הצגת המקור של הדף "שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים"

לחלק מה[[אינטגרל|אינטגרלים]] לא ניתן מצד אחד לקבל פתרון עבור האינטגרל הלא מסוים אולם מהצד השני ניתן לקבל פתרונות אנליטיים (כלומר כאלו שאינם מצריכים [[אנליזה נומרית]]) עבור גבולות מסוימים של [[אינטגרל מסוים]].

להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה כזה:

==זוגיות ואי-זוגיות==
כאשר יש פונקציות שהיא אי-זוגית ביחס לנקודה <math>a</math>, כלומר מתקיים <math>f(a+x)=-f(a-x)</math> והאינטגרל סימטרי סביב הנקודה <math>a</math>, כלומר הגבולות הם מהצורה <math>(a-b,a+b)</math> אזי האינטגרל הוא אפס; למשל <math>\int\limits_{\pi}^{3\pi}\sin(x)dx=0</math>.

[[פונקציה זוגית]] סביב הנקודה <math>a</math> ניתנת לחישוב רק בחצי מהתחום (מעל או מתחת לנקודה <math>a</math>) תוך הכפלה בשניים. למשל:
:<math>\int\limits_{-8}^{8}|x|dx=2\int\limits_0^8x\,dx=2\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^8 =[x^2]_0^8=64-0 =64</math>

==חישוב במסלול סגור במישור המרוכב==
כאשר מבצעים [[המשכה אנליטית]] של [[פונקציה ממשית]] ל{{ה|מישור המרוכב}}, ניתן להשלים את מסלול האינטגרציה במישור המרוכב כך שייווצר מסלול סגור שניתן לחשב אותו באמצעות משפטים המתאימים לאינטגרל קווי במישור המרוכב כמו [[משפט האינטגרל של קושי]], [[נוסחת האינטגרל של קושי]], ובעיקר [[משפט השאריות]]. השיטה מתבססת על יצירת מסלול סגור <math>C</math> המכיל את הקטע <math>(a,b)</math> המופיע באינטגרל המקורי (אותו נסמן ב-<math>I</math>), וחישוב האינטגרל במסלול <math>C</math> (אותו נסמן ב-I<sub>C</sub>) ובקטעים האחרים המופיעים במסלול. כך מגיעים למשוואה מהצורה: <math>f(I)=I_C</math> כאשר <math>f</math> היא [[פונקציה הפיכה]] בתחום המתאים ל-<math>I</math> (בפרט אינטגרל של פונקציה ממשית הוא תמיד ממשי).

===דוגמה===
<math>\begin{align}\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{1+\sin(x)}dx&=\left[\begin{matrix}\sin(x)=\dfrac{z-z^{-1}}{2}\\dx=\dfrac{dz}{iz} \end{matrix}\right]\\&=\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{dz}{iz}}{1+\frac{z-z^{-1}}{2}}=-\frac{i}{2}\oint\limits_{|z|=1}\frac{dz}{2z+z^2-1}\\&=-\frac{i}{2}\oint\limits_{|z|=1}\frac{\frac{dz}{z+1+\sqrt2}}{z+1-\sqrt2}=-\frac{i}{2}\cdot2\pi i\left[\frac{1}{z+1+\sqrt2}\right]_{z=-1+\sqrt2}\\&=\frac{\pi}{-1+\sqrt2+1+\sqrt2}=\frac{\pi}{2\sqrt2}\end{align}</math>

[[תמונה:הדגמת אינטגרל מסלולי חצי מעגלי.PNG|שמאל]]

את האינטגרל <math>\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}xi\right)}{x^2+a^2}dx</math> כאשר <math>\hbar>0,p,a</math>, ניתן לחשב על ידי סגירת המסלול הסגור המצויר בצד שמאל והשאפת <math>R</math> לאינסוף. תחילה נפתח אותו לצורה נוחה יותר:
:<math>\int\limits_{-\infty }^\infty\frac{\exp\left(\frac{px}{\hbar}i\right)}{x^2+a^2}dx=\int\limits_{-R}^R\frac{\exp\left( \frac{pz}{\hbar}i\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz</math>
על פי נוסחת אינטגרל קושי על המסלול הסגור מקבלים כי:
:<math>\begin{align}\int\limits_{-R}^R\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz+\int\limits_{C_R}\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz&=\oint\limits_C\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz\\&=2\pi i\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{z+|a|i}\Bigg|_{z=|a|i}\\&=2\pi i\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}|a|i^2\right)}{|a|i+|a|i}=\frac{\pi}{|a|}\exp\left(-\frac{p}{\hbar}|a|\right)\end{align}</math>
על פי [[הלמה של ז'ורדן]] מקבלים כי: <math>\lim_{R\to0}\int\limits_{C_R}\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz=0</math>

