הצגת המקור של הדף "תוחלת"

{{פירוש נוסף}}
[[קובץ:Erwartungswert.png|שמאל|ממוזער|250px|התוחלת של משתנה מקרי היא ממוצע הערכים אותם צפוי המשתנה לקבל.]]
ב[[תורת ההסתברות]] וב[[סטטיסטיקה]], ה'''תּוֹחֶלֶת''' (ב[[אנגלית]]: '''Expected value''', ערך צפוי או '''Mean''', מסומנת: '''''E''''' או '''''μ''''', בהתאמה) של [[משתנה מקרי]] היא ממוצע הערכים אותם צפוי המשתנה לקבל, משוקלל על-פי ההסתברויות לקבלת הערכים השונים. לפי [[החוק החזק של המספרים הגדולים]], התוחלת היא הערך אליו שואפת התוצאה ה[[ממוצע]]ת של ניסוי כשמספר החזרות שואף ל[[אינסוף]].

לתוחלת יש שימוש נרחב ב[[פיזיקה סטטיסטית]], ב[[פיזיקה קוונטית]] וב[[הנדסה]].

== רקע ==

בניגוד ל[[ממוצע חשבוני|ממוצע החשבוני]] הרגיל, המחושב על ידי סיכום סדרת ערכים וחלוקת הסכום למספר הערכים, התוחלת היא [[ממוצע משוקלל]] של כל הערכים האפשריים, כשכל ערך משוקלל בהסתברות שלו. בזכות [[חוק המספרים הגדולים]], התוחלת מהווה קירוב לממוצע של סדרת תוצאות ארוכה, ויכולה לסייע בתחזיות של רווח והפסד וכדומה. בהתאם לכך, [[משחק מזל]] נחשב להוגן אם תוחלת הזכייה בו, בניכוי דמי ההשתתפות, היא אפס – דבר זה מצביע על כך שבטווח הארוך מחולקים כל דמי ההשתתפות בין השחקנים, ללא רווח או הפסד למארגנים. [[רולטה]] היא דוגמה למשחק מזל שאינו הוגן – משום שבגלגל הרולטה יש 38 תוצאות אפשריות, אבל כשהמהמר על אחד המספרים זוכה, משלמים לו פי 35 מדמי ההשתתפות. לפיכך, תוחלת ההפסד של המהמר היא <math>\ \frac{2}{38} \approx 0.0526</math> או 5.26 אחוזים מגובה ההימור בכל סיבוב של הרולטה, היינו, הפסד של כ-5.26 שקלים בהימור על מאה שקלים.

התוחלת מייצגת תוצאה "צפויה" (Expected) של ניסוי זהה החוזר על עצמו פעמים רבות, ומכאן מקורו של המונח בלועזית, אך לעיתים ערך התוחלת עצמה לא יהיה תוצאה "צפויה" במובן המקובל, כלומר הוא עשוי להיות נדיר או אפילו בלתי אפשרי (ראו [[תוחלת#דוגמה 1|דוגמה]] להמחשה).

== הגדרה ==

התוחלת מסומלת על ידי <math>\operatorname E X,\ \operatorname E(X),\ \operatorname E[X]</math> ולעיתים <math>\ \langle X\rangle</math>.

כאשר <math>X</math> הוא [[משתנה מקרי בדיד]] שמקבל את הערכים <math>x_1,x_2,\dots</math>, התוחלת תחושב על ידי ה[[טור (מתמטיקה)|טור]] <math>\operatorname E(X) = \sum_i x_i P(X=x_i)</math> (כמו בדוגמת הרולטה לעיל וב[[#דוגמה|דוגמה]] להלן). במקום לסכום על פי ערכי המשתנה, אפשר לסכום על פי ה[[מאורע]]ות ב[[מרחב הסתברות|מרחב המדגם]] <math>\Omega</math>: <math>\operatorname E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P(\omega)</math>. התוחלת קיימת רק אם הטור [[התכנסות בהחלט|מתכנס בהחלט]]. אם <math>X</math> הוא [[משתנה מקרי רציף]] בעל [[פונקציית צפיפות הסתברות]] <math>f</math> אזי <math>\operatorname E(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty x\; f(x)\; \mathrm dx</math> (בתנאי שהאינטגרל מתכנס בהחלט).

