הצגת המקור של הדף "תורת שדות המחלקה"

ב[[מתמטיקה]], '''תורת שדות המחלקה''' מתארת את ההרחבות האבליות (כלומר, הרחבות גלואה עם חבורת גלואה אבלית) של [[שדה מקומי|שדות מקומיים]] ו[[שדה גלובלי|שדות גלובליים]]. חלק אחד של התורה מוקדש למיון ההרחבות האבליות; חלק נפרד של התורה, ברובו עדיין לא ידוע, מוקדש לבניות מפורשות שלהן.

==ההרחבה האבלית המקסימלית==

יהא <math> K </math> שדה מקומי או שדה גלובלי ויהא <math> K^{s} </math> [[סגור פריד]] של <math> K </math>. חוץ מהמקרים <math> K=\mathbb{R},\mathbb{C} </math> יש אינסוף הרחבות אבליות של <math> K </math>. הניסוחים המודרניים של תורת שדות המחלקה מאגדים את כל הטענות על ההרחבות האבליות הללו בעזרת ההרחבה האבלית המקסימלית, <math> K^{ab} </math>, שהיא איחוד כל ההרחבות האבליות של <math> K </math> בתוך <math> K^s </math>.

ההרחבה <math> K^{ab}/K </math> היא הרחבת גלואה אינסופית, וחבורת גלואה שלה, <math> Gal(K^{ab}/K) </math>, היא לכן חבורה פרו-סופית. החבורה <math> Gal(K^{ab}/K) </math> היא האבליזציה של חבורת גלואה האבסולוטית <math> Gal(K^s/K) </math>.

במונחים הללו, [[משפט קרונקר-ובר]], שהוא אחד המשפטים הראשונים בתורת שדות המחלקה, הוא הטענה ש-<math> \mathbb{Q}^{ab}/\mathbb{Q} </math> היא ההרחבה הנוצרת על ידי כל שורשי היחידה. כמסקנה, מקבלים [[איזומורפיזם]]

<math> Gal(\mathbb{Q}^{ab}/\mathbb{Q})\cong \prod_p \mathbb{Z}_p^\times </math>,

כאשר המכפלה היא על כל המספרים הראשוניים ו-<math> \mathbb{Z}_p^\times </math> הוא חבורת ההפיכים בחוג השלמים הp-אדים.

==תורת שדות המחלקה המקומית==

תורת שדות המחלקה המקומית מתארת את ההרחבות האבליות של שדות מקומיים. מכיוון שלשדה <math> \mathbb{C} </math> אין הרחבות אלגבריות לא טריביאליות ולשדה <math> \mathbb{R} </math> יש רק הרחבה אלגברית לא טריביאלית אחת, המיון של הרחבות אבליות לשדות הארכימדים ברור.

יהא <math> K </math> שדה מקומי לא ארכימדי עם חוג הערכה <math> O_K </math>. המשפט המרכזי של תורת שדות המחלקה המקומית הוא שהחבורה <math> Gal(K^{ab}/K) </math> היא ההשלמה הפרו-סופית של החבורה הכפלית <math> K^\times </math>. ליתר דיוק, יש הומומורפיזם <math> \theta_K:K^\times \rightarrow Gal(K^{ab}/K) </math>, שהוא השיכון של <math> K^\times </math> בהשלמה הפרו-סופית שלו. מכיוון ש-<math> K^\times\cong O_K^\times \times \mathbb{Z} </math>, נובע ש-<math> Gal(K^{ab}/K)\cong O_K^\times \times \widehat{\mathbb{Z}} </math>, כאשר <math> \widehat{\mathbb{Z}} </math> היא ההשלמה הפרו-סופית של השלמים.

ההעתקה <math> \theta_K </math> נקראת העתקת ארטין המקומית.

==תורת שדות המחלקה הגלובלית==

תורת שדות המחלקה הגלובלית מתארת את ההרחבות האבליות של שדות גלובלים. התיאור במקרה זה פחות מפורש מהמקרה המקומי ונעשה דרך [[חוג האדלים]] של השדה.

