הצגת המקור של הדף "תורת הקבוצות"

{{סימון מתמטי}}
'''תורת הקבוצות''' היא תורה [[מתמטיקה|מתמטית]] בסיסית העוסקת במושג ה'''[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]''', שהיא אוסף מופשט של [[איבר (מתמטיקה)|איברים]] שונים זה מזה. התורה מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה כגון [[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]], [[פונקציה]], [[מספר]] ו[[אינסוף]]. [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], המנוסחת בשפה של ה[[לוגיקה מתמטית|לוגיקה המתמטית]], מספקת תשתית לכל תחומי המתמטיקה. כשלעצמה, תורת הקבוצות עוסקת בעיקר בתכונות של [[עוצמה (מתמטיקה)|מונים]] ו[[מספר סודר|סודרים]].

את תורת הקבוצות החל לפתח [[גאורג קנטור]] ב-[[1870]], בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת ה[[פונקציה ממשית|פונקציות הממשיות]]. קנטור חקר קבוצות של [[נקודת אי-רציפות|נקודות אי-רציפות]], ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים שפורסמו ב-[[1895]] וב-[[1897]] תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של [[מספר טרנספיניטי|מספרים טרנספיניטים]]" (ב[[גרמנית]] במקור), בכתב-העת [[Mathematische Annalen]].

בתחילת [[המאה ה-20]] התגלו בתורת הקבוצות [[פרדוקס]]ים, שנבעו מהיותה מתירנית מדי וחסרת ביסוס [[אקסיומה|אקסיומטי]] נאות. לשם פתרונן פותחה '''[[תורת הקבוצות האקסיומטית]]''', ובעקבות צעד זה ההתייחסות לתורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת '''[[תורת הקבוצות הנאיבית]]'''. תורת הקבוצות הנאיבית עודנה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה והתוצאות שלה נכונות גם בגרסה האקסיומטית.

==הגדרת הקבוצה==
'''קבוצה''' מוגדרת כאוסף של '''איברים.''' לכל קבוצה ולכל עצם בעולם נכונה בדיוק אחת משתי האפשרויות הבאות:
* העצם איבר בקבוצה
* העצם אינו איבר בקבוצה

את השייכות לקבוצה מסמנים ב[[אלפבית יווני|אות היוונית]] [[אפסילון]]. הסימון "<math>x\in A</math>" אומר "<math>x</math> שייך ל־<math>A</math>" במשמעות של <math>x</math> איבר בקבוצה <math>A</math>. אם <math>x</math> אינו איבר של <math>A</math>, מסמנים <math>x\notin A</math>.

בקבוצה אין משמעות לחזרות. כלומר, איבר לא יכול להופיע פעמיים בקבוצה: או שהוא שייך לה – או שאינו שייך. לדוגמה, הקבוצה <math>\left\{x,x,x\right\}</math> היא בדיוק הקבוצה <math>\left\{x\right\}</math>, כלומר: <math>\left\{x,x,x\right\}=\left\{x\right\}</math>. בנוסף, אין חשיבות לסדר בייצוג הקבוצה, למשל: <math>\left\{1,2,3\right\}=\left\{2,3,1\right\}</math>.

נתבונן עתה בקבוצה <math>A</math> ועליה נשאל, "'''האם בקבוצה <math>A</math> יש איברים?'''"
* אם אין בה איברים, זוהי [[הקבוצה הריקה]] ונסמן: <math>A=\empty</math>.
* אם קיימים בה איברים, אז היא אינה ריקה: <math>A\ne\empty</math>.

את הקבוצה <math>A</math> שבה קיימים רק שלושת האיברים <math>a,b,c</math> נסמן: <math>A=\left\{a,b,c\right\}</math>.
אפשרות סימון נוספת היא על ידי תנאי, כלומר: <math>A=\left\{a \mid P(a)\ is\ True\right\}</math>, קבוצת כל ה-a-ים שעבורם [[פסוק (לוגיקה)|הפסוק הלוגי]] <math>P(a)</math> (תנאי כלשהו) מתקיים.

