הצגת המקור של הדף "שיטת רונגה-קוטה"

ב[[אנליזה נומרית]], '''רוּנְגֶה-קוּטַה''' היא משפחת שיטות [[שיטה איטרטיבית|איטרטיביות]], ישירות ועקיפות (Implicit and explicit), הכוללות את השיטה הפשוטה והידועה, [[שיטת אוילר]], המבוססת על דיסקרטיזציה טמפורלית להערכת פתרונות מקורבים של [[משוואה דיפרנציאלית רגילה|משוואות דיפרנציאליות רגילות]].{{הערה|DEVRIES, Paul L. ; HASBUN, Javier E. A first course in computational physics. Second edition. Jones and Bartlett Publishers: 2011. p. 215.|כיוון=שמאל}} שיטות אלו פותחו בסביבות שנת [[1900]] על ידי המתמטיקאים הגרמנים [[קרל רונגה|קרל דייוויד רונגה]] ו[[מרטין וילהלם קוטה]]. לשיטות שימושים רבים ב[[פיזיקה]], ב[[כימיה]] וב[[ביולוגיה]].

השיטות משמשת לפתרון של [[משוואה דיפרנציאלית]] רגילה ויחידה מסדר ראשון או שני (דוגמת [[החוק השני של ניוטון]]), או לפתרון סט של שתי משוואות דיפרנציאליות מצומדות מסדר ראשון (דוגמת [[משוואות המילטון]]). במקרים מסוימים ניתן אף להשתמש בשיטות הללו על מנת לפתור [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|משוואות דיפרנציאליות חלקיות]], כגון [[משוואת שרדינגר]] (אותה נהוג לפתור, מטעמי דיוק, באמצעות שיטת רונגה-קוטה-ורנר מסדר שישי, RKV6).

== תיאור ==
שיטות רונגה-קוטה ממוספרות על פי הסדר הגבוה ביותר של פונקציונלי העזר המשמשים במסגרתן. כך למשל, שיטת רונגה-קוטה מסדר שני עושה שימוש בשני פונקציונלים על מנת לקבל כלל נסיגה המגדיר את וקטור הפתרונות. בנוסף, מתוך מספור השיטה ניתן לקבל מידע על הסדר של שגיאת הקיטוע המקומית.

השיטה המוכרת ביותר במשפחה זו, היא שיטת רונגה-קוטה מסדר רביעי, המוכרת גם בתור "שיטת רונגה-קוטה הקלאסית" או בתור הקיצור RK4. להלן המרשם לפתרון משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר ראשון.

תהי בעיית [[תנאי שפה]] (מד"ר מסדר ראשון) מהצורה הבאה:

<math>\frac{dy}{dt}=f(t,y),~y(t_{0})=y_{0}</math>

כאשר <math>y</math> היא פונקציה לא-ידועה של הזמן אותה נרצה להעריך במסגרת הקירוב. הפסוק הנ"ל אומר כי הנגזרת של <math>y</math> היא פונקציה של הזמן ושל <math>y</math> עצמה. עוד נתון תנאי ההתחלה על <math>y</math>, אשר יהווה מרכיב מרכזי בפתרון בשיטת רונגה-קוטה להלן.

כעת נבחר צעד <math>h</math> אי-שלילי כלשהו ונגדיר ארבעה פונקציונלים <math>k_{i}</math>:

<math>
\begin{align}
 k_1 &= \ f(t_n, y_n), \\
 k_2 &= \ f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + h\frac{k_1}{2}\right), \\
 k_3 &= \ f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + h\frac{k_2}{2}\right), \\
 k_4 &= \ f\left(t_n + h, y_n + hk_3\right).
\end{align}
</math>

כאשר ניתן לתת פרשנות גאומטרית לכל אחד מהם:
* <math> k_{1} </math> הוא השיפוע בתחילת המקטע (התחום בין הנקודה הידועה <math> y_{n} </math> וע"י הנקודה הבאה אחריה <math> y_{n+1} </math>).
* <math> k_{2} </math> הוא השיפוע במחצית המקטע, כמחושב בעזרת <math> y </math> ו-<math> k_{1} </math>.
* <math> k_{3} </math> הוא שוב, השיפוע במחצית המקטע, אך הפעם כמחושב בעזרת <math> y</math> ו-<math> k_{2}</math>.
* <math> k_{4} </math> הוא השיפוע בסוף המקטע.

על בסיס ארבעת הפונקציונלים הללו, נבנה את כלל הנסיגה הבא:

<math>\begin{align}
y_{n+1} &= y_n + \frac{1}{6}h\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right),\\
t_{n+1} &= t_n + h \\
\end{align}</math>

לעיתים, נהוג הסימון <math>T_{4}</math> לממוצע הפונקציונלים המשוקלל המופיע בכלל הנסיגה לעיל. ניתן לראות כי משקל רב יותר ניתן לשיפוע במחצית המקטע.

אם <math> f </math> לא תלויה ב-<math>y</math> הרי שהאינטגרציה טריוויאלית ושיטת רונגה-קוטה מסדר רביעי שקולה להפעלתו של {{קישור שפה||Simpson's rule|כלל סימפסון}}.

שגיאת הקיטוע המקומית בשיטה הנ"ל היא מסדר גודל של <math> h^{5} </math>, בעוד השגיאה הנצברת הכוללת היא מסדר גודל של <math> h^{4} </math>.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:אנליזה נומרית]]

{{קצרמר|מתמטיקה}}