בצורה הכללית, אם ''<math>X</math>'' הוא משתנה מקרי המוגדר על [[מרחב הסתברות]] <math>(\Omega, \mathcal F, P)</math>, אזי התוחלת של ''X'' מוגדרת על ידי <math>\operatorname E(X) = \int_\Omega X \;\mathrm dP</math> כאשר האינטגרל הוא [[אינטגרל לבג]]. בדומה למקרה הבדיד, התוחלת '''קיימת''' רק כאשר האינטגרל מתכנס בהחלט.

'''[[מומנט (הסתברות)|מומנטים]]:''' המומנט מסדר <math>n</math> של משתנה מקרי ''<math>X</math>'' הוא התוחלת של החזקות ה-<math>n</math>-ית של ''<math>X</math>'', כלומר <math>\operatorname E\left(X^n\right)</math>.

כלומר במקרה הבדיד <math>\operatorname E(X^n) = \sum_i x_i^n P(X=x_i)</math>

או במקרה הרציף <math>\operatorname E(X^n) = \int\limits_{-\infty}^\infty x^n\; f(x)\; \mathrm dx</math>

'''המומנט מסדר ''<math>n</math>'' סביב התוחלת''' של ''<math>X</math>'' מוגדר כ-<math>\operatorname E\left((X-\operatorname E(X))^n\right)</math>, כאשר <math>n=2</math> הוא שווה ל[[שונות]].

'''אמידה:''' כדי [[אמידה|לאמוד]] את התוחלת של משתנה מקרי באופן אמפירי, מבצעים מדידות חוזרות של המשתנה ומחשבים את ה[[ממוצע חשבוני|ממוצע החשבוני]] של התוצאות ([[חוק המספרים הגדולים]] מבטיח שאומדן זה [[התכנסות בהסתברות|מתכנס בהסתברות]] לתוחלת). לאומדן זה יש התכונה שהוא ממזער את סכום ריבועי השגיאות ביחס לתוחלת.

== דוגמה 1==

הדגמת חישוב התוחלת של משתנה מקרי בדיד.{{ש}}
כאשר [[הטלת קובייה|מטילים קובייה הוגנת]] (בעלת שש פאות) ההסתברות לקבלת כל מספר מ־1 עד 6 שווה ל-1/6. המשתנה המקרי הוא תוצאת ההטלה של הקוביה והתוחלת של משתנה מקרי זה תחושב באופן הבא:
:<math>\operatorname E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} +
5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = 3.5</math>

דוגמה זו ממחישה שתי תכונות של התוחלת:
# '''תוצאה צפויה:''' ערך התוחלת (3.5) לא חייב להיות אחד הערכים האפשריים של המשתנה המקרי (המספרים השלמים 1–6).
# כאשר ההסתברות בניסוי לקבלת כל תוצאה היא שווה אזי התוחלת היא ה[[ממוצע]] החשבוני.

ניתן לתת לתוחלת את הפירוש הבא: אם משלמים למהמר לפי תוצאות הטלת הקובייה, דהיינו במקרה שייצא 1 – יקבל 1 ש"ח, במקרה שייצא 6 – יקבל 6 ש"ח, הרי שהסכום הממוצע שהמהמר צפוי לקבל לאחר 10 הטלות של הקובייה הוא <math>\ 35 = 10 \times 3.5</math> ש"ח.

==דוגמה 2 ==
על מנת לחשב תוחלת רווחה מהגרלה, נמפה את כל התוצאות האפשריות מההגרלה (זכייה או הפסד), נחשב את הסיכוי שכל מאורע יקרה ומה תוחלת התוצאה, ונסכם את כולם. קיימת גם אפשרות להפסד, בו המשתתף בהגרלה מפסיד את סכום ההגרלה.

