הצגת המקור של הדף "שיכון סגרה"

'''שיכון סגרה''' (Segre embedding) או '''העתקת סגרה''' (Segre map) היא [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] [[העתקה סגורה|סגור]] של מכפלה של [[מרחב פרויקטיבי|מרחבים פרויקטיבים]] במרחב פרויקטיבי (מממד גדול יותר). קיום שיכון כזה מוכיח כי מכפלה של יריעות פרויקטיביות היא [[יריעה פרויקטיבית]]. עובדה זאת מאפשרת להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות מבלי להצטרך להגדיר את מושג [[יריעה אלגברית|היריעה האלגברית]] באופן כללי, ולהסתפק במושג היריעה הפרויקטיבית.

== רקע ומוטיבציה ==
[[מרחב פרויקטיבי]] הוא אוסף ה[[ישר]]ים העוברים דרך ה[[ראשית הצירים|ראשית]] ב[[מרחב וקטורי|מרחב ליניארי]]. [[יריעה פרויקטיבית]] היא תת-[[קבוצה סגורה]] [[טופולוגיית זריצקי|זריצקי]] של [[מרחב פרויקטיבי]], זאת-אומרת קבוצה המתוארת על ידי מספר [[משוואה|משוואות]] [[פולינום|פולינומיות]] [[פונקציה הומוגנית|הומוגניות]]. [[יריעה קוואזי-פרויקטיבית]] היא תת-[[קבוצה פתוחה]] [[טופולוגיית זריצקי|זריצקי]] של יריעה פרויקטיבית. זאת-אומרת יריעה פרויקטיבית שהוציאו ממנה תת-יריעה פרויקטיבית.
יריעות קוואזי-פרויקטיבית מהוות מחלקה רחבה מאוד של יריעות שכוללת בין השאר את [[יריעה אפינית|היריעות האפיניות]]. זמן רב הגאומטריה האלגברית דנה רק בהן, וגם היום חלק נכר ממנה מוקדש להן.

אולם האילוץ להיות תת-קבוצה של מרחב פרויקטיבי הוא לא תמיד טבעי, כדי להימנע מאילוץ זה הוגדרו ה[[יריעה אלגברית|יריעות האלגבריות]] הכלליות. באופן אינטואיטיבי יריעה אלגברית היא אובייקט גאומטרי שנראה מקומית כמו יריעה אפינית. ההגדרה הפורמלית של יריעה אלגברית מורכבת למדי, ולכן במיקרים רבים נמנעים מלתת אתה.
גישה זאת גובה מחיר מסוים. למשל, בלי מושג היריעה האלגברית לא ברור איך להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות או אפילו של מרחבים פרויקטיבים. לשם כך נועד שיכון סגרה.

שיכון סגרה מאפשר לשכן מכפלה של מרחבים פרויקטיבים במרחב פרויקטיבי מממד גדול יותר ובכך הופך את המכפלה ליריעה פרויקטיבית. באופן דומה בעזרת שיכון סגרה ניתן לראות כ מכפלה של יריעות פרויקטיביות היא פרויקטיבית ושל יריעות קוואזי-פרויקטיביות היא קוואזי-פרויקטיבית. למעשה, במונחים של גאומטריה אלגברית, לפני הגדרת מושג היריעה האלגברית, ניתן היה להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות (או קוואזי-פרויקטיביות) רק באמצעות שיכון סגרה.

גם היום שיכון סגרה שימושי, מכיוון שתכונות מסוימת של יריעות פרויקטיביות (וקוואזי-פרויקטיביות) לא תקפות ליריעות כלליות. כמו כן הוא משמש לבניית דוגמת של יריעות אלגבריות. לעומת זאת, מבחינה חישובית, שיכון סגרה שימושי רק בממדים קטנים, כי הוא מעלה משמעותית את [[ממד (מתמטיקה)|ממד]] המרחב הפרויקטיבי, והמעלה של התמונה שלו (בתור תת-יריעה) גבוהה.