ועל ידי הצבה מקבלים:
:<math>\begin{align}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz&=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz+0\\&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz+\lim_{R\to\infty}\int\limits_{C_R}\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz\\&=\lim_{R\to\infty}\left(\int\limits_{-R}^R\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz+\int\limits_{C_R}\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz\right)\\&=\lim_{R\to\infty}\oint\limits_C\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}zi\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}dz=\lim_{R\to\infty}\frac{\pi}{|a|}\exp\left(-\frac{p}{\hbar}|a|\right)\\&=\frac{\pi}{|a|}\exp\left(-\frac{p}{\hbar}|a|\right)\end{align}</math>
ובס"ה מתקיים:
:<math display=block>\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\exp\left(\frac{p}{\hbar}xi\right)}{x^2+a^2}=\frac{\pi}{|a|}\exp\left(-\frac{p}{\hbar}|a|\right)</math>

===דוגמה נוספת===
נחשב את האינטגרל <math>\int\limits_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}</math> עבור <math>n\ge2</math>, בעזרת בניית קונטור מתאים במישור המרוכב. נשים לב כי נקודות סינגולריות מתקבלות כאשר <math>x^n=-1</math> או <math>x=\exp\left(\tfrac{2k-1}{n}\pi i\right)</math>, כאשר <math>k</math> [[מספר טבעי]]. על מנת ליישם את [[משפט השאריות]], נבנה קונטור בצורת גזרת [[מעגל]] המתאימה לזווית מרכזית <math>2\pi/n</math>, אשר [[רדיוס]] אחד שלה הוא כל [[הישר הממשי]] והרדיוס השני שלה הוא הישר (האינסופי) העובר דרך ראשית הצירים ו[[שורש יחידה|שורש היחידה]] ב-<math>\exp\left(\tfrac{2\pi}{n}i\right)</math>. הקונטור מכיל בתוכו נקודת סינגולריות אחת בלבד <math>z_0=\exp\left(\tfrac{\pi}{n}i\right)</math>, ועל פי חישוב שאריות נקבל שהשארית של <math>\frac{1}{1+x^n}</math> ב-<math>z_0</math> היא <math>\frac{1}{nz_0^{n-1}}=-\frac{z_0}{n}</math>. לפיכך תוצאת האינטגרל הקווי לאורך הקונטור כולו היא <math> 2\pi i\left(-\tfrac1n\exp\left(\tfrac{2\pi}{n}i\right)\right)</math>. 

כעת נשים לב לעובדות הבאות:
*האינטגרל המסילתי מורכב משלושה מרכיבים: מרכיב הישר הממשי, שהוא למעשה האינטגרל אותו אנו רוצים לחשב, מרכיב של קשת מעגלית "באינסוף", ומרכיב ישר לאורך הקרן הנכנסת המקבילה ל-<math>\exp\left(\tfrac{2\pi}{n}i\right)</math>. 
*האינטגרנד מתנהג באינסוף כמו <math>\frac{1}{|z|^n}=\frac{1}{R^n}</math> כאשר <math>R</math> הוא רדיוס הגזרה (שאותו משאיפים לאינסוף), ולפיכך, עבור <math>n\ge2</math> המרכיב הקשתי של האינטגרל המסילתי מתנהג כמו <math>\lim_{R\to\infty}\frac{1}{R^{n-1}}=0</math>, כלומר המרכיב הקשתי מתאפס.
*עבור הקרן הנכנסת, ערך הפונקציה הוא <math>f(z)=\frac{1}{1+\left(|z|\exp\left(\tfrac{2\pi}{n}i\right)\right)^n}=\frac{1}{1+|z|^n}</math>, כלומר הוא זהה לזה של הישר הממשי. ההבדל היחידי בין הקרן הנכנסת לקרן היוצאת הוא בכך שהדיפרנציאל של המשתנה המרוכב <math>z</math> מוכפל ב-<math>-\exp\left(\tfrac{2\pi}{n}i\right)</math>, ולפיכך ערך האינטגרל המסילתי על הקרן הנכנסת הוא:
:<math>-\exp\left(\tfrac{2\pi}{n}i\right)\int\limits_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}</math>
כלומר קיבלנו לבסוף את הקשר:
:<math>2\pi i\left(-\tfrac1n\exp\left(\tfrac{2\pi}{n}i\right)\right)=\left(1-\exp\left(\tfrac{2\pi}{n}i\right)\right)\int\limits_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}</math>
ממנו ניתן לחלץ את <math>\int\limits_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}</math>. על ידי חילוק של [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]] ומעט [[טריגונומטריה]], נקבל לבסוף:
:<math>\int\limits_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}</math>

==מעבר למערכת קואורדינטות אחרת==
כאשר לאינטגרל יש סימטריה כלשהי, ניתן לעבור למערכת [[קואורדינטות]] אחרת שבה הוא מופיע בצורה פשוטה יותר. מעבר כזה מהווה למעשה [[מקרה פרטי]] של [[שיטת ההצבה]].

