הצגת המקור של הדף "תורת הקבוצות - מונחים"

* '''[[תורת הקבוצות]]''': ענף ב[[מתמטיקה]] העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס ל[[אקסיומה|אקסיומטיזציה]] של המתמטיקה.
** '''[[תורת הקבוצות הנאיבית]]''': ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים. 
** '''[[תורת הקבוצות האקסיומטית]]''': גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת [[הפרדוקס של ראסל]]. 

* '''[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]''': [[מושג יסודי]] בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. 

* '''[[תת קבוצה]]''': קבוצה <math>B</math> היא '''תת קבוצה''' של הקבוצה <math>A</math> אם כל איבר של <math>B</math> שייך גם ל-<math>A</math>. נסמן זאת בצורה: <math>B\subseteq A</math>.

* '''[[הקבוצה הריקה]]''': קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן <math>\emptyset</math> (שמקורו באות הנורווגית "&Oslash;" ) או בצורה {}. 
*'''[[יחידון]]''' (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
* '''[[פעולה בינארית|פעולות]] על קבוצות''':
**'''[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]]''': פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: <math>A\cup B</math>.
*** הפעולה איחוד היא [[קומוטטיביות|קומוטטיבית]] (חילופית) ו[[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]] (קיבוצית).
** '''[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]]''': פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: <math>A\cap B</math>. 
***הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
**** מתקיימת [[חוק הפילוג|דיסטריבוטיביות]] של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> ו-<math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)</math>
**'''[[הפרש קבוצות|הפרש]]''': ההפרש בין <math>A</math> ל־<math>B</math> הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־<math>A</math> ולא שייכים ל־<math>B</math>.
***פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.<!-- קח A=B=C -->
**'''[[הפרש סימטרי]]''': ההפרש הסימטרי של הקבוצות <math>A</math> ו-<math>B</math> הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי <math>A</math> שלא שייכים ל-<math>B</math> וכל איברי <math>B</math> שלא שייכים ל־<math>A</math> - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
***הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
** '''[[מכפלה קרטזית]]''': המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות <math>A,B</math> היא קבוצה המכילה את כל ה[[זוג סדור|זוגות הסדורים]] שאיברם הראשון שייך ל-<math>A</math> והשני שייך ל-<math>B</math>. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
*** הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
** '''[[בחירה (מתמטיקה)|בחירה]]'''
*'''[[קבוצות זרות]]''': שתי קבוצות הן זרות אם [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוכן]] הוא [[הקבוצה הריקה]].
* '''[[קבוצה אינסופית]]''': קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

* '''[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]]''': מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה <math>A</math> תסומן <math> \left|A\right| </math>.
**[[אלף אפס|'''<math>\aleph_0</math> (אָלֶף אֶפֶס)''']]: עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
** [[עוצמת הרצף|<math>\aleph</math> או <math>\mathfrak{c}</math>]]: עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם [[עוצמת הרצף]].

* '''[[השערת הרצף]]''': ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין '''<math>\aleph_0</math>''' ו-'''<math>\aleph</math>''', זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).

* '''[[קבוצה בת מנייה]]''': קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים ([[אלף אפס]]). 
* '''[[קבוצה שאינה בת מנייה]]''': קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה.
* '''[[קבוצת החזקה]]''': קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה <math>A</math> תסומן <math>\mathcal{P}(A)</math>.

* '''[[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]] (בינארי)''': קבוצה שמכילה [[זוג סדור|זוגות סדורים]], כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - <math>A</math>, והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - <math>B</math> (לא בהכרח שונה מ-<math>A</math>). בכתיב פורמלי: קבוצה <math>R</math> תיקרא יחס מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> אם <math>\!\,R\subseteq A\times B</math>.
**'''[[פונקציה]]''': יחס בו לכל איבר של <math>A</math> קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
***'''[[פונקציה חד-חד ערכית]]''': פונקציה <math>\!\,f:X\rarr Y </math> תקרא '''חד-חד ערכית''' (חח"ע) אם לכל <math>y</math> בטווח <math>Y</math> קיים לכל היותר ''<math>x</math>'' אחד בתחום <math>X</math> המקיים <math>\!\,f(x)=y</math>.
***'''[[פונקציה על]]''': פונקציה <math>\!\,f:X\rarr Y </math> תקרא '''על''' אם לכל ''<math>y</math>'' בטווח ''<math>Y</math>'' קיים לפחות ''<math>x</math>'' אחד בתחום ''<math>X</math>'' המקיים <math>\!\,f(x)=y</math>.
***'''[[פונקציה הפיכה]]''': פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל <math>y</math> קיים <math>x</math> יחיד כך ש-<math>f(x)=y</math> (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
** '''[[יחס שקילות]]''': יחס המקיים שלוש תכונות: [[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]], [[יחס סימטרי|סימטריות]] ו[[טרנזיטיביות]]. יחס מעל קבוצה <math>A</math> המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה ל[[מחלקות שקילות]].
** '''[[סדר חלקי]]''': יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי סימטריות]] ו[[טרנזיטיביות]].
*** '''[[סדר מלא]]''': סדר מלא הוא '''סדר חלקי''' בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
**** '''[[סדר טוב]]''': סדר טוב הוא '''סדר מלא''' בו לכל תת-קבוצה יש [[איבר מינימלי]].
*** [[שרשרת (מתמטיקה)|שרשרת]]: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).

* '''[[חזקה (מתמטיקה)#תורת הקבוצות|קבוצת כל הפונקציות]]''' מקבוצה <math>A</math> לקבוצה <math>B</math>: קבוצה המסומנת <math>B^A</math> והמכילה את כל ה[[פונקציה|פונקציות]] מהקבוצה <math>A</math> אל תוך הקבוצה <math>B</math>.

* '''[[הפרדוקס של ראסל]]''': פרדוקס שהראה ש[[תורת הקבוצות הנאיבית]] מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של [[תורת הקבוצות האקסיומטית]].

*'''[[ייחוס (תורת הקבוצות)|ייחוס]]''' של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.

* '''משפטים:'''
**'''[[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)]]''': משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
**'''[[האלכסון של קנטור]]''': קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
**'''[[משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]]''': משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה <math>A</math> לקבוצה <math>B</math>, וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה <math>B</math> לקבוצה <math>A</math>, אז שתי הקבוצות שקולות.

[[קטגוריה:תורת הקבוצות|*]]
[[קטגוריה:מונחונים]]