הצגת המקור של הדף "תנע זוויתי"

{{לפשט}}
'''תנע זוויתי''' הוא [[גודל פיזיקלי]] [[וקטור (פיזיקה)|וקטורי]] המקביל ל[[תנע קווי]] במערכות מסתובבות: בדומה לתנופה שיש לגוף בתנועה, שדורשת הפעלת כוח כדי להאט אותו או לשנות את כיוונו, כך גם לגוף מסתובב יש תכונה, שדורשת הפעלת [[מומנט כוח]] כדי להאט את הסיבוב או לשנות את ציר הסיבוב – תכונה זו היא התנע הזוויתי.

תנע זוויתי נשאר קבוע (במילים אחרות, הוא [[חוק שימור|נשמר]]) ב[[מערכת סגורה]], בדומה ל[[תנע|תנע קווי]]. במילים אחרות, מערכת שלא פועלים עליה כוחות חיצוניים אינה משנה את התנע הזוויתי שלה. באופן כללי יותר, התנע הזוויתי של מערכת נשמר אם [[מומנט כוח|מומנט הכוח]] ה[[כוח שקול|שקול]] הפועל עליה שווה לאפס. חוק שימור התנע הזוויתי מאפשר לחשב תכונות ולפתור בעיות במערכות מכניות מורכבות, באסטרונומיה ועוד. כמו חוקי שימור אחרים בפיזיקה, גם שימור תנע זוויתי נובע מ[[סימטריה]] לפי [[משפט נתר (פיזיקה)|משפט נתר]] – שימור התנע הזוויתי הוא תוצאה של סימטריה לסיבוב.

ב[[מכניקה]], ובפרט ב[[מכניקה של גוף קשיח]], ניתן למצוא דוגמאות לשימור התנע הזוויתי במקומות רבים: זהו אחד הגורמים המעניקים יציבות לכלי רכב דו־גלגליים, והוא גם אשר מאפשר את פעולת ה[[גירוסקופ]] המכני; שימור תנע זוויתי הוא גם הגורם העיקרי ליצירת [[כוכב לכת|כוכבי לכת]].{{הערה|ראו למשל בערך [[התפתחות מערכת השמש#היווצרות כוכבי הלכת]], וראו גם:{{ש}}<div class="mw-content-ltr">{{cite journal|last=Woolfson|first=M.M.|title=Solar System – its origin and evolution|journal=Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society|volume=34| pages=1–20|date=1993|bibcode=1993QJRAS..34....1W}}</div>}}

== הסבר אינטואיטיבי ==
התנע הזוויתי מזכיר בתכונותיו את תכונות [[תנע|התנע הקווי]] (התנע הפשוט והמוכר יותר, הנתפס כ'''תנופה''' של גוף נע). התנע הקווי, המוגדר כמכפלת המסה במהירות, מתאר את יכולתו של גוף להמשיך בתנועתו (תכונה זו נקראת גם אינרציה; ככל שהתנע של גוף גדול יותר, כך יהיה קשה יותר לעצור אותו): על פי [[חוק שימור התנע]], אם לא פועלים כוחות חיצוניים אזי התנע של גוף נשאר קבוע, ועל פי [[החוק השני של ניוטון]], כוחות גורמים לשינוי בתנע. לדוגמה, קשה יותר לעצור משאית מאשר אופנוע שנוסעים במהירות שווה, כיוון שהמסה של המשאית גדולה יותר, ולכן גם התנע שלה גדול יותר.

באופן דומה, חוק שימור התנע הזוויתי קובע שגוף מסתובב ימשיך להסתובב כל עוד לא פועלים עליו מומנטים חיצוניים. לכן, לדוגמה, כאשר שתי דיסקות בגודל זהה אך שונות במשקלן מסתובבות סביב עצמן במהירות זהה, יהיה קשה יותר לעצור את הדיסקה הכבדה יותר, מכיוון שיש לה תנע זוויתי גדול יותר.

בנוסף, התנע הזוויתי תלוי גם במרחק מציר הסיבוב. כך למשל, אם רקדנית מתחילה להסתובב סביב עצמה ([[פירואט]]), כאשר זרועותיה ורגלה פרושות כלפי חוץ, ואז היא מקרבת אותן לגופה, מהירות הסיבוב שלה עולה. תופעה זאת נובעת מכך שכאשר הרקדנית מקרבת את זרועותיה, היא מקטינה את המרחק שלהן מציר הסיבוב, ומשימור התנע הזוויתי נובע שמהירות הסיבוב שלה חייבת לגדול.{{הערה|G. Gollin, [http://www.hep.uiuc.edu/home/g-gollin/dance/dance_physics.html#7 The Physics of Dance]: a 1997 presentation to dance classes at Hope College in Holland, Michigan.|כיוון=שמאל}}

