הצגת המקור של הדף "תורת המספרים"

'''תורת המספרים''' היא ענף של ה[[מתמטיקה]] העוסק בתחום רחב של נושאים, ששורשיהם בחקר התכונות של ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]].

בעיות רבות בתורת המספרים הן קלות לניסוח אך קשות מאוד לפתרון, וענפים נכבדים במתמטיקה מודרנית פותחו תוך ניסיון לפתור בעיות מסוג זה. דוגמה ידועה היא [[המשפט האחרון של פרמה]], ובעיות שהן עדיין פתוחות כמו [[השערת גולדבך]] (כל [[מספר זוגי]] הגדול מ-[[2 (מספר)|2]], הוא סכום של שני [[מספר ראשוני|ראשוניים]]), [[ראשוניים תאומים|השערת הראשוניים התאומים]] (שלפיה יש [[אינסוף]] זוגות של ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2) והשערת [[מספר מרסן|מספרי מרסן הראשוניים]] (שלפיה יש אינסוף מספרי מרסן ראשוניים וכתוצאה מכך קיימים אינסוף [[מספר משוכלל|מספרים משוכללים]]).

אף שרבות מהבעיות הוותיקות והקשות הללו לא מצאו עדיין את פתרונן יש בחלקן התקדמות רבה, למשל בעניין [[השערת גולדבך]] הוכיח [[צ'ן ג'ינגרון]] כבר ב-1966 שכל מספר זוגי גדול [[גדול מספיק|דיו]] הוא סכום של מספר ראשוני ומספר בעל 2 מחלקים ראשוניים בלבד לכל היותר. גם בעניין [[ראשוניים תאומים|השערת הראשוניים התאומים]] הוא התקדם בהוכיחו שלכל מספר שלם זוגי חיובי h, ישנם אינסוף ראשוניים p כך ש-p + h אף הוא בעל 2 מחלקים ראשוניים בלבד לכל היותר.<ref>Chen, J.R. (1973). "On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes". ''Sci. Sinica''. '''16''': 157–176.</ref> להשערה זו תרמו מכוון אחר גם [[טרנס טאו]] ו{{קישור שפה|2=James A. Maynard|3=ג'יימס מיינרד}} בהוכיחם שיש אין סוף זוגות ראשוניים שההפרש ביניהם הוא מספר זוגי קטן מ-246.<ref>"Bounded gaps between primes". ''Polymath (michaelnielsen.org)''. Retrieved 2014-03-27.</ref> 

==תחומים בתורת המספרים==
ניתן לחלק את תורת המספרים לתחומים, על-פי אופי הבעיות הנדונות ושיטות הפתרון.

ב'''תורת המספרים האלמנטרית''' נחקרות תכונותיהם של המספרים השלמים ללא ניצולן של טכניקות מענפי מתמטיקה אחרים. שאלות הקשורות ל[[מחלק|התחלקות]], [[האלגוריתם של אוקלידס]] למציאת [[מחלק משותף מקסימלי]], [[פירוק לגורמים של מספר שלם|פירוק לגורמים]] [[מספר ראשוני|ראשוניים]], [[מספר משוכלל|מספרים משוכללים]] ו[[סדרה חשבונית|סדרות חשבוניות]] נמצאות בתחום זה. משפטים מרכזיים הם [[המשפט הקטן של פרמה]] ו[[משפט אוילר]] המכליל אותו, [[משפט השאריות הסיני]], ו[[משפט ההדדיות הריבועית]]. נלמדות גם [[פונקציה אריתמטית|פונקציות אריתמטיות]], כמו ה[[פונקציית אוילר|פונקציה <math>\ \varphi</math>]] ([[פי]]) של [[לאונרד אוילר|אוילר]], שהן פונקציות המוגדרות על-פי תכונות מספריות.

{{עוגן|תורת המספרים האנליטית}}'''תורת המספרים האנליטית''' {{אנ|Analytic number theory}} משתמשת בכלים של [[חשבון אינפיניטסימלי]] ו[[פונקציה מרוכבת|פונקציות מרוכבות]] כדי להתמודד עם בעיות העוסקות בתכונותיהם של המספרים השלמים. כלים אלה הם שימושיים ביותר בחקר תכונותיהם של המספרים הראשוניים: [[משפט המספרים הראשוניים]], משפט מרכזי המתאר את צפיפותם של מספרים אלה, הוכח באמצעות כלים אנליטיים, וכמוהו גם תוצאות רבות אחרות הקשורות בראשוניים (ב-[[1949]] מצאו [[פאול ארדש]] ו[[אטלה סלברג]] הוכחה 'אלמנטרית' למשפט המספרים הראשוניים; הוכחה זו אינה משתמשת בכלים אנליטיים, אבל היא נחשבת למסובכת וקשה יותר מן ההוכחה האנליטית). [[השערת רימן]] היא [[בעיה פתוחה]] חשובה שצמחה מתורת המספרים האנליטית, ובעיות פתוחות כמו [[השערת גולדבך]] נחקרות באמצעים דומים.

ענף חשוב אחר בתורת המספרים האנליטית הוא תורת ה[[קירוב דיופנטי|קירובים הדיופנטיים]], העוסקת בקירובים רציונליים למספרים אי-רציונליים ומאפשרת לחקור את הפתרונות השלמים של [[משוואה|משוואות]] כגון <math>17 + x^3 = y^2</math>.