שיכון סגרה מאפשר להראות כי המרחבים הפרויקטיביים הם מופרדים (separated). זאת מפני שהשיכון מציג הלכה למעשה את האלכסון של מרחב פרויקטיבי בתור תת-יריעה סגורה של המכפלה, היא מרחב סגרה.

== הגדרה ==
יהי k [[שדה סגור אלגברית]]. יהיו <math>\mathbb{P}^n_k</math> ו-<math>\mathbb{P}^m_k</math> [[מרחב פרויקטיבי|המרחבים הפרויקטיבים]] מ[[ממד (מתמטיקה)|ממדים]] n ו-m בהתאמה. נגדיר את '''העתקת סגרה''':
<div style="text-align: center;">
<math>\begin{array}{rcl}
s_{n,m} : \mathbb{P}^n_k \times \mathbb{P}^m_k & \longrightarrow & \mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1}_k \\
\left( ( x_0 : ... : x_n ), (y_0 : ... : y_m ) \right) & \longmapsto & (x_0 y_0 : x_0 y_1 : ... : x_0 y_m : ... : x_i y_j : ... : x_n y_m)
\end{array}</math>
</div>
כאשר <math>0 \le i \le n \, \ j = 0, ..., m</math>.

'''יריעת סגרה''', מוגדרת להיות התמונה של העתקת סגרה:
<math display="block">\Sigma^{n,m}_k := s_{n,m} \left( \mathbb{P}^n_k \times \mathbb{P}^m_k \right).</math>
=== הגדרה באמצעות מכפלה טנזורית ===
יהיו <math>V</math> ו <math>W</math> מרחבים וקטוריים. יהיו <math>\mathbb P(V)</math> ו-<math>\mathbb P(W)</math> המרחבים הפרויקטיביים המתאימים, זאת אומרת מרחבי הישרים העוברים דרך הראשית ב-<math>V</math> ו-<math>W</math>. תהי <math>V \otimes W</math> [[מכפלה טנזורית|המכפלה הטנזורית]] של <math>V</math> ו-<math>W</math>. ניתן להגדיר את העתקת סגרה
<math display="block">s_{V,W}:\mathbb P(V)\times \mathbb P(W) \to \mathbb P(V\otimes W)</math>
להיות ההעתקה המושרית ע"י:

<div style="text-align: center;">
<math> \begin{array}{rcl} \mathbb{P}(V)\times \mathbb P(W) & \longrightarrow & \mathbb P(V\otimes W) \\
 \left( v, w \right) & \longmapsto & v \otimes w \end{array}</math>
</div>

קל לראות שהגדרה זאת מתלכדת עם הקודמת במקרה ש-<math>V=k^{n+1}</math> ו-<math>,W=k^{m+1}</math> בהשתמש בזיהוי
<math>.k^{n+1} \otimes k^{m+1}\cong k^{(n+1) \cdot (m+1)}</math>

== תכונות ==
מכיוון שתמונה של יריעה [[מרחב אי-פריק|אי-פריקה]] היא יריעה אי-פריקה. נובע שיריעת סגרה היא יריעה אי-פריקה.