לצורך הדוגמה נעזר בטבלה הבאה: (בהנחה שאלו פרסים קבועים שאינם משתנים, מספר המשתתפים בהגרלה הוא 16,273,488 והמחיר להשתתפות בהגרלה הוא ₪2.9).
{| class="wikitable"
|-
! רמת הפרס !! סכום הפרס !! מספר הזוכים || הסתברות הזכייה || ≈אחוז תוחלת הזכייה (*אחוז ההחזר) || ≈תוחלת הרווח הצפוי || ≈תוחלת הזכייה{{ש}}(=תוחלת הרווח)
|-
| 1 || 4,000,000 || 1 ||1/16,273,488 || 8.4758% || 0.2458 ₪ ||2.6542- ₪
|-
| 2 || 500,000 || 6 || 6/16,273,488 || 6.3569% || 0.1843 ₪ || 2.7157- ₪
|-
| 3 || 2,500 || 186 || 186/16,273,488 || 0.9853% || 0.0286 ₪ || 2.8714- ₪
|-
| 4 || 350 || 1,116 || 1,116/16,273,488 || 0.8277% || 0.0240 ₪ || 2.8760- ₪
|-
| 5 || 125 || 6,975 || 6,975/16,273,488 || 1.8475% || 0.0540 ₪
|2.8464- ₪
|-
| 6 || 40 || 41,850 || 41,850/16,273,488 || 3.5471%
|0.1030 ₪
|2.7971- ₪
|-
| 7 || 35 || 89,900 || 89,900/16,273,488 || 6.6673%
|0.1934 ₪
|2.7066- ₪
|-
| 8|| 10 || 539,400 || 539,400/16,273,488 || 11.4296%
|0.3315 ₪
|2.5685- ₪
|-
|'''סה״כ:''' || '''1.16 ₪ בממוצע''' || '''679,434''' || '''679,434/16,273,488''' || '''40.1371%''' || '''₪1.1640''' || '''1.7360-'''
|-
| שאינם זוכים{{ש}}בשום פרס אלא מפסידים את סכום ההגרלה || 2.9- || 15,594,054 || 15,594,054/16,273,488 || 95.8249%-
|2.7889-₪
|-
|'''סה״כ''' || '''1.16 ₪ בממוצע''' || '''16,273,488''' || '''1/1''' || '''55.6877%-'''
|'''1.6149-'''₪
|}

ניתן לחשב את '''תוחלת הרווח הצפוי''' בצורה הבאה:

בשביל לזכות בפרס הראשון יש רק אפשרות אחת מתוך סך של 16,273,488 אפשרויות כך שהסיכוי הוא 0.000006% והתקבול הוא 4,000,000 ש"ח.

באופן דומה נחשב עבור כלל אפשרויות הזכייה ואז נקבל:

<math> 4,000,000 \times \frac{1}{16,273,488} + 500,000 \times \frac{6}{16,273,488} + 2,500 \times \frac{186}{16,273,488} + 350 \times \frac{1,116}{16,273,488}
</math>

<math> +125 \times \frac{6,975}{16,273,488} + 40 \times \frac{41,850}{16,273,488} + 35 \times \frac{89,900}{16,273,488}+ 10 \times \frac{539,400}{16,273,488}= 1.164</math>

כלומר, אם לדוגמה עלות השתתפות במשחק זה היא 2.9 ₪ אזי תוחלת אחוז הרווח הצפוי שווה ל-40.1371575% (2.9 / 1.163977569) מההשקעה.