'''[[תורת המספרים האלגברית]]''' עוסקת ב[[מספר אלגברי#שלמים אלגבריים|שלמים אלגבריים]] שהם [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]] הרגילים: מספרים כמו <math>2+3\sqrt{5}</math> או <math>\frac{1+i\sqrt{3}}{2}</math> הם שלמים אלגבריים. למספרים אלה יש, בהנחות מסוימות, תכונות דומות למספרים השלמים הרגילים, וניתן בעזרתם לתקוף ביתר-קלות בעיות בתורת המספרים.

ב'''גאומטריה אלגברית אריתמטית''' חוקרים בעיות בתורת המספרים בכלים המשלבים [[גאומטריה]] ו[[אלגברה]]. האובייקטים העיקרים הנחקרים בתחום הם [[סכימה אריתמטית|סכימות אריתמטיות]]. בתחום זה נודעת חשיבות מיוחדת לחקר [[עקום אליפטי|עקומים אליפטיים]] והנקודות השלמות והרציונליות עליהם; ההוכחה של [[אנדרו ויילס|ויילס]] ל[[המשפט האחרון של פרמה|משפט האחרון של פרמה]] שייכת לתחום זה. השם '''תורת המספרים הגאומטרית''' (או '''גאומטריה של מספרים''') מתייחס לתחום קלאסי יותר, בעיקר התורה של [[הרמן מינקובסקי|מינקובסקי]] הדנה בגאומטריה של [[סריג (גאומטריה)|סריג]]ים.

'''[[תורת המספרים החישובית]]''' עוסקת בחקר [[אלגוריתם|אלגוריתמים]] הרלוונטיים לתורת המספרים. לאלגוריתמים לבדיקה מהירה האם מספר נתון הוא [[מספר ראשוני]] ול[[פירוק לגורמים של מספר שלם|פירוק לגורמים]] חשיבות גדולה ב[[קריפטוגרפיה]], תחום שהפך את תורת המספרים מענף עיוני לענף שימושי ביותר.

'''[[תורת המספרים האדיטיבית]]''' עוסקת בשאלות ובעיות בתורת המספרים המבקשות להציג מספר כסכום של מספרים מקבוצה נתונה. (למשל מספרים מקבוצת ה[ראשוניים] ב[[השערת גולדבך]] ומספרים מקבוצת החזקות ב[[בעיית ווארינג]])

'''[[תורת המספרים ההסתברותית]]''' מיישמת שיטות של [[הסתברות]] לתורת המספרים, בעיקר לגבי מספר הגורמים הראשוניים של מספר. ממייסדי תורה זו היה [[פאול ארדש]].

==היסטוריה==

המספרים הטבעיים מלווים את האדם משחר התרבות. לא ידוע מתי בדיוק נולד העניין בשאלות "מופשטות" הקשורות במספרים, שאלות שאינן קשורות ישירות בספירת עצמים. טבלאות [[בבל]]יות קדומות, מהתקופה שבין 1900 ל-1600 לפנה"ס, דנות ב[[שלשה פיתגורית|שלשות פיתגוראיות]], דהיינו מספרים שלמים המקיימים את התנאי <math>a^2+b^2 = c^2</math>. טבלה מפורסמת בשם [[פלימפטון 322]] שנחשבה בתחילה כמכילה רישום עסקאות מסחריות, היא למעשה רשימה מסודרת ומדויקת למדי של שלשות כאלה, אם כי אין זה ודאי שלכך הבבלים כיוונו.

תורת המספרים זכתה לפריחה ביוון הקדומה, במיוחד בעבודותיהם של [[פיתגורס]], [[אוקלידס]] ו[[דיופנטוס]].

תורמים בולטים לפיתוחו של ענף זה ב[[העת החדשה|עת החדשה]] הם [[פייר דה פרמה|פרמה]], [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]].

==ראו גם==
* [[גאומטריה דיופנטית]] ו[[משוואה דיופנטית]]
* [[קומבינטוריקה אריתמטית]]

==לקריאה נוספת==
*'''תורת המספרים האלמנטרית''', [[האוניברסיטה הפתוחה]], 2003
<div class="mw-content-ltr">
* {{Cite book
 |author1=G.H. Hardy |author1-link=גודפרי הרולד הארדי
 |author2=E.M. Wright |title=An introduction to the theory of numbers |year=2008 |origyear=1938
 |url=https://books.google.com/books?id=rey9wfSaJ9EC&dq | publisher=[[Oxford University Press]] |edition=rev. by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman, 6th
 |isbn=978-0-19-921986-5 }}
* {{Cite book
 |last=Vinogradov
 |first=I.M. |author1-link=איוואן וינוגרדוב
 |title=Elements of Number Theory |location=Mineola, NY
 |publisher=[[הוצאת דובר|Dover Publications]] |year=2003
 |origyear=1954 |edition=reprint of the 1954
 }}
</div>

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=תורת המספרים}}
* Oystein Ore, [http://archive.org/details/NumberTheoryItsHistory Number Theory and its History], McGraw-Hill, 1948
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007538746905171|תורת המספרים}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{מדעי המחשב}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:תורת המספרים|*]]