אם <math> \mathbf{A}_K </math> מסמן את חוג האדלים של <math> K </math>, יש שיכון <math> K^\times \rightarrow \mathbf{A}_K^\times </math> בין חבורות ההפיכים של <math> K </math> ושל <math> \mathbf{A}_K </math>. התמונה של <math> K^\times </math> היא דיסקרטית והמנה <math> K^\times \backslash \mathbf{A}_K^\times </math> נקראת חבורת מחלקות האידלים.

המשפט המרכזי של תורת שדות המחלקה הגלובלית הוא שהחבורה <math> Gal(K^{ab}/K) </math> איזומורפית להשלמה הפרו-סופית של החבורה <math> K^\times\backslash\mathbf{A}_K^\times </math>. ליתר דיוק, קיים הומומורפיזם <math> \theta_K:K^\times\backslash\mathbf{A}_K^\times \rightarrow Gal(K^{ab}/K)</math> שהוא ההומומורפיזם של ההשלמה הפרו-סופית. ההומומורפיזם <math> \theta_K </math> נקרא העתקת ארטין הגלובלית.

במקרה שהמציין של <math> K </math> הוא אפס, רכיב הקשירות של 0 בחוג <math> \mathbf{A}_K </math> הוא מהצורה <math> \mathbb{R}^{d_1}\times\mathbb{C}^{d_2} </math> ורכיב הקשירות של 1 בחבורה <math> \mathbf{A}_K^\times </math> הוא מהצורה <math> \mathbb{R}_+^{d_1}\times(\mathbb{C}^\times)^{d_2} </math>. לכן רכיב הקשירות של 1 בחבורת מחלקות האידלים גם הוא <math> \mathbb{R}_+^{d_1}\times(\mathbb{C}^\times)^{d_2} </math>. רכיב הקשירות הזה שווה לגרעין של העתקת ארטין הגלובלית. במקרה שהמציין של <math> K </math> חיובי, העתקת ארטין הגלובלית חד חד ערכית.

==הקשר בין העתקות ארטין==

עבור שדה גלובלי <math> K </math>, העתקת ארטין הגלובלית <math> \theta_K </math> והעתקות ארטין המקומיות <math> \theta_{K_v} </math> קשורות על ידי הנוסחה

<math> \theta_K((a_v)_{v\in V})=\prod_{v\in V} \theta_{K_v}(a_v) </math>

שבה <math> V </math> הוא אוסף ההערכות של <math> K </math>, <math> (a_v)_{v\in V} </math> הוא איבר של <math> \mathbf{A}_K^\times </math>, האיברים <math> \theta_{K_v}(a_v)\in Gal(K_v^{ab}/K_v) </math> מזוהים עם איברים בחבורה <math> Gal(K^{ab}/K) </math> על ידי העתקת הצמצום <math> Gal(K_v^{ab}/K_v)\rightarrow Gal(K^{ab}/K) </math>, והמכפלה מוגדרת היטב מכיוון שלכמעט כל הערכה <math> v </math>, מתקיים <math> \theta_{K_v}(a_v)=1 </math>.

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* Bjorn Boonen, [https://math.mit.edu/~poonen/papers/cft.pdf A Brief Summary of the Statements of Class Field Theory]
* Neukirch, Jürgen (1986), Class Field Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, {{ISBN|978-3-540-15251-4}}
</div>
==קישורים חיצוניים==
<div class="mw-content-ltr">
* Keith Conrad, [https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/cfthistory.pdf History of class field theory]
* Bjorn Poonen, [https://math.mit.edu/~poonen/papers/cft.pdf A Brief Summary of the Statements of Class Field Theory]
* J.S. Milne, [https://www.math.mcgill.ca/darmon/courses/18-19/cft/refs/milne.pdf Class Field Theory]
</div>

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אלגברה]]