הצגת המקור של הדף "תיאור לגראנז'י ואוילרי של שדה זרימה"

{{עריכה|כל הערך=כן|נושא=מדע וטכנולוגיה}}	
ב[[תורת הזרימה]] הקלאסית, '''התיאור הלגראנז'י של שדה זרימה''' הוא צורת הסתכלות על תנועת זורם בה הצופה מביט על [[חלקיק]] בודד, או קבוצת חלקיקים בודדים של הזורם בתנועתם כתלות במיקום ובזמן. בהינתן מיקום של חלקיק בודד או מספר חלקיקים כתלות בזמן, יתקבל [[קווי זרם, קווי סימון וקווי מסלול|קו מסלול]] לפי התיאור הלגראנז'י.<div>ניתן לדמות את התיאור הלגראנג'י לצופה שיושב על סירה ושט במורד נהר.

'''התיאור האוילרי של שדה זרימה''' הוא צורת הסתכלות על תנועת הזורם כך שמסתכלים על נקודה במרחב ומתמקדים בחלקיקי הזורם שעוברים בנקודה כתלות בזמן. ניתן לדמות את התיאור האוילרי לצופה שעומד על סכר של נהר ומסתכל על הזורם שעובר מתחתיו. התיאור הלגראנז'י והאוילרי של שדה זרימה לעיתים מוגדרים גם כ'''נקודות ייחוס לגראנז'ית ואוילרית'''. התיאור של שדה הזרימה, הן הלגראנז'י והן האוילרי, יכולים להיות מיוחסים עבור כל [[מערכת ייחוס|נקודת ייחוס]] שנבחר, ובכל מערכת קואורדינטות שנבחר ([[מערכת צירים קרטזית|קרטזית]], גלילית או קוטבית). 

== הגדרה ==
בתיאור אוילרי של שדה, השדה מיוצג על ידי פונקציה של המיקום <math>\vec{x}</math> ושל הזמן <math>t</math>.

לדוגמה, מהירות הזרימה מיוצגת על ידי הפונקציה:
:<math>\vec{u}\left(\vec{x},t\right)</math>

לעומת זאת, בתיאור הלגראנז'י של שדה, תכונה של חלקיק בודד מיוצגת כתלות בזמן.

החלקיק מיוצג על ידי [[שדה וקטורי]] <math>\vec{x}_0</math> שאינו תלוי בזמן (לרוב, <math>\vec{x}_0</math> יבטא את מיקום [[מרכז מסה|מרכז המסה]] של החלקיק בזמן <math>t_0</math> כלשהו, כאשר הוא נבחר באופן מסוים על מנת לחשב את השינויים האפשריים כתלות בזמן. לכן מרכז המסה הוא [[פרמטר]] טוב לייצוג מהירות הזרימה <math>\vec{u}</math> של החלקיק).

בתיאור הלגראנז'י, הזרימה מיוצגת על ידי הפונקציה:
:<math>\vec{U}\left(\vec{x}_0,t\right)</math>

אשר נותנת את מיקום החלקיק המסומן ב־<math>\vec{x}_0</math> בזמן <math>t</math>.

הקשר בין התיאור הלגראנז'י והתיאור האיולרי של שדה נתון על ידי:
:<math>\vec{u}\left(\vec{U}(\vec{x}_0,t),t \right) = \frac{\partial \vec{U}}{\partial t}\left(\vec{x}_0,t \right)</math>

<span>מכיוון ששני האגפים של השוויון מתארים את מהירות החלקיק <math>\vec{x}_0</math> בזמן <math>t</math>.

במערכת הצירים שנבחרה, <math>\vec{x}_0</math> ו־<math>\vec{x}</math> מתארים את '''הקואורדינאטות הלגראנז'יות''', '''והקואורדינאטות האוילריות''' של הזורם.

== נגזרת חומרית ==
{{ערך מורחב|נגזרת חומרית}}
התיאור הלגראנז'י והתיאור האוילרי של [[קינמטיקה|קינמטיקת]] ו[[דינמיקה (מכניקה)|דינמיקת]] שדה הזרימה באים לידי ביטוח על ידי [[נגזרת חומרית|הנגזרת החומרית]] (נקראת גם נגזרת מלווה או נגזרת לגראנז'ית).

נניח שנתון שדה זרימה <math>\vec{u}</math>, וכמו כן נתונה תכונה כלשהי הנתונה בתיאור אוילרי <math>\vec{F}(\vec{x},t)</math> השינוי הכולל של התכונה <math>\vec{F}</math> שחווה חלקיק זורם ספציפי מבוטא על ידי: 
:<math>\frac{\mathrm{D}\vec{F}}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \vec{F}}{\partial t} + \vec{u}\cdot \nabla\vec{F}</math>
כאשר <math>\nabla \vec{F}</math> הוא ה[[גרדיאנט]] של <math>\vec{F}</math>, והאופרטור <math>\nabla\cdot \vec{u}</math> מופעל על כל איבר של <math>\vec{F}</math>).

הביטוי הנ"ל מראה את השינוי של השדה <math>\vec{F}</math> כאשר חלקיקי זורם נעים דרך שדה זרימה המבוטא בצורתו האוילרית <math>\vec{u}</math>.

הביטוי מתקבל באגף ימין של המשוואה מתקבל כתוצאה מ[[כלל השרשרת]] מכיוון שהפונקציה <math>\vec{F}(\vec{U}(\vec{x}_0,t)t)</math> היא פונקציה של <math>t</math>.

== ראו גם ==
* [[שדה (פיזיקה)]]
* [[מכניקת הזורמים]]
* [[קווי זרם, קווי סימון וקווי מסלול]]
* [[נגזרת חומרית]]
* [[מערכת ייחוס]]

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* {{Citation|first = G.K.|last = Batchelor|authorlink = George Batchelor|title = An introduction to fluid dynamics|publisher = Cambridge University Press|year = 1973|isbn = 0-521-09817-3}}
* {{Citation|first = Lev|last = Landau|authorlink = Lev Landau|first2 = E.M.|last2 = Lifshitz|author2link = Evgeny Lifshitz|title = Fluid Mechanics, 2nd Edition (Course of Theoretical Physics, Volume 6)|publisher = Butterworth-Heinemann|year = 1987|isbn = 978-0750627672}}
* {{Citation|first = H.|last = Lamb|authorlink = Horace Lamb|title = Hydrodynamics|edition = 6th|publisher = Cambridge University Press|year = 1994|origyear = 1932|isbn = 978-0-521-45868-9}}
* {{Citation|last = Falkovich|first = Gregory|year = 2011|title = Fluid Mechanics (A short course for physicists)|url = http://www.cambridge.org/de/academic/subjects/physics/nonlinear-science-and-fluid-dynamics/fluid-mechanics-short-course-physicists?format=HB|publisher = Cambridge University Press|isbn = 978-1-107-00575-4}}
</div>

[[קטגוריה:אווירודינמיקה]]
[[קטגוריה:הידרודינמיקה]]