הצגת המקור של הדף "תבנית קילינג"

ב[[אלגברה מופשטת]], '''תבנית קילינג''' (נקראת על שם [[וילהלם קילינג]]) היא [[תבנית ביליניארית]] הקשורה ל[[אלגברת לי]] נתונה. תפקידה המרכזי הוא במתן [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותה של אלגברת לי [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]].{{ש}}

== הגדרה פורמלית ==

תהי <math>L</math> [[אלגברת לי]] נתונה מעל שדה <math>F</math>. '''תבנית קילינג''' של <math>L</math> היא התבנית
<center>
<math>k(x,y)=\operatorname{Tr}(\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y)</math>
</center>
כאשר <math>\operatorname{ad}</math> הוא [[ההצגה הצמודה]] ו-<math>\operatorname{Tr}</math> היא ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]].

==תכונות בסיסיות==
* תבנית קילינג היא סימטרית.
* תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-<math>k([x,y],z)=k(x,[y,z])</math>.
* ה[[תבנית ביליניארית|רדיקל]] <math>\operatorname{Rad}(k) = \left\{ x \in L \mid k(x,L)=0 \right\}</math> של תבנית קילינג הוא [[אידיאל (אלגברת לי)|אידיאל]].
* התבנית נשמרת על ידי [[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של <math>L</math>, כלומר <math>k(g(x),g(y))=k(x,y)</math> לכל אוטומורפיזם <math>g</math> של <math>L</math>.

== הקשר לאלגברות לי פשוטות למחצה ==

בעזרת תבנית קילינג אפשר לנסח [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותה של [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]]:

'''משפט:''' תהי אלגברת לי <math>L</math> מעל [[שדה סגור אלגברית]] ובעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז <math>L</math> היא פשוטה למחצה [[אם ורק אם]] תבנית קילינג שלה [[תבנית ביליניארית|רגולרית]], כלומר: הרדיקל שלה אפס <math>\operatorname{Rad}(k)=0</math>.

'''הוכחה:''' נניח ש-<math>L</math> פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>\operatorname{Rad}(k)</math> אידיאל פתיר, ולכן אפס. יהיו <math>x \in \operatorname{Rad}(k), y \in L</math>, מתקיים <math>\operatorname{Tr}(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)=0</math>. זה נכון בפרט ל-<math>y \in [\operatorname{Rad}(k),\operatorname{Rad}(k)] \subseteq L</math>, ולכן לפי [[קריטריון קרטן]] <math>\operatorname{Rad}(k)</math> פתיר.

''בכיוון ההפוך'', נניח ש-<math>k</math> רגולרית, כלומר <math>\operatorname{Rad}(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של <math>L</math> פשוטה למחצה הוא שכל [[אידיאל (אלגברת לי)|אידיאל]] אבלי (אידיאל <math>I</math> המקיים <math>[I,I]=0</math>) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה ב[[אלגברת לי פתירה|סדרת הנגזרת]] שלו שיהיה אבלי ולא אפס).

אם כן יהי <math>I</math> אידיאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו <math>x \in I, y \in L</math>, נביט במיפוי <math>\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y:L \rightarrow I</math>. אזי המיפוי בריבוע הוא <math>{(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)}^{2}:L \rightarrow [I,I]=0</math>, לכן <math>\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y</math> [[איבר נילפוטנטי]], ולכן <math>k(x,y)=Tr(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)=0</math>. כלומר <math>I \subseteq \operatorname{Rad}(k)=0</math>, ולכן הוא אפס.

== דוגמה ==
כאמור תבנית קילינג מהווה קריטריון להיות של אלגברת לי [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]]. בעזרתה אפשר להוכיח כי האלגברה
<math>sl(2,F)=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}:a,b,c\in F \right\} </math> פשוטה למחצה.

אכן, לפי הבסיס הסטנדרטי <math>\left\{ x= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},y=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},h=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\right\} </math>, המטריצה המייצגת היא <math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 8 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> שהיא [[מטריצה הפיכה]] (במאפיין שאיננו 2).

זוהי למעשה דוגמה לאלגברת לי פשוטה למחצה מממד 3, הנמוך ביותר האפשרי (כל אלגברת לי ממד 1 או 2 אינה פשוטה למחצה).

[[קטגוריה:אלגבראות לי]]