== יחסי ההכלה ==
אומרים ש-<math>A</math> '''מוכלת''' ב-<math>B</math> או '''חלקית''' ל-<math>B</math> (ומסמנים <math>A\subseteq B</math>) אם כל איבר של <math>A</math> הוא איבר של <math>B</math>. יחס חשוב זה מגדיר '''שוויון''' בין קבוצות: קבוצות הן שוות [[אם ורק אם]] יש להן אותם איברים. באופן שקול: <math>A=B</math> אם ורק אם <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math>. זו תכונה מהותית של קבוצות, הממחישה שאין להן מבנה או תכונות מעבר לרשימת האיברים שהן מכילות. שילוב היחסים מאפשר להגדיר חלקיות ממש: <math>A</math> חלקית ממש לקבוצה <math>B</math> אם ורק אם היא חלקית לה, אך אינה שווה לה; במקרה זה נסמן <math>A\subset B</math> או <math>A\varsubsetneq B</math>. כלומר, כל האיברים שבקבוצה <math>A</math> שייכים גם לקבוצה <math>B</math>, אך קיים לפחות איבר אחד אשר שייך ל־<math>B</math> ואינו שייך ל־<math>A</math>.

==פעולות על קבוצות==
[[קובץ:Venn A intersect B.svg|ממוזער|250px|[[דיאגרמת ון]] של ה'''חיתוך''' של '''A''' ו-'''B''']]
באוסף של קבוצות מתקיימות ה[[אופרטור|פעולות]] הבאות:
* '''[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]]''': האיחוד של שתי קבוצות <math>A</math> ו-<math>B</math> הוא קבוצה המכילה את כל ה[[איבר (מתמטיקה)|איברים]] של <math>A</math> ואת כל האיברים של <math>B</math>, בלי איברים אחרים. האיחוד של <math>A</math> ו-<math>B</math> נכתב בדרך כלל כך: <math>A \cup B</math>.

:בכתיב פורמלי:
:<math>x \in A \cup B</math> (<math>\ x</math> הוא איבר ב-<math>\ A\cup B</math>) [[אם ורק אם]] <math>x \in A</math> [[OR לוגי|או]] <math>x \in B</math>.
* '''[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]]''': החיתוך של שתי קבוצות <math>\ A</math> ו-<math>\ B</math> הוא הקבוצה המכילה את כל ה[[איבר (מתמטיקה)|איברים]] ב-<math>\ A</math> ששייכים גם ל-<math>\ B</math> (או באופן שקול, כל האיברים ב-<math>\ B</math> ששייכים גם ל-<math>\ A</math>), ורק אותם. החיתוך של <math>\ A</math> ו-<math>\ B</math> נכתב בדרך כלל כך: <math>\ A\cap B</math>. בכתיב פורמלי: <math>\ x\isin A\cap B</math> (<math>\ x</math> הוא איבר ב-<math>\ A\cap B</math>) אם ורק אם <math>\ x\isin A</math> [[וגם (לוגי)|וגם]] <math>\ x\isin B</math>.

