הצגת המקור של הדף "שיטת המומנטים (תורת ההסתברות)"

ב[[תורת ההסתברות]], שיטת המומנטים היא שיטה להוכחת [[התכנסות (הסתברות)#התכנסות בהתפלגות|התכנסות בהתפלגות]] באמצעות התכנסות סדרה של [[מומנט (הסתברות)|מומנטים]].

יש להבדיל בין שיטת המומנטים בתורת ההסתברות לבין [[שיטת המומנטים]] ב[[סטטיסטיקה]]. שתי השיטות משתמשות במומנטים של התפלגות אך בתורת ההסתברות, השיטה מסייעת להוכיח התכסנות בהתפלגות של סדרת משתנים מקריים. לעומת זאת בסטטיסטיקה השיטה משמשת ל[[אמידה|אמידת]] פרמטרים. כמו כן, בתורת ההסתברות, שיטת המומנטים דורשת שכל המומנטים קיימים ואילו בסטטיסטיקה, מספיק שמספר המומנטים הקיימים שווה למספר הפרמטרים שיש לאמוד.

== השיטה ==
יהי X [[משתנה מקרי]] שכל המומנטים שלו קיימים. כלומר לכל <math>k \in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>E[X^k]<\infty</math>. נניח שההתפלגות נקבעת לפי המומנטים, משמע לא קיימת התפלגות אחרת בעלת אותם המומנטים. אם לכל <math>k \in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>\lim_{n\rightarrow \infty} E[X^k_n]=E[X^k]</math> אז הסדרה <math>\{X_n\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת בהסתברות ל<math>X</math> <ref>{{cite book |last=Billingsbey |first=Patrick|date=1995 |title=Probability and Measure |location=New York |publisher=John Wiley and Sons|page=390 |isbn=}}</ref>.

שיטה זו היא למעשה משפט Fr´echet-Shohat <ref>{{Cite web |last=Sodin |first=Sasha |date=March 5, 2019 |title=The classical moment problem |url=https://webspace.maths.qmul.ac.uk/a.sodin/teaching/moment/clmp.pdf |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20220701072907/https://webspace.maths.qmul.ac.uk/a.sodin/teaching/moment/clmp.pdf |archive-date=1 Jul 2022}}</ref>.

===דוגמה להתפלגות שלא נקבעת על ידי מומנטים===
נראה שהדרישה שהתפלגות נקבעת לפי המומנטים שלה היא הכרחית <ref>Heyde, C.C. (1963), On a Property of the Lognormal Distribution. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological), 25: 392-393. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1963.tb00521.x</ref>. נקח לדוגמה את [[התפלגות לוג-נורמלית|ההתפלגות הלוג-נורמלית]] (עם <math>\mu=0,~~\sigma^2=1</math>) המוגדרת על ידי פונקציית הצפיפות <math>f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}x}e^{\frac{-(\log x)^2}{2}}</math>. כמוכן, נגדיר סדרה של משתנים מקרים, <math>\{X\}_n^\infty</math> שפונקציית הצפיפות שלהם מוגדרת על ידי <math>f_n(x)=f_0(x)(1+n\cdot sin(2\pi\log x))</math> לכל <math>n\in\mathbb{N}</math>. ניתן להראות שהמומנט ה<math>k</math> של שתי ההתפלגויות הוא <math>e^{\frac{k^2}{2}}</math> ובפרט הם בעלי מומנטים שווים. מכאן שההתפלגות הלוג-נורמלית לא נקבעת על ידי המומנטים שלה. בעזרת אינטגרציה, ניתן לראות שהסדרה <math>\{X_n\}_{n=1}^\infty</math> לא מתכנסת בהתפלגות להתפלגות הלוג-נורמלית. דוגמה זו מראה את הצורך בדרישה ליחידות ההתפלגות בהינתן המומנטים. השאלה האם התפלגות נקבעת מהמומנטים שלה או תחת אילו תנאים הדבר קורה היא בעיה מוכרת הנקראת [[בעיית המומנטים]].
<!--

==שיטה שקולה==
X באופן שקול, תהי <math>\{F_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה של פונקציות התפלגות כך שלכל <math>k\in\mathbb{N}</math>, <math>\lim_{n\rightarrow \infty} \int x^kdF_n(x)=\mu_k</math>. אם <math>\lim_k \sup \frac{\mu_{2k}^\frac{1}{2k}}{2k}<\infty</math> אז <math>F_n</math> מתכנס בהתפלגות בצורה חלשה להתפלגות יחידה הנקבעת לפי המומנטים. 
<ref>Rick Durrett. Probability: theory and examples. Cambridge Series in
Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge University Press,
Cambridge, 2010.</ref> -->

==יישומים==
===יישום בתורת הדגימה===
יהיו <math>x_{n1},...,x_{nn}</math>, <math>n</math> מספרים לא בהכרח שונים, המשוייכים לאלמנטים באוכלוסייה. נניח שהדגימה מנורמלת באופן הבא 

<math>\sum_{h=1}^nx_nh=0,~~\sum_{h=1}^n x^2_{nh}=1,~~M_n=\max_{h\leq n}|x_{nh}|</math>.

נקח דגימה בעלת חשיבות לסדר, <math>X_{n1},...,X_{nk_n}</math> מתוך <math>n</math> המספרים הנתונים ונסמן <math>S_n=X_{n1}+\cdots+X_{nk_n},~~ s^2_n=k_n/n</math>. נשים לב ש<math>s_n</math>  הוא היחס בין גודל הדגימה לבין גודל המדגם.

אילו <math>X_{nk}</math> היו בלתי תלויים, מההנחות על המדגם היינו מקבלים ש <math>Var(S_n)=s^2_n</math>. מאחר שזה לא בהכרח המקרה, ניתן להשתמש בשיטת המומנטים כדי להראות שאם התנאים הבאים מתקיימים <math>s^2_n=\frac{k_n}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{} 0, ~~ \frac{M_n}{s_n}\xrightarrow[n\to \infty]{} 0,~~k_n\xrightarrow[n\to\infty]{} 0</math> אז <math>\frac{S_n}{s_n}\rightarrow N(0,1)</math> בהתפלגות<ref>{{cite book |last=Billingsbey |first=Patrick|date=1995 |title=Probability and Measure |location=New York |publisher=John Wiley and Sons|page=392 |isbn=}}</ref>.

זה מראה שאם <math>k_n</math> קטן ביחס ל<math>n</math>, אז ההשפעה של התלות זניחה יחסית.

===יישומים נוספים===
מלבד דרך להוכת התכנסות בהתפלגות של משתנים מקרים, ויישום בתורת הדגימה, שיטה משמשת כדרך נוספת להוכחת [[משפט הגבול המרכזי]]. כמוכן, לשיטה יישומים ב[[תורת המספרים]] בהוכחת משפט [[w:Erdős–Kac theorem|משפט ארדש-כץ]] <ref>{{cite book |last=Billingsbey |first=Patrick|date=1995 |title=Probability and Measure |location=New York |publisher=John Wiley and Sons|page=391-397 |isbn=}}</ref>.

== ראו גם ==
* [[בעיית המומנטים]]
* [[התפלגות חצי המעגל של ויגנר]]
* [[התפלגות מרצ'נקו-פסטור]]

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* Lin, G.D. Recent developments on the moment problem. J Stat Distrib App 4, 5 (2017). https://doi.org/10.1186/s40488-017-0059-2
</div>

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}