הצגת המקור של הדף "תחום של פונקציה"

[[קובץ:Codomain2.SVG|250px|ממוזער|פונקציה <math>f</math> מ-<math>X</math> ל-<math>Y</math>. קבוצת הנקודות באליפסה האדומה מייצגת את <math>X</math>, התחום של <math>f</math>.]]
ב[[מתמטיקה]], '''תחום של פונקציה''' הוא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] הערכים שה[[פונקציה]] יכולה לקבל כ[[קלט]]. נהוג לסמן את התחום של הפונקציה <math>f</math> על ידי <math>\operatorname{dom}(f)</math>, בעקבות המינוח ה[[אנגלית|אנגלי]] '''Domain,''' שמשמעותו בעברית תחום. המושג המשלים לתחום של פונקציה הוא [[טווח של פונקציה|טווח]] של פונקציה.   

== הגדרה ==
עבור פונקציה <math>f\colon X\to Y</math>, התחום של <math>f</math> הוא <math>X</math>, והטווח שלה הוא <math>Y</math>. הגדרת התחום והטווח של הפונקציה היא חלק מהגדרת הפונקציה. 

במקרה ש-<math>X</math> ו-<math>Y</math> הן [[תת-קבוצה|תתי-קבוצות]] של <math>\R</math>, הפונקציה <math>f</math> מגדירה [[גרף של פונקציה|גרף]] ב[[מערכת צירים קרטזית]]. כלומר, ניתן לשרטט את גרף הפונקציה <math>f</math> על שני צירים אנכיים. במקרה זה, התחום מיוצג כ[[הטלה (מתמטיקה)|הטלה]] של גרף הפונקציה על ציר ה-<math>x</math>.

בפונקציה <math>f\colon X\to Y</math> הקבוצה <math>Y</math> נקראת '''[[טווח של פונקציה|טווח]]''', וקבוצת הערכים שהפונקציה מוציאה נקראת '''[[תמונה של פונקציה|תמונה]]'''. התמונה היא תמיד תת-קבוצה של הטווח. אם הן שוות אז <math>f</math> היא [[פונקציה על]].

ניתן לצמצם כל פונקציה לתת-קבוצה של התחום שלה. אם <math>A\subseteq X</math> ה[[צמצום פונקציה|צמצום]] של <math>f \colon X \to Y</math> ל-<math>A</math>, כאשר <math>A\subseteq X</math> ייכתב כך: <math>\left. f \right|_A \colon A \to Y</math>.

== תחום ההגדרה ==
[[קובץ:Square_root_0_25.svg|ממוזער|250px|הגרף של פונקציית [[שורש ריבועי|השורש הריבועי]] הממשית <math>f(x)=\sqrt x</math>. התחום שלה מורכב מכל המספרים הממשיים האי-שליליים.]]
לעיתים פונקציה אינה מוגדרת עבור כל ערכי התחום. למשל, כאשר [[פונקציה ממשית]] (שהטווח שלה הוא, על פי ההגדרה,  קבוצת המספרים הממשיים) ניתנת על ידי נוסחה שלא   מחזירה  מספר ממשי עבור חלק מהאיברים בתחום.  קבוצת האיברים שעליה הפונקציה מוגדרת (כלומר מחזירה ערך השייך לטווח) נקראת '''תחום ההגדרה'''. 

לדוגמה: הפונקציה הממשית <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> אינה מוגדרת בנקודה שבה <math>x=0</math>. וזאת משום שחלוקה ב0 אינה מוגדרת (חלוקה במספר <math>x</math>, על פי הגדרה, היא מכפלה ב[[מספר הופכי|הופכי הכפלי]] של <math>x</math> ,ול 0 לא קיים הופכי כפלי). לכן תחום ההגדרה של הפונקציה <math>f</math> הוא קבוצת כל [[המספרים הממשיים]] למעט אפס, כלומר: <math>\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}</math> או <math>\{x\in\mathbb R |\ x\ne 0\}</math>. 

בהקשרים רבים, נהוג לכנות פונקציה חלקית במונח הפשוט '''פונקציה''', ותחום ההגדרה שלה נקרא '''התחום שלה'''. 

אם הנוסחה מוגדרת רק לחלק מערכי התחום, נאמר שזו "[[פונקציה חלקית]]". "פונקציה" כזו, לא ניתן להפעיל על חלק מהערכים בתחום, מבלי להגיע לביטוי שאינו מוגדר.  

=== דוגמאות ===
* ה[[פונקציה מפוצלת|פונקציה המפוצלת]] <math>f</math> המוגדרת על ידי <math>f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x} &x\not=0\\
0 &x=0
\end{cases}</math> תחום ההגדרה שלה הוא קבוצת המספרים הממשיים (<math>\mathbb{R}</math>).
* תחום ההגדרה של פונקציית [[שורש ריבועי|השורש הריבועי]] <math>f(x)=\sqrt x</math> הוא קבוצת המספרים האי שליליים, המסומנת על ידי <math>\mathbb R_{\geq 0}</math> או ה[[קטע (מתמטיקה)|קטע]] <math>[0,\infty)</math> או הקבוצה <math>\{x\in\mathbb R|\ x\geq 0\}</math>.
* ל[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציה הטריגונומטרית]] מסומנת <math>\tan (x)</math>, יש את תחום ההגדרה קבוצת כל המספרים הממשיים שאינם מהצורה <math>\tfrac{\pi}{2} + k \pi</math> עבור <math>k</math> מספר [[מספר שלם|שלם]] כלשהו.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות]]