== תנע זוויתי של גוף נקודתי ==
 [[קובץ:AngularMomentumOrigin.svg|ממוזער|גוף עם תנע קווי <math>\vec p</math>, בשלוש מערכות ייחוס שונות: A,{{כ}} B ו־C. מערכת הייחוס משפיעה על גודלו וכיוונו של התנע הזוויתי.]]
במכניקה קלאסית, מוגדר [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] התנע הזוויתי <math>\vec L</math> של גוף נקודתי על ידי הנוסחה:
:<math display="block">\vec L=\vec r\times\vec p</math>
כאשר <math>\vec r</math> הוא וקטור ה[[העתק (פיזיקה)|העתק]] מראשית הצירים למיקום הגוף, <math>\vec p</math> הוא וקטור [[תנע|התנע הקווי]], והפעולה <math>\times</math> מסמנת [[מכפלה וקטורית]]. במילים אחרות, ערכו של התנע הזוויתי תלוי במרחקו של הגוף מראשית הצירים, בערכו של התנע הקווי ובזווית בין התנע הקווי לציר הסיבוב. גודלו של התנע הזוויתי, בהיותו נתון על ידי מכפלה וקטורית, הוא <math>|L| = r \cdot p \cdot \sin \alpha</math>, כאשר <math>\alpha</math> היא הזווית בין <math>\vec{r}</math> ל־<math>\vec{p}</math>, וכיוונו מקביל ל'''ציר''' הסיבוב (כלומר, '''ניצב''' למישור הסיבוב). בפרט, נובע מהנוסחה כי התנע הזוויתי הוא לא גודל מוחלט, והוא עשוי להשתנות עם שינוי מיקומה של ראשית הצירים. למשל, באיור מופיע (באדום) גוף, שיש לו תנע קווי במערכת המעבדה (מסומן ב-<math>\vec p</math>). בהנחה ש־<math>\vec{r}_B=2\cdot\vec{r}_A</math>, גודלו של L במערכת שבה B היא ראשית הצירים כפול מגודלו במערכת צירים שבה A היא ראשית הצירים. בנוסף, במערכת שבה C ראשית הצירים, גודלו של התנע הזוויתי מתאפס.

מנוסחה זו ניתן להסיק גם את ה[[יחידת מידה|יחידות]] של התנע הזוויתי. ב[[מערכת היחידות הבין-לאומית]] (SI):
:<math>\left [\vec{L} \right] = \left [\vec{r}\times\vec{p}\right] = \left[r \right] \cdot \left [p \right] = \rm m\cdot\frac{kg\cdot m}{sec} = \frac{kg\cdot m^2}{{sec}^2}\cdot sec = J\cdot sec</math>
כלומר, לתנע הזוויתי יחידות של [[ג'ול]]-[[שנייה]] במערכת SI. באופן דומה ניתן להראות כי במערכת [[CGS]], היחידות של התנע הזוויתי הן [[ארג]]-שנייה.

כמו כן, באמצעות הגדרת התנע הזוויתי, ניתן להסיק מ[[חוקי התנועה של ניוטון|החוק השני של ניוטון]] (<math>\vec F = \frac{\operatorname{d}\!\vec p}{\operatorname{d}\!t}</math>) חוק מקביל עבור תנועה סיבובית:
<math display="block">\vec \tau = \frac{\operatorname{d}\!\vec L}{\operatorname{d}\!t}</math>

כאשר <math>\vec \tau= \vec r\times\vec F</math> נקרא [[מומנט כוח|מומנט הכוח]] השקול הפועל על הגוף. אם לא פועל מומנט כוח על הגוף, התנע הזוויתי [[שמורה (מתמטיקה)|נשמר]] (כלומר: הוא אינו משתנה עם הזמן). מומנט הכוח יכול להתאפס אם לא פועל [[כוח (פיזיקה)|כוח]] על הגוף, או אם הכוח השקול פועל בכיוון <math>\vec r</math>. למשל, כוח ה[[כבידה]] הפועל בין [[השמש]] ו[[כדור הארץ]] הוא [[כוח מרכזי]]: אם נבחר את ראשית הצירים במרכז השמש, הכוח שמפעילה השמש על כדור הארץ הוא בכיוון <math>\vec r</math>. לכן, השמש אינה מפעילה מומנט כוח על כדור הארץ, וכתוצאה מכך התנע הזוויתי של כדור הארץ סביב השמש נשאר קבוע.

במערכת בה התנע הזוויתי וה[[מסה|מסות]] הם גדלים שמורים, הגדלת רדיוס הסיבוב תקטין את ה[[מהירות]] הקווית ולהפך.

בניסוח לפי [[מכניקה אנליטית|המכניקה האנליטית]], התנע הזוויתי הוא התנע הקנוני הצמוד לקואורדינטות ה[[זווית]] (כלומר, הקואורדינטות שמתארות את דרגות החופש של הסיבוב). לכן, לפי [[משפט נתר (פיזיקה)|משפט נתר]], התנע הזוויתי הוא שמורה של המערכת אם ה[[לגרנג'יאן]] סימטרי לסיבוב מערכת הצירים.

