הצגת המקור של הדף "שיפוע"


[[קובץ:Slope picture.svg|שמאל|ממוזער|שיפוע של ישר: ''m'' = Δ''y''/Δ''x''.]]
[[קובץ:Nederlands verkeersbord J6.svg|שמאל|ממוזער|120px|[[תמרור]] אזהרה ב[[הולנד]] על שיפוע של 10%]] 
ב[[גאומטריה]], '''שיפוע''' של [[ישר]] מתאר את עוצמת התלילות שלו. ערך ([[ערך מוחלט|מוחלט]]) גדול מצביע על תלילות גדולה. השיפוע מוגדר כיחס בין ההפרש ה[[אנכיות|אנכי]] בין שתי [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] על הישר להפרש ה[[אופקיות|אופקי]] בין אותן נקודות (ראו באיור משמאל).

באופן דומה נגדיר שיפוע בתחומי ה[[גאוגרפיה]] או [[הנדסה אזרחית]]. כך למשל, שיפוע של [[גבעה]] יוגדר כיחס בין הרום היחסי של הגבעה למרחק האופקי מתחתית הגבעה לשיאה. במילים אחרות, השיפוע מצביע על היחס בין שינוי הגובה לשינוי במרחק. כלומר, בגבעה תלולה המרחק האופקי בין תחתית הגבעה לשיאה יהיה קצר יחסית לגובה של הגבעה, בעוד שבגבעה מתונה המרחק האופקי יהיה ארוך ושיא הגבעה יהיה נמוך.{{הערה|ראו גם בערך [[תל המתלקט#מידות תל המתלקט|תל המתלקט]]}} 

שיפוע יכול להיות [[מספר חיובי|חיובי]], [[מספר שלילי|שלילי]], [[0 (מספר)|אפס]] או לא מוגדר. בישר הנמצא ב[[מערכת צירים קרטזית]] דו-ממדית, שיפוע חיובי משמעו שכאשר ערך ה-x גדל גם ערך ה-y גדל ("עלייה"). שיפוע שלילי משמעו שכאשר ערך ה-x גדל ערך ה-y קטן ("ירידה"). שיפוע שערכו אפס משמעו שאין שיפוע, כלומר מדובר בקו אופקי המקביל לציר ה-x. שיפוע לא מוגדר משמעו שמדובר בקו אנכי המקביל לציר ה-y.

[[ישרים מקבילים]] כאשר השיפועים שלהם שווים. ישרים [[אנך|ניצבים]] זה לזה כאשר [[כפל|מכפלת]] השיפועים שלהם שווה ל: 1-. בעזרת כלים מה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] ניתן להגדיר גם שיפוע של פונקציה בנקודה כלשהי כשיפוע של הישר ה[[משיק]] לפונקציה בנקודה זו. כאשר קיים שיפוע כזה נאמר שהפונקציה [[פונקציה גזירה|גזירה]] בנקודה והשיפוע שלה נקרא [[נגזרת]].

הנוסחה הבסיסית למציאת שיפוע ישר העובר בין הנקודות <math>(x_1,y_1)</math> ו- <math>(x_2,y_2)</math> היא <math>\,m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>.

==הגדרה==
השיפוע <math>m</math> בין שתי הנקודות <math>(x_1,y_1)</math>  ו־<math>(x_2,y_2)</math> על הישר מוגדר להיות השינוי בערכי ה-<math>y</math> [[חילוק|לחלק]] בשינוי בערכי ה-<math>x</math>: <math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>{{הערה|[[אלפבית יווני|האות היוונית]] [[Δ]] (דלתא) משמשת בדרך כלל ב[[מתמטיקה]] כדי לסמל "הבדל" או "שינוי".}}. האות <math>m</math> היא ה[[מוסכמה|מוסכמת]] לסימון שיפוע ב[[מערכת צירים קרטזית]]. היות שהשיפוע של ישר ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] שווה לאורך כל אורכו, אין חשיבות לאילו שתי נקודות נבחר על הישר, כל עוד הן שונות זו מזו. 

על פי ההגדרה מתקיים כי <math>m\cdot{\Delta x} = {\Delta y}</math>. כלומר, כאשר נעים על הישר משמאל לימין, על כל התקדמות של יחידה אחת בכיוון האופקי יש התקדמות של <math>m</math> יחידות בכיוון האנכי. ניתן להראות כי על פי חוקי ה[[טריגונומטריה]] מתקיים:  <math>\,m = \tan \theta\!</math>, כאשר  '''<math> \theta</math>''' היא ה[[זווית]] שבין ציר ה-<math>x</math> לישר (בכיוון החיובי).

ב[[מערכת צירים קרטזית]], [[משוואת ישר]] ששיפועו <math>m</math> היא: <math>\!\, y=mx+b</math>,,כאשר <math>\ b</math>מייצג את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-<math>y</math>.

עבור ישר אופקי מתקיים <math>\Delta y = 0</math> ו-<math>\Delta x \ne 0</math> ולכן השיפוע שווה ל-0.

עבור קו אנכי <math>\Delta y \ne 0</math> ו-<math>\Delta x = 0</math> ואז לפי הגדרת השיפוע מתקבל <math>m = \frac{\Delta y}{0}</math>. בהכרח מתקבלת [[חלוקה באפס]] ולכן השיפוע [[לא מוגדר|אינו מוגדר]]. אולם יש המגדירים את השיפוע במקרה זה להיות [[אינסוף|אינסופי]].

==דוגמאות==
שיפוע של ישר העובר דרך הנקודות: (1,2)  ו- (13,8)  מתקבל על ידי חישוב היחס של ההפרש האנכי וההפרש האופקי: <math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{13 - 1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}</math>

שיפוע של ישר העובר דרך הנקודות: (4,15)  ו- (3,21) הוא: <math>m = \frac{ 21 - 15}{3 - 4} = \frac{6}{-1} = -6</math>

==ראו גם==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/שיפוע|שם ויקיספר=שיפוע}}
* [[פונקציה ליניארית]]
* [[מישור משופע]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:גאומטריה]]