הצגת המקור של הדף "שיטת הטרפז"

'''שיטת הטרפז''' היא [[שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים|שיטה נומרית]] המשמשת להערכת [[אינטגרל מסוים]] של [[פונקציה רציפה (אנליזה)|פונקציה רציפה]] בתחום סגור, על ידי חישוב שטחים תחת עקומת הפונקציה באמצעות קירוב לטרפזים. זוהי טכניקה בסיסית ופופולרית ב[[אנליזה נומרית]], המשמשת לחישוב ערכם של אינטגרלים מוגדרים כאשר [[פתרון אנליטי]] אינו מעשי או קשה מאוד לחישוב.

שיטת הטרפז מסתמכת על חלוקה של התחום הרצוי לרצועות קטנות, חישוב השטח של כל רצועה בהנחה שהיא קרובה לצורת [[טרפז]], וסיכום השטחים הללו. כך ניתן לקרב את ערך האינטגרל של פונקציה <math>f(x)</math> על התחום הסגור <math>[a,b]</math>.
[[קובץ:Trapezoidal_rule_illustration.svg|שמאל|ממוזער|איור מוצג גרף הפונקציה המקורית בכחול וקירוב ליניארי שלה באדום, היוצר טרפז לצורך חישוב השטח.]]

== היסטוריה ==
מאמר משנת 2016 שפורסם בכתב העת [[Science]] מציין כי כלל הטרפז היה בשימוש ב[[בבל]] לפני שנת 50 לפני הספירה לצורך חישוב [[אינטגרל]]ים של מהירות כוכב הלכת [[צדק (כוכב לכת)|צדק]] לאורך [[מישור המילקה]].<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Mathieu Ossendrijver|שם=Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter’s position from the area under a time-velocity graph|כתב עת=Science|כרך=351|שנת הוצאה=2016-01-29|עמ=482–484|doi=10.1126/science.aad8085|קישור=https://www.science.org/doi/10.1126/science.aad8085}}</ref>

== נוסחת שיטת הטרפז ==
עבור פונקציה רציפה <math>f(x)</math> המוגדרת בקטע <math>[a, b]</math>, מחלקים את הקטע לרשת של <math>n</math> תתי-קטעים שווים ברוחב <math>h = \frac{b - a}{n}</math>. ערך האינטגרל <math>\int_a^b f(x) \, dx</math> מוערך באמצעות הסכום:

<math>\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} \left( f(a) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b) \right)</math>

כאשר <math> x_k = a + k \cdot h </math> הם נקודות החלוקה של התחום.

== שגיאה של שיטת הטרפז ==
שגיאת שיטת הטרפז המורכבת היא ההפרש בין ערך האינטגרל לבין התוצאה הנומרית:

<math display="block"> \text{E} = \int_a^b f(x)\,dx - \frac{b-a}{N} \left[ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{N-1} f \left( a+k \frac{b-a}{N} \right) \right]</math>

בקירוב, השגיאה ניתנת להערכה באמצעות הנוסחה:<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://math.libretexts.org/Courses/Community_College_of_Denver/MAT_2420_Calculus_II/03:_Techniques_of_Integration/3.06:_Numerical_Integration|כותרת=3.6: Numerical Integration|אתר=Mathematics LibreTexts|תאריך=2020-01-20|שפה=en|תאריך_וידוא=2024-11-13}}</ref> <math>\text{E} \approx -\frac{(b - a) h^2}{12} f''(\xi)</math>

כאשר <math>\xi</math> היא נקודה כלשהי בקטע <math>[a, b]</math>.

כמו כן, רמת הדיוק של שיטת הטרפז תלויה במספר תתי-הקטעים <math>n</math> ובמאפייני הפונקציה. עבור פונקציות חלקות, שגיאת שיטת הטרפז קטנה ככל שמספר תתי-הקטעים גדל, והיא תלויה בערכה של הנגזרת השנייה של הפונקציה.

==ראו גם==
* [[שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים]]
* [[נוסחאות ניוטון-קוטס]]
* [[תרבוע גאוסיאני]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Trapezium_formula}}
* {{MathWorld}}
<div class="mw-content-ltr">
* [http://dedekind.mit.edu/~stevenj/trapezoidal.pdf Notes on the convergence of trapezoidal-rule quadrature]
* [http://www.boost.org/doc/libs/1_66_0/libs/math/doc/html/math_toolkit/trapezoidal.html An implementation of trapezoidal quadrature provided by Boost.Math]
</div>

[[קטגוריה:אנליזה נומרית]]
[[קטגוריה:אינטגרלים]]