:לדוגמה: החיתוך של קבוצת אזרחי ישראל עם קבוצת אזרחי צרפת הוא קבוצת האנשים שלהם [[אזרחות כפולה]], ישראלית וצרפתית.
* '''[[משלים (מתמטיקה)|משלים]]''': משלים של קבוצה <math>G</math> הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל ה[[איבר (מתמטיקה)|איברים]] שאינם נמצאים ב-<math>G</math>. זאת ביחס לקבוצה <math>U</math> כלשהי שהיא '''הקבוצה האוניברסלית''' - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא [[תת קבוצה]] של <math>U</math>. נהוג לסמן משלים בסימונים <math>G^c</math> או <math>\bar{G}</math>.
:דוגמה: המשלים של קבוצת אזרחי ישראל הוא קבוצת האנשים שאינם ישראלים. בדוגמה זו מובלעת ההנחה שהקבוצה האוניברסלית בהקשר זה היא קבוצת האנשים. בדרך כלל ברור מתוך ההקשר מהי הקבוצה האוניברסלית, אך לעיתים ראוי לציין זאת במפורש.
* '''[[הפרש (תורת הקבוצות)|הפרש]]''': ההפרש בין קבוצה <math>A</math> לקבוצה <math>B</math> הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ששייכים ל-<math>A</math> אך לא ל-<math>B</math>. מסמנים את ההפרש ב-<math>A \setminus B</math> או <math>A - B</math>. בכתיב פורמלי: <math>x \in A \setminus B</math> (<math>\ x</math> הוא איבר ב-<math>A \setminus B</math>) [[אם ורק אם]] <math>x \in A</math> [[וגם (לוגי)|וגם]] <math> x \notin B</math>.
:מתקיים <math>A \setminus B = A \cap B'</math>.
:בהינתן קבוצה <math>G</math>, המשלים שלה ביחס לקבוצה <math>U</math> הוא אם כן <math>G^c = U \setminus G</math>.
* '''[[מכפלה קרטזית]]''': בהינתן שתי קבוצות <math>A,B</math>, המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת <math>A \times B</math> והיא הקבוצה שמכילה את אוסף ה[[זוג סדור|זוגות הסדורים]] <math>(a,b)</math> כך ש-<math>a \in A</math>, <math>b \in B</math>.
* '''[[הפרש סימטרי]]''': הפרש סימטרי של שתי קבוצות <math>A,B</math> הוא הקבוצה <math>C</math> המורכבת מכל [[איבר (מתמטיקה)|איברי]] <math>A</math> שלא שייכים ל-<math>B</math> וכל איברי <math>B</math> שלא שייכים ל-<math>A</math> - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.

:בכתיב פורמלי: ההפרש הסימטרי, המסומן <math>\triangle</math> מוגדר כדלהלן:
:<math>A \,\triangle\, B = (A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B)</math>
* '''[[קבוצת החזקה]]''': קבוצת החזקה של קבוצה נתונה <math>A</math> היא קבוצת כל תתי הקבוצות של <math>A</math>, היינו <math>P(A) = \{B: B \subseteq A\}</math>. עוצמת קבוצת החזקה היא <math>2^{|A|}</math>, ו[[משפט קנטור]] קובע כי עוצמת קבוצת החזקה גדולה ממש מעוצמת הקבוצה.

==יחסים ופונקציות==
===יחס===
'''[[יחס (תורת הקבוצות)|יחס בינארי]]''' הוא קבוצה של [[זוג סדור|זוגות סדורים]]. יחסים מהווים כלי חשוב לזיהוי קבוצות ואיברים. פורמלית, יחס מקבוצה <math>A</math> לקבוצה <math>B</math> הוא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית <math>R \subseteq A \times B</math>, ולכל <math>(a,b) \in R</math> מסמנים <math>aRb</math>. אומרים שהיחס הוא על קבוצה <math>A</math> אם זה יחס מהקבוצה אל עצמה. למשל, היחס <math><</math> ([[אי-שוויון (מתמטיקה)|קטן ממש]]) על הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math> הוא היחס <math>\{(1,2),(1,3),(2,3)\}</math>.

יחס על <math>A</math> נקרא '''[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיבי]]''' אם <math>\forall a \in A: (a,a) \in R</math>, '''[[יחס סימטרי|סימטרי]]''' אם <math>(a,a') \in R \Rightarrow (a',a) \in R</math>, ו'''[[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]]''' אם <math>aRb,bRc \Rightarrow aRc</math>. יחס המקיים את שלוש התכונות הללו נקרא [[יחס שקילות]]. ליחסים כאלה תפקיד בסיסי וחשוב בכל תחומי המתמטיקה, והם מגדירים שקילויות בין איברים וקבוצות, ומאגדים איברים הנחשבים שקולים לאיבר אחד, המכונה '''[[מחלקת שקילות]]'''. מחלקות השקילות מהוות [[חלוקה (תורת הקבוצות)|חלוקה]] של הקבוצה – הן זרות ואיחודן הוא כל הקבוצה. גם ההפך נכון, בהינתן חלוקה, ניתן להגדיר יחס שקילות שמחלקות השקילות שלו הן איברי החלוקה. כלומר, יש התאמה מלאה בין יחסי שקילות לחלוקות של קבוצה נתונה.

