הצגת המקור של הדף "תיאור פרמטרי של עקום"

[[קובץ:Butterfly transcendental curve.svg|שמאל|ממוזער|150 פיקסלים|דוגמה לעקומה המתוארת על ידי משוואה פרמטרית היא [[עקומת פרפר טרנסצנדנטלית]]]]
ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]], ובפרט ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]], '''תיאור פרמטרי של עקום''' הוא תיאור מפורש של משתני העקום באופן התלוי בפרמטר, במקום תיאור הנתון על ידי [[פונקציה סתומה]]. המעבר מתיאור של עקום על ידי תיאור מילולי או על ידי [[משוואה]] יחידה לתיאור פרמטרי נקרא "'''פרמטריזציה'''".

[[משוואה פרמטרית|משוואות פרמטריות]] של עקומים משמשות במספר ענפים ב[[מתמטיקה]] וב[[פיזיקה]], לעיתים כשהן מחליפות את התיאור הסתום של העקום. אחד הענפים בו נעשה שימוש רב בפרמטריזציה של עקומים הוא [[אנליזה וקטורית]], למשל לצורך חישובו של [[אינטגרל קווי]]. ב[[קינמטיקה]] עושים שימוש במשוואה פרמטרית כאשר קובעים את ה[[קואורדינטות]], [[מהירות]] וכל מידע אחר הנוגע ל[[גוף (פיזיקה)|גוף]] המצוי ב[[תנועה (פיזיקה)|תנועה]].

==דוגמאות==
המשוואה הפשוטה ביותר עבור [[פרבולה]] היא
:<math>y=x^2</math>
משוואה זו יכולה לעבור פרמטריזציה (תהליך שבו מוסף לה פרמטר כלשהו) באמצעות שימוש בפרמטר החופשי <math>t</math>, ולפיכך ניתן לקבוע כי
:<math>x=t,\,y=t^2</math>
כמובן ששימוש זה בפרמטר לא יעזור לנו כלל וכלל, כיוון שהיא משאירה אותנו באותו המצב רק עם אות אחרת. לעומת זאת, אם ניקח את הפונקציה הדו-ריבועית הבאה:
:<math>y=x^4+x^2+1</math>
נוכל לפשט את המשוואה על ידי שימוש ב-<math>t</math>:
:<math>t=x^2,\,y=t^2+t+1</math>
זהו תיאור בכלים ריבועיים, שהוא הרבה יותר קל.

על אף שהדוגמה שלמעלה נראית טריוויאלית, יש להשוותה מול הפרמטריזציה של ה[[מעגל]] בעל ה[[רדיוס]] <math>a</math>:
:<math>x=a\cos(t),\,y=a\sin(t)</math>
כדי לתאר [[עקומה|עקומות]] ב[[מרחב אוקלידי|מרחבים]] [[ממד (מתמטיקה)|מרובי ממדים]] נוח להשתמש במשוואות פרמטריות. לדוגמה:
:<math>x=a\cos(t),\,y=a\sin(t),\,z=bt</math>
מתארת עקומה ב[[מרחב תלת-ממדי]], שצורתה היא סליל בעל רדיוס <math>a</math> העולה ב-<math>2\pi b</math> יחידות עבור כל סיבוב.

ביטויים כגון אלו שלמעלה נכתבים בדרך כלל בצורה הבאה:
:<math display=block>\begin{matrix}r(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\bigl(a\cos(t),a\sin(t),bt\bigr)\\\\r(t)=\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\cos(t)\\a\sin(t)\\bt\end{bmatrix}\end{matrix}</math>

דרך זו לביטוי עקומות היא מעשית ויעילה; לדוגמה, ניתן לבצע [[אינטגרל|אינטגרציה]] ו[[נגזרת|גזירה]] של עקומות כאלה במקביל. באופן זה, ניתן לתאר את המהירות של [[חלקיק]] בעקבות תהליך הפרמטריזציה כך:
:<math display=block>v(t)=r'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr)=\bigl(-a\sin(t),a\cos(t),b\bigr)</math>
ואת ה[[תאוצה]] באופן הזה:
:<math display=block>a(t)=r''(t)=\bigl(x''(t),y''(t),z''(t)\bigr)=\bigl(-a\cos(t),-a\sin(t),0\bigr)</math>
באופן כללי, עקומה פרמטרית היא פונקציה של פרמטר עצמאי אחד. הרעיון המקביל של שניים (או יותר) פרמטרים עצמאיים נקרא [[משטח פרמטרי]].

==המרה של שתי משוואות פרמטריות למשוואה אחת==
המרה של קבוצת משוואות פרמטריות למשוואה אחת כוללת את מציאת הפתרון של אחת המשוואות (בדרך כלל הפשוטה מביניהן) עבור הפרמטר. לאחר מכן, הפתרון של הפרמטר מוכנס למשוואה שנותרה, והתוצאה של התהליך הזה היא פישוט המשוואה שהתקבלה. הפרמטר אף פעם לא קיים כאשר המשוואה היא יחידה (כלומר, הוא חייב "להתבטל" במהלך ההמרה), ובמילים אחרות: חובה לפתור את [[משוואות סימולטניות|המשוואות הסימולטניות]] עבור הפרמטר, והתוצאה תהיה משוואה אחת. במקרה שיש מגבלות על הערך שהפרמטר יכול לקבל, יש צורך לבצע פעולות נוספות.

==ראו גם==
*[[גאומטריה דיפרנציאלית של עקומות]]
*[[עקום בזייה]]

==קישורים חיצוניים==
* {{בריטניקה}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אלגברה]]