bc)</math>
|<math>a, b, c</math> = מקצועות (צלעות) התיבה
|-
|[[מנסרה (גאומטריה)|מנסרה]]
|<math>2B + Ph</math>
|<math>B</math>= שטח הבסיס, <math>h</math> = גובה המנסרה, <math>P</math> = הקף הבסיס  
|-
|[[ארבעון]] משוכלל 
|<math>\sqrt{3}a^2</math>
|<math>\ a</math> = מקצוע הארבעון
|-
|[[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה]] מרובעת
|<math> ab+l\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2+h^2}+ b\sqrt{\left( \frac{a}{2}\right)^2+h^2} </math>
|<math>a, b</math> = צלעות הבסיס, <math>h</math> = גובה הפירמידה
|}

==גופים מורכבים==
* שטח פנים של [[גופי סיבוב של חתכי חרוט]] אפשר לחשב באמצעות [[אינטגרל]] דו-[[ממד (מתמטיקה)|ממדי]].
* ניתן למדוד שטח פנים של חומרים בניסוי [[ספיחה]] (Adsorption) של [[חנקן]] על פני השטח. כמות החנקן הספוח מתכונתי לשטח הפנים של החומר.

==ראו גם==
* [[שטח]]
* [[נפח]]
* [[שטח פנים נגיש]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:גאומטריה]]
[[קטגוריה:שטח]]