יחס על <math>A</math> יקרא '''[[יחס סדר]]''' אם הוא טרנזיטיבי, רפלקסיבי ו[[יחס אנטי-סימטרי|אנטי סימטרי]], (לחלופין, טרנזיטיבי, א-סימטרי, וא-רפלקסיבי היינו <math>\forall a \in A: (a,a) \not\in R</math>). היחס יקרא '''[[יחס סדר מלא]]''' אם כל שני איברים ניתנים להשוואה, ו'''[[יחס סדר טוב]]''' אם הוא מלא ולכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון. יחסי הסדר הקלאסיים על המספרים כולם יחסי סדר מלאים. יחס ההכלה הוא יחס סדר לא מלא. לכל יחס סדר ניתן לבנות את [[דיאגרמת הסה]] שלו - בדיאגרמה זו יש קו בין איבר תחתון לעליון, אם התחתון מתייחס לעליון. במקרה שהיחס מלא, מתקבלת שרשרת ארוכה של התייחסויות. באופן כללי, שרשרת עולה ביחס היא מהצורה <math>a_1<a_2<a_3<...</math>. [[הלמה של צורן]] קובעת כי בקבוצה סדורה חלקית, אם לכל שרשרת קיים [[חסם מלעיל]], אז יש בקבוצה [[איבר מקסימלי]].

===פונקציה===
'''[[פונקציה]]''' מורכבת משלושה חלקים: [[תחום של פונקציה|תחום]], [[טווח של פונקציה|טווח]] וכלל התאמה בניהם. פורמלית, פונקציה מקבוצה <math>A</math> (התחום) לקבוצה <math>B</math> (הטווח) היא יחס חד ערכי, כלומר תת-קבוצה <math>R \subseteq A \times B</math> המקיים <math>aRb, aRb' \Rightarrow b=b'</math>. כלומר, לכל איבר בתחום מתאים איבר יחיד בטווח. אם קיים איבר בתחום שלא קיימת לו התאמה בטווח, אזי היחס אינו פונקציה. בנוסף, אם קיים איבר במקור שמתאים לשני איברים שונים בטווח, גם אז היחס אינו פונקציה.

פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום איבר אחר בטווח נקראת [[פונקציה חד-חד-ערכית]]. פונקציה עבורה לכל איבר בטווח קיים איבר בתחום, כלומר [[תמונה של פונקציה|התמונה שלה]] שווה לטווח שלה, תיקרא [[פונקציה על]]. [[פונקציה חד-חד-ערכית ועל|פונקציה שהיא גם על וגם חד-חד ערכית]] מוכיחה את שקילות הקבוצות. פונקציה כזו היא גם [[פונקציה הפיכה|הפיכה]]. גם ההפך נכון, אם הפונקציה הפיכה אז קיימת לה פונקציה חד-חד ערכית ועל.

הפונקציה היא מונח כללי השימושי בכל ענפי המתמטיקה. למחקר פונקציות והתכונות שלהן מקום מכריע בכל המתמטיקה. ניתן להגדיר פונקציות משמרות תכונות, [[פונקציה רציפה (אנליזה)|פונקציות רציפות]], [[פונקציה גזירה|פונקציות גזירות]] וכו', ולחקור את המבנים הנוצרים. הדגש על מעברים בין אובייקטים, המכליל את הרעיון של הפונקציה, נתון במושג ה[[מורפיזם]] ב[[תורת הקטגוריות]].