'''דוגמה''' – חישוב שטח עיגול (בעל רדיוס R):{{ש}}
עוברים ממערכת [[מערכת צירים קרטזית|קואורדינטות קרטזיות]] למערכת [[קואורדינטות קוטביות]] ומקבלים אינטגרל פשוט הרבה יותר:
:<math display=block>S(R)=\int\limits_0^Rdy\int\limits_0^{\sqrt{R^2-y^2}}\!\!\!\!\!\!\!\!dx=\int\limits_0^Rr\,dr\int\limits_0^{2\pi}d\phi=\pi R^2</math>

'''דוגמה נוספת:'''

חישוב האינטגרל <math>I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx</math>.
:<math display=block>\begin{align}I^2=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy&=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^\infty re^{-r^2}dr\,d\phi=\pi\\\\I&=\sqrt{\pi}\end{align}</math>

==שימוש בהתמרות==
יש מקרים בהם ניתן להציג את האינטגרל המסוים בעזרת התמרה מסוימת (למשל [[התמרת פורייה]]) ולהשתמש בתכונות שלה.

לדוגמה, נחשב את <math>\int\limits_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}dx</math>.

נגדיר פונקציה <math>f(t)=\frac{1}{\sin(t)}-\frac{1}{t}</math>. קל לבדוק כי <math>f</math> בעלת [[נקודת אי רציפות|נקודת אי-רציפות סליקה]] בנקודה 0, ולכן נוכל להתייחס אל <math>f</math> כאל פונקציה הרציפה בקטע <math>\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>.

לכן <math>g=f\left(\tfrac{t}{2}\right)</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.

מ[[הלמה של רימן-לבג]] אפשר לראות שמתקיים:
:<math display=block>\lim_{n\to\pm\infty}\hat{g}(n)=\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to\pm\infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{g(t)e^{-nti}dt}=0</math>
כאשר <math>\hat{g}(n)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{g(t)e^{-nti}dt}</math> [[טור פורייה|מקדמי הפורייה]] של <math>g</math>.

לכן
:<math display=block>\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to\pm\infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f\left(\tfrac{t}{2}\right)e^{-nti}dt=\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to\pm\infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}-\frac{1}{\frac{t}{2}}\right)e^{-nti}dt=0</math>
בפרט גם
:<math display=block>\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to\pm\infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}-\frac{1}{\frac{t}{2}}\right)e^{nti}dt=0</math>
ולכן
:<math display=block>\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to\infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}-\frac{1}{\frac{t}{2}}\right)\sin\!\bigl((n+0.5)t\bigr)dt=0</math>
כי מנוסחת אוילר <math>\sin(t)=\frac{e^{ti}-e^{-ti}}{2i}</math>. כלומר
:<math display=block>\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to\infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{\sin\!\bigl((n+0.5)t\bigr)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}-\frac{\sin\!\bigl((n+0.5)t\bigr)}{\frac{t}{2}}\right)dt=0</math>
נחלק לשני אינטגרלים ונקבל:
:<math display=block>\lim_{n\to\infty}\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\sin\!\bigl((n+0.5)t\bigr)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}dt-\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\sin\!\bigl((n+0.5)t\bigr)}{\frac{t}{2}}dt\right)=0</math>
האינטגרל השמאלי הוא אינטגרל של [[גרעין דיריכלה]], ולכן שווה 1 לכל <math>n</math> טבעי.
:<math display=block>\lim_{n\to\infty}\left(1-\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\sin\!\bigl((n+0.5)t\bigr)}{\frac{t}{2}}dt\right)=0</math>
האינטגרל שנותר הוא של פונקציה זוגית, ולכן ניתן להחליף את התחום ב-<math>[0,\pi]</math> ולהכפיל ב-2:
:<math display=block>\lim_{n\to\infty}\left(1-\int\limits_0^\pi\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\sin\!\bigl((n+0.5)t\bigr)}{\frac{t}{2}}dt\right)=0</math>
כלומר
:<math display=block>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^\pi\frac{\sin\!\bigl((n+0.5)t\bigr)}{t}dt=\frac{\pi}{2}</math>
על ידי הצבה <math>s=(n+0.5)t</math> נקבל:
:<math display=block>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^{(n+0.5)\pi}\!\!\!\!\!\frac{\sin(s)}{s}ds=\frac{\pi}{2}</math>
ומכיוון שהאינטגרל מתכנס (מ[[אינטגרל לא אמיתי|מבחן דיריכלה]]), מתקיים:
:<math display=block>\int\limits_0^\infty\frac{\sin(s)}{s}ds=\frac{\pi}{2}</math>

==ראו גם==
*[[שיטות אינטגרציה]]
*[[שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים]]
*[[שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים]]

==קישורים חיצוניים==
*[https://web.archive.org/web/20080704114104/http://integrals.wolfram.com/ The Wolfram Integrator] – חישוב אינטגרלים לא מסוימים

[[קטגוריה:אינטגרלים]]