'''תוחלת ההפסד הצפוי''' מן ההשתתפות בהגרלה היא <math> -2.9 \times \frac{15,594,054}{16,273,488} = -2.7789</math>

כך שסך תוחלת הרווח מההגרלה היא:

<math> 1.164-2.7789 = -1.6149</math> והמשמעות היא שעבור כל 2.9 שח שיסכן משתתף ההגרלה, הוא תוחלת ההפסד היא 1.6149, שהם 55.6877%-

יש להבדיל בין '''תוחלת הזכייה'''/'''תוחלת ההפסד''' (שבה הערך המתקבל מייצג את סכום הרווח/ההפסד) לבין '''תוחלת הרווח הצפוי'''/'''תוחלת ההפסד הצפוי''' (שבה הערך המתקבל מייצג את הסכום הממוצע שמוחזר בכל הגרלה) הנובעות מההשתתפות בהגרלה, בשני המקרים האחוז זהה אך התוחלת שונה.
*בהגרלות בהן הפרסים מתחלקים בין הזוכים – תוחלת הצפי אינה בהכרח זהה לאחוז ההחזר המוקצה לפרסים כיוון שהסיכוי לנצח נשאר זהה, אך התקבול מזכייה יורד (מתחלק כאמור בין כמה זוכים), מה שמקטין עוד את תוחלת הרווח (קר, מגדיל את תוחלת ההפסד).

== תכונות התוחלת ==
* לשני משתנים מקריים בעלי אותה [[התפלגות הסתברות|התפלגות]] תהיה אותה תוחלת.

[[אופרטור (מתמטיקה)|אופרטור]] התוחלת <math>E</math> הוא [[טרנספורמציה ליניארית|ליניארי]], ולפיכך (כאשר <math>X,Y</math> משתנים מקריים המוגדרים על אותו מרחב הסתברות, ו-<math>a,b</math> [[מספרים ממשיים]]):{{ש}}
* <math>\operatorname E(a) = a </math>
* <math>\operatorname E(aX+b) = a\operatorname E(X)+ b </math>
* <math>\operatorname E(aX+bY) = a\operatorname E(X) + b\operatorname E(Y) </math>
* אופרטור התוחלת אינו כפלי, כלומר, השוויון <math>\operatorname E(XY) = \operatorname E(X)\operatorname E(Y)</math> אינו מתקיים בדרך כלל. כאשר השוויון מתקיים, אומרים שהמשתנים <math>X</math> ו-<math>Y</math> [[תלות (סטטיסטיקה)|בלתי מתואמים]]. כל שני משתנים [[תלות (סטטיסטיקה)|בלתי תלויים]] הם גם בלתי מתואמים. ההפרש <math>\operatorname E(XY)-\operatorname E(X)\operatorname E(Y)</math> הוא ה[[שונות משותפת|שונות המשותפת]] ומסומן לרוב <math>\operatorname{cov}(X,Y)</math>, שממנה אפשר לחשב את [[מתאם פירסון|מקדם המתאם]].
* אם X,Y משתנים מקריים, מתקיים <math>\ \operatorname E(X)=\operatorname E(\operatorname E(X|Y))</math>. תוצאה זו קרויה לפעמים "[[משפט ההחלקה]]".

== תוחלת של זמן המתנה ==

אם <math>X</math> הוא משתנה מקרי המקבל רק ערכים טבעיים, אז התוחלת שלו מקיימת <math>\operatorname E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\geq n)</math> (לנוסחה זו יש גם גרסאות כלליות יותר). ביטוי זה לחישוב התוחלת שימושי במקרה שהמשתנה מייצג את זמן ההמתנה עד להתרחשותו של מאורע (כגון הופעתה הראשונה של המלה "אנציקלופדיה" ב[[משפט אינסוף הקופים|סדרה של תווים אקראיים]]).

== ראו גם ==
{{מיזמים|ויקיספר=הסתברות/תוחלת ומומנטים/תוחלת}}
* [[תורת הערך]]
* [[תורת המספרים]]
* [[הסתברות]]
* [[מידה (מתמטיקה)]]
* [[משתנה מקרי]]
* [[שונות]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
{{יוטיוב|BtqJs8-Xnvs|שם=חישוב תוחלת ושונות במחשבון}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]
[[קטגוריה:מומנטים (תורת ההתפלגויות)]]
[[קטגוריה:ממוצעים]]
[[קטגוריה:הימורים: מינוחים]]