==קבוצה אינסופית ועוצמה==
קבוצה ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], כלומר ...1,2,3 אשר כבר מוכרים לנו מחיי היום יום מוסמנת באות <math>\mathbb{N}</math>, כלומר: <math> \mathbb{N} = \left\{1,2,3,...\right\} </math>. הקבוצה <math>\mathbb{N}</math> מוגדרת באופן שאינו מאפשר לספור את איבריה, כלומר, אם ננסה לספור אותם, תמיד יהיו עוד איברים לספור. תכונה זו נלמדה על ידי רבים והוצעו מספר דרכים לתאר קבוצה מסוג זה באופן מתמטי. קנטור השתמש בדרך אחרת להתמודד עם בעיית הספירה וההתייחסות אל גודלן של קבוצות אלו. הוא החליף את פעולת הספירה האינטואיטיבית בשימוש בכלים מתמטיים כגון [[פונקציה|פונקציות]], דבר שאיפשר להרחיב את היחסים המוכרים בין הקבוצות הסופיות גם ל[[קבוצה אינסופית|אינסופיות]]. אם קיים מיפוי דו-כיווני בין שתי קבוצות סופיות, קרי, [[פונקציה חד חד ערכית ועל|פונקציה חד-חד ערכית ועל]] מ-<math>A</math> [[פונקציה על|על]] <math>B</math> (או מ־<math>B</math> ל־<math>A</math>) הרי שלשתי הקבוצות יש אותו גודל.

למשל לקבוצות הסופיות <math>A,B</math> המוגדרות:

:<math> A = \left\{1,2,3,4\right\} </math>
:<math> B = \left\{c,d,e,f\right\} </math>

נבנה פונקציה חד-חד ערכית מ-<math>A</math> על <math>B</math>: (בשימוש ב[[זוג סדור|זוגות סדורים]])
:<math> f = (A,B,\left\{(1,c),(2,d),(3,e),(4,f)\right\}) </math>

מקיום המיפוי נסיק שקבוצות אלו הן באותו גודל. מצאנו דרך מתמטית לטפל בהשוואת גודלן של קבוצות סופיות בלי לספור את איבריהן. במינוח המתמטי, אם קיים יחס שקילות בין שתי קבוצות. אז הקבוצות הן '''שוות עצמה'''.<!--יחס שקילות הוגדר כבר בתחילת הערך-->

נבדוק עכשיו שקילות של קבוצות אינסופיות כלשהן, למשל, קבוצות המספרים הטבעיים, וקבוצת הטבעיים הזוגיים המוגדרות:

:<math> \mathbb{N} = \left\{1,2,3,...\right\} </math>
:<math> \mathbb{N}_{\text{even}} = \left\{2,4,6,...\right\} </math>

נגדיר פונקציה:

:<math> f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}_{\text{even}},\quad f(n)=2n </math>

פונקציה זו, המוגדרת בין שתי הקבוצות, היא חד-חד ערכית ועל. מסקנה: קבוצת המספרים הטבעיים שקולה לקבוצת המספרים הזוגיים הטבעיים.

נגדיר באופן מדויק מהי [[קבוצה אינסופית]]: '''קבוצה אינסופית''' היא קבוצה שקיימת לה קבוצה חלקית ממש ושקולה לה. או לחלופין: '''קבוצה היא אינסופית''' [[אם ורק אם]] קיימת [[פונקציה חד-חד ערכית]] מ-<math>A</math> ל-<math>A</math> שאינה [[פונקציה על|על]] <math>A</math>. תכונה זו לא מתקיימת בקבוצות סופיות, אך היא מתקיימות בקבוצות שעוצמתן אינסופית.

ישנן קבוצות אינסופיות רבות שונות בגודלן זו מזו. מושג ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] משמש כיום כלי מרכזי בהתייחסות מתמטית לגודלן של קבוצות, בייחוד אינסופיות. מסמנים את העוצמה של קבוצה ב-<math>|A|</math>; אומרים ש-<math>|A| \le |B|</math> אם יש פונקציה חד-חד-ערכית <math>f \colon A \to B</math>, ו-<math>|B| \le |A|</math> אם יש פונקציה על <math>f \colon A \to B</math>.קבוצות נקראות שקולות עוצמה אם יש ביניהן פונקציה הפיכה, ומסמנים <math>|A|=|B|</math>. [[משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]] קובע כי מכך ש-<math>|A| \le |B|</math>, <math>|B| \le |A|</math> ניתן להסיק כי <math>|A|=|B|</math>.

