הצגת המקור של הדף "שיטת המיתר"

ב[[אנליזה נומרית]], '''שיטת המיתר''' היא שיטה [[איטרציה|איטרטיבית]] למציאת [[שורש (של פונקציה)|שורשים]] של [[פונקציה רציפה]] של משתנה אחד. 

שיטה זו דומה ל[[שיטת ניוטון-רפסון]] למציאת שורשים. בשיטת ניוטון-רפסון יש צורך ב[[נגזרת]] הפונקציה בנקודה האחרונה. שיטת המיתר מקרבת את הנגזרת על ידי שיפוע המיתר המחבר את שתי הנקודות האחרונות שחושבו, ומכאן שמה. [[סדר ההתכנסות]] של השיטה נמוך יותר מזה של שיטת ניוטון-רפסון: בשיטת ניוטון-רפסון הסדר הוא 2, ואילו בשיטת המיתר, הסדר הוא [[יחס הזהב]] (1.618 לערך). יתרונה של שיטת המיתר היא בכך שהיא אינה משתמשת בנגזרת: אם הנגזרת אינה ידועה, או שחישובה גוזל משאבי חישוב רבים, שיטת המיתר מתכנסת מהר יותר.

== השיטה ==
[[תמונה:Secant method.svg|שמאל|מסגרת|שיטת המיתר: העקומה באדום מייצגת את הפונקציה והקווים הכחולים את הישרים שמחשבים בכל איטרציה של השיטה]]
ניקח שני ערכים התחלתיים, <math>\,x_0</math> ו-<math>\,x_1</math>, הקרובים יחסית לשורש המבוקש.<br />
נבנה את הישר העובר דרך הנקודות <math>\,(x_0,f(x_0))</math> ו- <math>\,(x_1,f(x_1))</math>. משוואת הישר היא:
<math display="block"> y  = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} (x-x_1)+f(x_1). </math>
נבחר את <math>\,x_2</math>, הערך הבא באיטרציה, להיות החיתוך של ישר זה עם ציר ה-x.
<math display="block">x_2 = x_1 - f(x_1)\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}</math>
כעת נבנה ישר בין הנקודות <math>\,(x_1,f(x_1))</math> ו- <math>\,(x_2,f(x_2))</math>, נחפש את החיתוך שלו בציר ה-x וכן הלאה. התהליך מוגדר [[נוסחת נסיגה|בנוסחת הנסיגה]] הבאה:<br />
<math display="block">x_n = x_{n-1} - f(x_{n-1})\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}</math>
ככל שנחשב יותר איטרציות של נוסחת הנסיגה, כך נקבל ערך קרוב יותר לערך השורש האמיתי.
==התכנסות ==

[[תמונה:Sekantenverfahren_Ani2.gif|שמאל|ממוזער|552px|דוגמה ויזואלית הממחישה את התכנסות השיטה]]
השיטה לא תמיד מתכנסת, אך אם הפונקציה <math>\,f</math> [[רציפות|רציפה]] ו[[גזירות (מתמטיקה)|גזירה]], הערכים ההתחלתיים <math>\,x_0</math> ו-<math>\,x_1</math> קרובים מספיק לשורש, והשורש הוא שורש פשוט (כלומר נגזרתה של <math>\,f</math> לא מתאפסת באותה נקודה), אזי ניתן להראות כי השיטה מתכנסת לשורש של הפונקציה <math>\,f</math>. [[סדר התכנסות|סדר ההתכנסות]] הוא [[יחס הזהב]] <math>\,\varphi</math>, כאשר <math> \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 </math>.

==קוד דוגמה==
להלן קוד ב[[שפת C]] אשר מיישם את שיטת המיתר. הקוד נכתב בדגש על  בהירות ולא על יעילות. הבעיה: למצוא את המספר החיובי <math>\,x</math> המקיים <math>\ x^3=\cos(x)</math>. הבעיה מומרת לבעיית מציאת שורש של הפונקציה <math>\ f(x)=x^3-\cos(x)</math>.

בקוד הרשום מטה, שיטת המיתר ממשיכה כל עוד מתקיימים שני התנאים הבאים:
#<math>\, |x_{n+1} - x_n| < e </math>
#<math>\, n < m </math>
כאשר <math>\,e</math> הוא קבוע (השגיאה המקסימלית המותרת), <math>\,n</math> הוא מספר האיטרציה ו-<math>\,m</math> הוא חסם על מספר האיטרציות.

<syntaxhighlight lang="c">
#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x)
 {
     return x*x*x - cos(x);
 }

double SecantMethod(double xn_1, double xn, double e, int m)
 {
     int n;
     double d;
     for (n = 1; n <= m; n++)
     {
         d = (xn - xn_1) / (f(xn) - f(xn_1)) * f(xn);
         if (fabs(d) < e)
             return xn;
         xn_1 = xn;
         xn = xn - d;
     }
     return xn;
 }

 int main(void)
 {
     printf("%0.15f\n", SecantMethod(0, 1, 5E-11, 100));
     return 0;
 }
</syntaxhighlight>

אחרי הרצה של הקוד התוצאה הסופית תהיה 0.865474033101614. הערכים המתקבלים הם:

:<math> x_0 = 0  \,\!</math>
:<math> x_1 = 1  \,\!</math>
:<math> x_2 = 0.685073357326045  \,\!</math>
:<math> x_3 = 0.841355125665652  \,\!</math>
:<math> x_4 = 0.870353470875526  \,\!</math>
:<math> x_5 = 0.865358300319342  \,\!</math>
:<math> x_6 = 0.865473486654304  \,\!</math>
:<math> x_7 = 0.865474033163012  \,\!</math>
:<math> x_8 = 0.865474033101614  \,\!</math>

הגרף הבא מראה את הפונקציה <math>\,f</math> באדום וקו המיתר האחרון בכחול. בגרף ניתן לראות שנקודת החיתוך של המיתר עם ציר ה-<math>\,x</math> קרובה מאוד לשורש של <math>\,f</math>.
:[[קובץ:Secant method example code result.svg]]

{{אנליזה מתמטית}}

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:שיטות למציאת שורשים של פונקציות|מיתר]]