'''טענה:''' יריעת סגרה <math>\Sigma^{n,m}_k</math>
היא [[יריעה אלגברית|יריעת האפסים]]
של כל המשוואות מהצורה
<math display="block">z_{ij} z_{rl} - z_{il} z_{rj} = 0</math>
באשר <math>i,r = 0,...,n</math> ו-<math>j,l = 0, ..., m </math>. יתר על כן, העתקת סגרה מגדירה [[איזומורפיזם]] מ- <math>\mathbb{P}^n_k \times \mathbb{P}^m_k</math> ליריעת סגרה.
{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"
! הוכחה
|-
|
החלק המרכזי בהוכחה הוא להראות כי לכל נקודה <math>\mathbf{c} = \left( z^0_{00} : ... : z^0_{nm} \right)</math> ביריעת האפסים
 <center><math>\mathcal{V} \left( z_{ij} z_{rl} - z_{il} z_{rj} \ \mid \ 0 \le i,r \le n \, \ 0 \le j,l \le m \right) </math>
</center>
קיים ויחיד זוג <math>(\mathbf{a},\mathbf{b})</math> כך ש <math>\mathbf{c} = s_{n,m}(\mathbf{a},\mathbf{b})</math>.
לשם כך נניח [[בלי הגבלת הכלליות]] ש-<math>z^0_{00} \ne 0</math> (אחרת, בוחרים קואורדינטה הומוגנית אחרת השונה מאפס, שכן הן לא יכולות להיות כולן אפס בו זמנית) ואפשר להניח ש-<math>z^0_{00} = 1</math> (אחרת, מחלקים את הקואורדינטות ההומוגניות ב-<math>z^0_{00}</math>, דבר שלא משנה את הנקודה). לכן נרשום <math>\mathbf{c} = \left( 1 : ... : z^0_{nm} \right)</math>. אזי הנקודות
<center>
<math>\mathbf{a} = \left( 1 : z^0_{10} : ... : z^0_{n0} \right) \in \mathbb{P}^n_k</math> ו-
<math>\mathbf{b} = \left( 1 : z^0_{01} : ... : z^0_{0m} \right) \in \mathbb{P}^m_k</math>
</center>
מקיימות <math>\mathbf{c} = s_{n,m}(\mathbf{a},\mathbf{b})</math> והן היחידות המקיימות זאת. זה נובע מכך ש-<math>z^0_{i0} z^0_{0j} = z^0_{00} z^0_{ij} = 1 z^0_{ij} = z^0_{ij}</math> לכל <math>0 \le i \le n \, \ j = 0, ..., m</math> (אלה המשוואות המגדירות את יריעת האפסים).
|}
טענה זו מוכיחה שיריעת סגרה היא [[יריעה פרויקטיבית]] כמו כן ניתן להסיק מטענה זאת שיריעת סגרה היא ה[[מכפלה (תורת הקטגוריות)|מכפלה]] של <math>\mathbb{P}^n_k</math> ו-<math>\mathbb{P}^m_k</math> ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריית]] היריעות הפרויקטיביות. עובדה זאת מאפשרת להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות מבלי להיזדקק להגדרת מושג הכללי של יריעה אלגברית.

== דוגמה ==
[[קובץ:Xy_graph.jpg|שמאל|ממוזער|260px|ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של ירעת סגרה <math>\Sigma^{1,1}_{\R}</math> עם <math>\mathbb A^3_k\subset \mathbb P^3_k</math>, מהווה את הגרף של הפונקציה <math>f(x,y)=xy</math>]]

העתקת סגרה ממכפלה של שני [[ישר פרויקטיבי|ישרים פרויקטיבים]] נתונה על ידי
 <center><math>s_{1,1} : \begin{array}{rcl} \mathbb{P}^1_k \times \mathbb{P}^1_k & \longrightarrow & \mathbb{P}^3_k \\ \left( (x_0 : x_1 ), ( y_0 : y_1 ) \right) & \longmapsto & \left( x_0 y_0 : x_0 y_1 : x_1 y_0 : x_1 y_1 \right) \end{array}</math>
</center>
ויריעת סגרה היא
<center><math>\Sigma^{1,1}_k = \mathcal{V}(z_{00} z_{11} - z_{01} z_{10})=\{(z_{00}:z_{01}:z_{10}:z_{11})\in \mathbb{P}^3|z_{00} z_{11} - z_{01} z_{10}=0\}</math>.</center>
החיתוך של יריעת סגרה עם המרחב האפיני <math>\mathbb A^3_k\subset \mathbb P^3_k</math> הוא למעשה הגרף של הפונקציה
<center><math>(x,y)\mapsto xy.</math>
</center>

== ראו גם ==
* [[מרחב פרויקטיבי]]
* [[יריעה אלגברית]]
* [[יריעה פרויקטיבית]]
* [[קואורדינטות הומוגניות]]
* [[מכפלה (תורת הקטגוריות)]]
* [[גאומטריה אלגברית]]

[[קטגוריה:גאומטריה אלגברית]]
[[קטגוריה:גאומטריה פרויקטיבית]]