תוצאות נוספות (ולעיתים מפתיעות) ביחסים בין קבוצות אינסופיות: קנטור הוכיח קיום שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים ל[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]]. כמו כן, [[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט קנטור]] הוכיח אי שקילות בין כל קבוצה ל[[קבוצת החזקה]] שלה ו[[האלכסון של קנטור]] הוכיח אי שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים לממשיים.

קבוצה השקולה לתת קבוצה כלשהי של הטבעיים נקראת [[קבוצה בת-מנייה]]. חיתוך, מכפלה קרטזית סופית ואיחוד בן מנייה של קבוצות בנות־מנייה נשאר בן מנייה. לעומת זאת קבוצת [[המספרים הממשיים]] וקבוצת [[מספר אי-רציונלי|המספרים האי־רציונליים]] הן [[קבוצה לא בת-מנייה|קבוצות שאינן בנות־מנייה]]. כלומר, שעוצמת גדולה מ[[אלף אפס]], [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] המספרים הטבעיים.

== עוצמות ==
{{להשלים|נושא=מדע וטכנולוגיה}}

==סודרים==
לסודרים שימושים רבים בתחומים שונים ולא צפויים במתמטיקה, והם מהווים מונח יסוד בתורת הקבוצות. חשיבותם נובעת מ[[משפט הסדר הטוב]], על פיו ניתן להגדיר על כל קבוצה לא ריקה יחס סדר, המקיים את התכונה הבאה: בכל תת-קבוצה לא ריקה קיים אבר מינימלי (אבר קטן ביותר).

'''[[מספר סודר|סודר]]''' הוא קבוצה הסדורה היטב לפי היחס <math>\in</math> שהיא גם <math>\in</math>-טרנזטיבית (כלומר, אם <math>x \in y \in A</math> אז <math>x \in A</math>. בין כל שני סודרים קיים יחס סדר. יתרה מזאת, כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית סדר לסודר יחיד, המהווה מעין נציג קנוני במחלקה שלה.

ניתן גם להגדיר פעולות בין סודרים, כמו חיבור, הפרש, כפל וחזקה. פעולות אלו שומרות חלקית על התכונות של הפעולות הרגילות על מספרים (למשל, החיבור איננו חילופי). ניתן להגדיר פונקציות מונוטוניות ורציפות בין סודרים, ביחס ל[[טופולוגיית סדר]].

סודרים מאפשרים להגדיר בתורת הקבוצות את ה[[אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה הטרנספיניטית]] ולהוכיח את משפט ה[[הגדרה רקורסיבית|רקורסיה הטרנספיניטית]] המהווים הכללה של המונחים [[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] ו[[רקורסיה]] על הטבעיים, ולהם שימושים רבים.

==פרדוקסים==
הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, מובילה למספר פרדוקסים, בהם [[הפרדוקס של ראסל]]. בעקבות הסתירה אליה הוביל הפרדוקס של ראסל, ובעיות נוספות, בהן הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס לקבוצת החזקה שלה (ראו [[פרדוקס קנטור]]) ו[[הפרדוקס של בורלי-פורטי]], והצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי, פותחה [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום [[מתמטיקאי]]ם כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של [[ארנסט צרמלו]] ו[[אברהם הלוי פרנקל]] ([[אקסיומות צרמלו-פרנקל]]) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.

==לקריאה נוספת==
* [[אברהם הלוי פרנקל]], '''מבוא למתמטיקה''', כרך שני: האינסוף והמרחב, חטיבה ראשונה: תורת הקבוצות, [[הוצאת מסדה]], 1953

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקיספר=תורת הקבוצות|ויקימילון=תורת הקבוצות}}
* {{פא"ר|מספר=415|שם הספר=תורת הקבוצות|כותב=שמואל ברגר|שנה=1992}}
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PL71B97C1E3DE96C4A תורת הקבוצות] - הרצאות מוקלטות של פרופ' [[רון אהרוני]]
* {{לא מדויק|2019/10/19/what_is_set_theory|אז מה זו תורת הקבוצות?}}	
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007534067605171|תורת הקבוצות}}

{{תורת הקבוצות}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:תורת הקבוצות|*]]