== תנע זוויתי של גוף קשיח ==
{{ערך מורחב|מכניקה של גוף קשיח}}
התנע הזוויתי של [[גוף קשיח]] המסתובב ב[[מהירות זוויתית]] קבועה <math>\omega</math> סביב ציר מסוים, הוא מכפלת המהירות הזוויתית ב[[מומנט התמד|מומנט ההתמד]] של הגוף <math>\ I</math> סביב אותו ציר,
:<math>L = I\omega\ </math>
מומנט ההתמד הוא תכונה של הגוף, המציינת את "התנגדותו" לשינוי בסיבוב סביב ציר מסוים.
במקרה הכללי יותר, עבור סיבוב ב[[מהירות זוויתית]] כללית <math>\vec \omega</math> סביב ציר שכיוונו הוא כיוון וקטור המהירות הזוויתית, התנע הזוויתי הוא מכפלת [[טנזור התמד|טנזור ההתמד]] של הגוף בווקטור המהירות הזוויתית,
:<math>\vec L = \hat I \vec\omega\ </math>
[[טנזור התמד|טנזור ההתמד]] של הגוף מכליל את מומנט ההתמד עבור כל כיווני הסיבוב.

[[אנרגיה קינטית|האנרגיה הקינטית]] הסיבובית של גוף קשיח נתונה על ידי:
:<math>\ E_k = \frac{1}{2} \vec{\omega}^T \hat I \vec{\omega}</math>
כאשר הגוף מסתובב סביב ציר סיבוב קבוע:
:<math>\ E_k = \frac{1}{2} I \omega^2</math>

== התנע הזוויתי כפסאודו-וקטור ==
{{הפניה לערך מורחב|פסאודו וקטור}}{{להשלים|נושא=מדעי הטבע|נושא2=מדע וטכנולוגיה}}
כפי שנאמר לעיל, התנע הזוויתי מוגדר באמצעות מכפלה וקטורית. לכן, הוא מתנהג כ[[פסאודו-וקטור]], כלומר: שיקוף במישור מקביל לו הופך את כיוונו.

כמו בהקשרים אחרים,{{הערה|ראו למשל את הטיפול היחסותי ב[[שדה מגנטי|שדה המגנטי]]}} כדי לשמור על אופיו של התנע הזוויתי כ[[טנזור]] ניתן להמיר אותו ב[[טנזור אנטי-סימטרי|טנזור אנטיסימטרי]] מדרגה 2:

<math>L_{ij} = r_i p_j-p_i r_j = \begin{bmatrix}
0 & L_z & -L_y\\
-L_z & 0 & L_x\\
 L_y & -L_x & 0 \end{bmatrix}</math>

== תנע זוויתי במכניקת הקוונטים ==
{{הפניה לערך מורחב|אופרטור התנע הזוויתי}}
ב[[מכניקת הקוונטים]], התנע הזוויתי הוא [[אופרטור הרמיטי]] המשמש בפתרון [[משוואת שרדינגר]] של מערכות ב[[מרחב תלת-ממדי|מרחב התלת־ממדי]] עם [[אנרגיה פוטנציאלית|פוטנציאל]] בעל [[סימטריה]] [[כדור (גאומטריה)|כדורית]] ([[כוח מרכזי|פוטנציאל מרכזי]]). אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי <math>\vec{L}</math> הוא [[אופרטור]] [[וקטור (פיזיקה)|וקטורי]], המוגדר כ[[קוונטיזציה (פיזיקה)|קוונטיזציה]] של התנע הזוויתי במכניקה הקלאסית <math>\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}</math>, כאשר <math>\vec{r}</math> הוא [[אופרטור המיקום|'''אופרטור''' '''המיקום''' '''(ההעתק)''']] ו־<math>\ \vec{p}</math> הוא [[אופרטור התנע|'''אופרטור התנע (הקווי)''']] הווקטורי (המוגדר בהצגת המקום באמצעות ה[[גרדיאנט]]: <math>\ \vec{p} = -i \hbar \vec{\nabla}</math>). מתוך הגדרה זו, מתקבלים שלושה אופרטורים סקלריים: <math>L_x, L_y, L_z</math>.

בנוסף, במערכות קוונטיות רבות ישנו שימוש בשני אופרטורים נוספים אשר מציגים מדידה של גודל בעל יחידות של תנע זוויתי: אופרטור הספין <math>\vec{S}</math> ואופרטור התנע הכולל <math>\vec{J}</math>.

בעזרת אפקט איינשטיין דה הס ראו ב 1908 כי התנע הזוויתי של הספין אכן נראה כתנע זוויתי מכני בתופעה מקרוסקופית.

==ראו גם==
* [[הרמוניות ספריות]]
* [[ספין (פיזיקה)|ספין]]

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{דוידסון|ארז גרטי|הקשר בין החלקה על הקרח לתנע זויתי|maagarmada/physics/הקשר-בין-החלקה-על-הקרח-לתנע-זויתי|2 ביולי 2011}}
* [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/2015/03/blog-post.html אופרטורים וקטוריים במרחב הילברט] מתוך הבלוג [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/ רשימות בפיזיקה עיונית]
* {{בריטניקה}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:גדלים פיזיקליים]]
[[קטגוריה:מכניקה]]
[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]