הצגת המקור של הדף "תיכושקף"

[[קובץ:Lemoine punkt.svg|ממוזער|שמאל|250px|משולש עם [[תיכון (גאומטריה)|תיכונים]] (שחור), חוצי זוויות (מקווקו), ותיכושקפים (אדום). התיכונים נחתכים ב-G, חוצי הזוויות ב-I והתיכושקפים ב-L, נקודת למואן]]

בגאומטריה, '''תיכושְקַף''' (ב[[אנגלית]]: symmedian) הוא ישר המתקבל משיקוף של [[תיכון (גאומטריה)|תיכון]] במשולש סביב [[חוצה זווית|חוצה הזווית]] מאותו הקודקוד.

שלושת התיכושקפים במשולש נפגשים בנקודה אחת שנקראת [[נקודת למואן]], שהיא [[הצמדה איזוגונלית|הצמודה האיזוגונלית]] ל[[תיכון_(גאומטריה)#מפגש_התיכונים|נקודת מפגש התיכונים]]. רוס הונסברגר קרא לקיום שלה "אחד מיהלומי הכתר בגאומטריה מודרנית".{{מקור}}

== איזוגונליות ==
לעיתים מאוד קרובות בגאומטריה, אפשר לקחת ישרים היוצאים מקודקוד במשולש ([[צ'ביאנה|צ'ביאנות]]), לשקף אותם ביחס לנקודת מפגש התיכונים לחוצי הזוויות, וגם לישרים החדשים יהיו תכונות מעניינות. לדוגמה, אם שלוש צ'ביאנות נחתכות בנקודה P, גם הישרים המשוקפים נחתכים בנקודה, הידועה כ[[הצמדה איזוגונלית|צמודה איזוגונלית]] של P. 

מקרה פרטי של הצמדה איזוגונלית הוא התיכושקפים: גם הם שיקופים של צ'ביאנות (התיכונים במקרה זה) ולכן הם נפגשים בנקודה, שהיא הצמודה האיזוגונלית למפגש התיכונים. נקודת זו נקראת [[נקודת למואן]].

== למת התיכושקף ==

==== ניסוח הלמה ====
יהי <math>ABC</math> משולש. נבנה נקודה <math>D</math> על ידי חיתוך [[משיק|המשיקים]] מ-<math>B,C</math> [[מעגל חוסם|למעגל החוסם]] של המשולש <math>ABC</math>. אז <math>AD</math> הוא התיכושקף מנקודה <math>A</math> של המשולש <math>ABC</math>.{{הערה|יופיי, ז'או (2010). [http://yufeizhao.com/olympiad/three_geometry_lemmas.pdf {{כ}} Three Lemmas in Geometry]{{כ}} (PDF). עמ' 5}}


למת התיכושקף נותנת לנו הגדרה שקולה לתיכושקף. במקרים רבים, נוח יותר לעבוד עם ההגדרה השקולה הנ"ל, ולא עם ההגדרה המקורית.

== הוכחות ללמת התיכושקף ==
[[קובץ:Symmedian Construction.png|שמאל|200px|ממוזער|]]

==== הוכחה ראשונה (חישוב [[טריגונומטריה|טריגונומטרי]]) ====
השיקוף של <math>AD</math> ביחס לחוצה הזווית מ-<math>A</math> חותך את <math>BC</math> בנקודה הנקרא לה <math>M'</math>. אז מ[[משפט הסינוסים]]:

<math display="block">\frac{BM'}{M'C} = \frac{AM'\cdot\frac{sin\angle{BAM'}}{sin\angle{ABM'}}}{AM'\cdot\frac{sin\angle{CAM'}}{sin\angle{ACM'}}}
=\frac{sin\angle{BAM'}}{sin\angle{ACD}}\cdot\frac{sin\angle{ABD}}{sin\angle{CAM'}}
=\frac{sin\angle{CAD}}{sin\angle{ACD}}\cdot\frac{sin\angle{ABD}}{sin\angle{BAD}}
=\frac{CD}{AD}\cdot\frac{AD}{BD}=1</math>

===== הוכחה שנייה ([[הצמדה איזוגונלית]]) =====
נגדיר את <math>D'</math> [[הצמדה איזוגונלית|כצמודה האיזוגונלית]] של <math>D</math>. ניתן לראות כי השיקוף של <math>CD</math> ביחס לחוצה הזווית של <math>C</math> הוא ישר המקביל ל-<math>AB</math>. אותו הדבר נכון ל-<math>BD</math>, ולכן <math>ABD'C</math> [[מקבילית]]. מזה נקבל כי <math>AD'</math> הוא [[תיכון (גאומטריה)|התיכון]], אבל <math>AD'</math> הוא השיקוף של <math>AD</math> ביחס ל[[חוצה זווית|חוצה הזווית]] מ-<math>A</math>.

====== הוכחה שלישית (חשבון [[זווית|זוויות]]) ======
לפי [[חזקה של נקודה|דרגת נקודה]], מתקיים <math>BD=CD</math>. לכן, קיים [[מעגל]] <math>\omega</math> עם מרכז ב-<math>D</math> שעובר בנקודות <math>B,C</math>. נסמן ב-<math>E,F</math> את נקודות החיתוך של <math>\omega</math> עם המשכי הצלעות <math>AB,AC</math> בהתאמה. מתקיים:

<math display="block">\angle BDE = 180^{\circ} - 2\cdot \angle DBE = 180^{\circ} -2\cdot (180^{\circ} -\angle ABC - \angle CBD) = 180^{\circ} -2\cdot (180^{\circ} - \angle ABC - \angle BAC) = 180^{\circ} - 2\cdot \angle ACB</math>

ובאופן סימטרי, נוכל לקבל <math display="inline">\angle CDF = 180^{\circ} - 2\cdot \angle ABC</math>. מכיוון ש-<math display="inline">\angle BCD= \angle CBD = \angle BAC</math>, מתקיים <math display="inline">\angle BDC = 180^{\circ} - 2\cdot \angle BAC</math>. אז קיבלנו: 

<math display="block">\angle EDF= \angle BED+\angle BDC+\angle CDF = 540^{\circ} -2\cdot( \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB) = 540^{\circ} -2\cdot180^{\circ} = 180^{\circ}</math>כלומר, הנקודות <math display="inline">E,D,F</math> הן על ישר אחד. 

מכיוון שהנקודות <math>B,C,F,E</math> על מעגל, מתקיים שהמשולשים <math>ABC</math> ו-<math>AFE</math> דומים, והם מתקבלים זה מזה על ידי שיקוף סביב [[חוצה זווית|חוצה הזווית]] של <math>\angle BAC</math> והומותטיה. לכן התיכון לצלע <math>BC</math> במשולש <math>ABC</math> הוא השיקוף סביב חוצה הזווית של <math>\angle BAC</math> של התיכון לצלע <math>EF</math> במשולש <math>AFE</math>, וזהו <math>AD</math>. לכן <math>AD</math> הוא השיקוף סביב חוצה הזווית של התיכון, כלומר <math>AD</math> הוא התיכושקף.

== קישורים חיצוניים ==
* {{MathWorld|Symmedian}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Sym2Antiparallel.shtml תיכושקף ואנטי-מקבילים] באתר Cut-the-knot

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:משולש]]