הצגת המקור של הדף "תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי"

'''תנאי הכרחי להתכנסות''' [[טור (מתמטיקה)#טורים אינסופיים|טורים אינסופיים]] הוא שהאיבר הכללי ישאף לאפס{{הערה|{{קישור כללי|הכותב=מירון טימור|כותרת='''אינפי 2''': טורים אינסופיים|כתובת=https://kotar.cet.ac.il/kotarapp/index/Book.aspx?nBookID=101013458|תאריך=1983|מידע נוסף=הוצאת דקל}}}}. באופן פורמלי: אם <math>\sum_{n\,=\,1}^\infty a_n</math> מתכנס אז <math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math>.

==שימוש==
כאשר בודקים אם סדרה מתכנסת או מתבדרת, לרוב בדיקה זו נבדקת תחילה תנאי הכרחי זה, בשל קלות השימוש בו.

שלא כמו [[מבחני התכנסות לטורים|מבחני התכנסות]], תנאי הכרחי להתכנסות אינו יכול להוכיח בעצמו שהטור מתכנס. זאת מהסיבה הפשוטה שמדובר ב[[תנאי הכרחי]] אך לא ב[[תנאי מספיק]]. לפיכך, הכיוון השני של המשפט אינו נכון. כלומר, לא ניתן לומר שאם <math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math> אז <math>\sum_{n\,=\,1}^\infty a_n</math> מתכנס. בהחלט ייתכן שהטור <math>\sum_{n\,=\,1}^\infty a_n</math> מתבדר גם אם <math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math>. מאידך, בזכות ה[[קונטרה פוזיטיב|קונטרה פוזיציה]] מותר לומר כי אם <math>\lim_{n\to\infty}a_n\ne0</math> או <math>a_n</math> מתבדרת, אז הטור <math>\sum_{n\,=\,1}^\infty a_n</math> מתבדר.

===דוגמה===
[[הסדרה ההרמונית]] <math>a_n=\frac1n</math> היא דוגמה ידועה לסדרה שסכומה מתבדר, אף על פי שהאיבר הכללי שלה שואף לאפס{{הערה|Rudin p.60}}. באופן כללי, לפי "מבחן ה-p" מתקיים עבור הטור ההרמוני המוכלל <math>\sum_{n\,=\,1}^\infty\frac{1}{n^p}</math> כי
*אם <math>p\le0</math> אז הטור מתבדר.
*אם <math>0<p\le1</math> אז הטור מתבדר לפי [[מבחני התכנסות לטורים#מבחן האינטגרל|מבחן האינטגרל]].
*<math>p>1</math> אז הטור מתכנס לפי מבחן האינטגרל.
באופן זה ניתן לראות כי למרות שהאיבר הכללי שואף לאפס, הטור יכול להתכנס או להתבדר.

==הוכחה==
נגדיר את הסדרה <math>S_n=\sum_{k\,=\,1}^n a_k</math> כסדרת הסכומים החלקיים של הסדרה <math>a_n</math>.

מההנחה כי <math>\sum_{n\,=\,1}^\infty a_n</math> מתכנס נובע שהסדרה <math>S_n</math> מתכנסת. כלומר קיים <math>L\in\R</math> עבורו <math>\lim_{n\to\infty}S_n=L</math>.

נשים לב כי <math>S_n-S_{n-1}=(a_1+\cdots+a_n)-(a_1+\cdots+a_{n-1})=a_n</math>, אזי{{הערה|Brabenec p.156; Stewart p.709}}:

:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1})=\lim_{n\to\infty}S_n-\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=L-L=0</math>

אז מטרנזיטיביות השוויון <math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math>.

==קישורים חיצוניים==
*{{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:תורת הטורים]]